数列的求和常用方法

Ⅰ 求数列求和的方法，越多越好！

公式法
、
错位相减法
、
倒序相加法
、分组法、
裂项法
、
数学归纳法
、通项化归、并项求和。。
1、公式法：
等差数列求和公式
:
Sn=n(a1+an)/2=na1+n(n-1)d/2
等比数列求和公式
：
Sn=na1(q=1)
Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-an×q)/(1-q)
(q≠1)
其他
1+2+3+.......+n=n（n+1）/2
1+2^2+3^2+4^2+........+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
1+2^3+3^3+4^3+........+n^3=[n(n+1)/2]^2
2、错位相减法
适用题型：适用于
通项公式
为等差的
一次函数
乘以等比的数列形式
和等差等比数列相乘
{
an
}、{
bn
}分别是等差数列和等比数列.
Sn=
a1b1
+a2b2+a3b3+...+anbn
3、倒序相加法
这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个(a1+an)
Sn
=a1+
a2+
a3+......
+an
Sn
=an+
a(n-1)+a(n-2)......
+a1
上下相加
得到2Sn
即
Sn=
（a1+an)n/2
4、裂项法
适用于分式形式的通项公式，把一项拆成两个或多个的差的形式，即an=f(n+1)－f(n)，然后累加时抵消中间的许多项。
常用公式：
（1）1/n(n+1)=1/n-1/(n+1)
，1/（n-1）-1/n>1/n2>1/n-1/n+1（n≥2）
（2）1/(2n-1)(2n+1)=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)]
（3）1/n(n+1)(n+2)=1/2[1/n(n+1)-1/(n+1)(n+2)]
（4）1/(√a+√b)=[1/(a-b)](√a-√b)
（5）
n·n!=(n+1)!-n!
（6）1/（√n+√（n+a））=1/a（√（n+a）-√n）
5、数学归纳法
一般地，证明一个与
正整数
n有关的命题，有如下步骤：
（1）证明当n取第一个值时命题成立；
（2）假设当n=k（k≥n的第一个值，k为
自然数
）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。

Ⅱ 数列求和常用方法

常见的有这七种求和方法。

Ⅲ 数列求和的方法有哪几种

数列求和
一般方法：等差等比数列求和公式
常用技巧有倒序相加，错位相减，裂项相消和分组求和（奇偶项法是分组求和的变通）

Ⅳ 常用的数列求和公式

前n项和公式为：Sn=n*a1+n(n-1)d/2或Sn=n(a1+an)/2。

在等差数列中，若Sn为该数列的前n项和，S2n为该数列的前2n项和，S3n为该数列的前3n项和，则Sn，S2n-Sn，S3n-S2n也为等差数列。

(4)数列的求和常用方法扩展阅读：

高考对数列求和问题的考查主要有两种形式：一种是直接利用等差、等比数列的前n项和公式考查等差、等比数列的前n项和的问题；另一种是利用错位相减法、倒序相加法、裂项法、分组求和法考查非等差、等比数列的求和问题。

如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，而这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示。例如：1,3,5,7,9……（2n-1)。

Ⅳ 数列求和的方法

裂项法
裂项法求和
这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.
裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.
通项分解（裂项）如：
（1）1/n(n+1)=1/n-1/(n+1)
（2）1/(2n-1)(2n+1)=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)]
（3）1/n(n+1)(n+2)=1/2[1/n(n+1)-1/(n+1)(n+2)]
（4）1/(√a+√b)=[1/(a-b)](√a-√b)
（5）
n·n!=(n+1)!-n!
[例]
求数列an=1/n(n+1)
的前n项和.
解：设
an=1/n(n+1)=1/n-1/(n+1)
（裂项）
则
Sn=1-1/2+1/2-1/3+1/4…+1/n-1/(n+1)（裂项求和）
＝
1-1/(n+1)
＝
n/(n+1)
小结：此类变形的特点是将原数列每一项拆为两项之后，其中中间的大部分项都互相抵消了。只剩下有限的几项。
注意：
余下的项具有如下的特点
1余下的项前后的位置前后是对称的。
2余下的项前后的正负性是相反的。
一、基本概念
1、
数列的定义及表示方法：按一定次序排列成的一列数叫数列
2、
数列的项an与项数n
3、
按照数列的项数来分,分为有穷数列与无穷数列
4、
按照项的增减规律分为：递增数列,递减数列,摆动数列和常数列
5、
数列的通项公式an
6、
数列的前n项和公式Sn
7、
等差数列、公差d、等差数列的结构：an=a1+(n-1)d
8、
等比数列、公比q、等比数列的结构：an=a1·q^(n-1)
二、基本公式：
9、一般数列的通项an与前n项和Sn的关系：an=
Sn-Sn-1
10、等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)d
an=ak+(n-k)d
(其中a1为首项、ak为已知的第k项)
当d≠0时，an是关于n的一次式；当d=0时，an是一个常数。
11、等差数列的前n项和公式：Sn=a1·n+1/2·n·(n+1)·d
当d≠0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0；当d=0时（a1≠0），Sn=na1是关于n的正比例式。
12、等比数列的通项公式：
an=
a1·q^(n-1)
an=
ak·q^(n-k)
(其中a1为首项、ak为已知的第k项，an≠0)
13、等比数列的前n项和公式：当q=1时，Sn=n
a1
(是关于n的正比例式)；
当q≠1时，Sn=a1·(q^n-1)/(q-1)
三、有关等差、等比数列的结论
14、等差数列的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m
-
S3m、……仍为等差数列。
15、等差数列中，若m+n=p+q，则
am+an=ap+aq
16、等比数列中，若m+n=p+q，则
am·an=ap·aq
17、等比数列的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m
-
S3m、……仍为等比数列。
18、两个等差数列与的和差的数列{an+bn}仍为等差数列。
19、两个等比数列与的积、商、倒数组成的数列
{an·bn}、{an/bn}
、{1/(an·bn)}
仍为等比数列。
20、等差数列的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列。
21、等比数列的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列。
22、三个数成等差的设法：a-d,a,a+d；
四个数成等差的设法：a-3d,a-d,,a+d,a+3d
23、三个数成等比的设法：a/q,a,aq；
四个数成等比的错误设法：a/q3,a/q,aq,aq3
四、数列求和的常用方法：
公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。(关键是找数列的通项结构)
24、分组法求数列的和：如an=2n+3n
25、错位相减法求和：如an=n·2^n
26、裂项法求和：如an=1/n(n+1)
27、倒序相加法求和：如an=
n
28、求数列的最大、最小项的方法：
①
an+1-an=……
如an=
-2n2+29n-3
②
(an>0)
如an=
③
an=f(n)
研究函数f(n)的增减性
如an=
an^2+bn+c(a≠0)
29、在等差数列
中,有关Sn
的最值问题——常用邻项变号法求解：
(1)当
a1>0,d<0时，满足的项数m使得Sm取最大值.
(2)当
a1<0,d>0时，满足的项数m使得Sm取最小值.
在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。
参考资料：http://ke..com/view/1101236.htm

Ⅵ 数列求和有哪五种方法

一、利用常用求和公式求和
利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.
1、 等差数列求和公式：
2、 等比数列求和公式：
自然数方幂和公式：
3、 4、
5、
[例] 求和1＋x2＋x4＋x6＋…x2n+4(x≠0)
∴该数列是首项为1,公比为x2的等比数列而且有n+3项
当x2＝1 即x＝±1时 和为n+3
评注：
(1)利用等比数列求和公式．当公比是用字母表示时,应对其是否为1进行讨论,如本题若为“等比”的形式而并未指明其为等比数列,还应对x是否为0进行讨论．
(2)要弄清数列共有多少项,末项不一定是第n项．
对应高考考题：设数列1,（1+2）,…,（1+2+ ）,……的前顶和为 ,则 的值.
二、错位相减法求和
错位相减法求和在高考中占有相当重要的位置,近几年来的高考题其中的数列方面都出了这方面的内容.需要我们的学生认真掌握好这种方法.这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法,这种方法主要用于求数列{an�� bn}的前n项和,其中{ an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列.求和时一般在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比 ；然后再将得到的新和式和原和式相减,转化为同倍数的等比数列求和,这种方法就是错位相减法.
[例] 求和：（ ）………………………①
由题可知,{ }的通项是等差数列{2n－1}的通项与等比数列{ }的通项之积
设 ……………………….② （设制错位）
①－②得 （错位相减）
再利用等比数列的求和公式得：
∴
注意、1 要考虑 当公比x为值1时为特殊情况
2 错位相减时要注意末项
此类题的特点是所求数列是由一个等差数列与一个等比数列对应项相乘.
对应高考考题：设正项等比数列 的首项 ,前n项和为 ,且 .（Ⅰ）求 的通项； （Ⅱ）求 的前n项和 .
三、反序相加法求和
这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法,就是将一个数列倒过来排列（反序）,再把它与原数列相加,就可以得到n个 .
[例] 求证：
证明：设 …………………………..①
把①式右边倒转过来得
（反序）
又由 可得
…………..……..②
①+②得 （反序相加）
∴
四、分组法求和
有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列适当拆开,可分为几个等差、等比或常见的数列,然后分别求和,再将其合并即可.
若数列 的通项公式为 ,其中 中一个是等差数列,另一个是等比数列,求和时一般用分组结合法.
[例]：求数列 的前n项和；
分析：数列的通项公式为 ,而数列 分别是等差数列、等比数列,求和时一般用分组结合法；
[解] ：因为 ,所以
（分组）
前一个括号内是一个等比数列的和,后一个括号内是一个等差数列的和,因此
五、裂项法求和
这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解,然后重新组合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的.通项分解（裂项）如：
（1） （2）
（3） （4）
（5）
[例] 求数列 的前n项和.
设 （裂项）
则 （裂项求和）
＝
＝
小结：此类变形的特点是将原数列每一项拆为两项之后,其中中间的大部分项都互相抵消了.只剩下有限的几项.
注意：余下的项具有如下的特点
1余下的项前后的位置前后是对称的.
2余下的项前后的正负性是相反的.
[练习] 在数列{an}中,,又 ,求数列{bn}的前n项的和.

Ⅶ 数列的求和方法

1. 公式法：等差数列求和公式:
Sn=n(a1+an)/2=na1+n(n-1)d/2
等比数列求和公式：
Sn=na1(q=1) Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-an×q)/(1-q) (q≠1)
其他
1+2^2+3^2+4^2+........+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
1+2^3+3^3+4^3+........+n^3=[n(n+1)/2]^2
2.错位相减法
适用题型：适用于通项公式为等差的一次函数乘以等比的数列形式 和等差等比数列相乘 { an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列. Sn=a1b1+a2b2+a3b3+...+anbn
例如：
an=a1+(n-1)d
bn=b1·q^(n-1)
Cn=anbn
Tn=a1b1+a2b2+a3b3+a4b4....+anbn
qTn= a1b2+a2b3+a3b4+...+a(n-1)bn+anb(n+1)
Tn-qTn= a1b1+b2(a2-a1)+b3(a3-a2)+...bn[an-a(n-1)]-anb(n+1)
Tn(1-q)=a1b1-anb(n+1)+d(b2+b3+b4+...bn) ______①
=a1b1-an·b1·q^n+d·b2[1-q^(n-1)]/(1-q)
=a1b1-(a1+nd-d)·b1q^n+d·b2[1-q^(n-1)]/(1-q)
Tn=上述式子/(1-q)
此外.①式可变形为
Tn(1-q)=a1b1-anb(n+1)+d(Sn-b1) Sn为{bn}的前n项和.
此形式更理解也好记
3.倒序相加法
这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个(a1+an)
Sn =a1+ a2+ a3+...... +an
Sn =an+ a(n-1)+a(n-2)...... +a1
上下相加 得到2Sn 即 Sn= （a1+an)n/2
4.分组法
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.
例如：an=2^n+n-1
5.裂项法
适用于分式形式的通项公式，把一项拆成两个或多个的差的形式，即an=f(n+1)－f(n)，然后累加时抵消中间的许多项。
常用公式：
（1）1/n(n+1)=1/n-1/(n+1) ，1/（n-1）-1/n<1/n2<1/n-1/n+1（n≥2）
（2）1/(2n-1)(2n+1)=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)]
（3）1/n(n+1)(n+2)=1/2[1/n(n+1)-1/(n+1)(n+2)]
（4）1/(√a+√b)=[1/(a-b)](√a-√b)
（5） n·n!=(n+1)!-n!
（6）1/（√n+√（n+a））=1/a（√（n+a）-√n）
[例] 求数列an=1/n(n+1) 的前n项和.
解：an=1/n(n+1)=1/n-1/(n+1) （裂项）
则
Sn
=1-1/2+1/2-1/3+1/4…+1/n-1/(n+1)（裂项求和）
= 1-1/(n+1)
= n/(n+1)
小结：此类变形的特点是将原数列每一项拆为两项之后，其中中间的大部分项都互相抵消了。只剩下有限的几项。
注意： 余下的项具有如下的特点
1余下的项前后的位置前后是对称的。
2余下的项前后的正负性是相反的。
6.数学归纳法
一般地，证明一个与正整数n有关的命题，有如下步骤：
（1）证明当n取第一个值时命题成立；
（2）假设当n=k（k≥n的第一个值，k为自然数）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。
例：
求证：
1×2×3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + …… + n(n+1)(n+2)(n+3) = [n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)]/5
证明：
当n=1时，有：
1×2×3×4 = 24 = 2×3×4×5/5
假设命题在n=k时成立，于是：
1×2×3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + …… + k(k+1)(k+2)(k+3) = [k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)]/5
则当n=k+1时有：
1×2×3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + …… + (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)
= 1×2×3×4 + 2×3×4*5 + 3×4×5×6 + …… + k(k+1)(k+2)(k+3) + (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)
= [k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)]/5 + (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)
= (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)*(k/5 +1)
= [(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)(k+5)]/5
即n=k+1时原等式仍然成立，归纳得证
7.通项化归
先将通项公式进行化简，再进行求和。
如：求数列1，1+2，1+2+3，1+2+3+4,……的前n项和。此时先将an求出，再利用分组等方法求和。
8.并项求和：
例：1－2+3－4+5－6+……+（2n-1）-2n
方法一：（并项）
求出奇数项和偶数项的和，再相减。
方法二：
（1－2）+（3－4）+（5－6）+……+[（2n-1）-2n]

Ⅷ 数列求和方法总结

1.公式法：必须记住几个常见数列前n项和公式——

等差数列：

Sn＝n(a1+an)/2＝na1+n(n-1)d/2

等比数列：

Sn＝na1……q＝1；

Sn＝a1(1-qⁿ)/(1-q)...q≠1；

2.分组求和：如求

裂项

4.错位相减法：其特点是cn＝anbn，其中an代表等差，bn代表等比，如求和Sn＝1+3x+5x²+7x³+……+(2n-1)x的n-1次方，注意讨论x是否为1.

总之，对于数列的求和，要先搞清楚数列的特点与规律，能转化为等比数列、等差数列最好，即便不是等差数列、等比数列，只要把规律找到，求和也不成问题.

Ⅸ 数列求和的常用方法有哪些

数列求和是高中数学中很有魅力的一部分，其方法技巧多种多样，有基本的公式法。有裂项相消法，分组相加法，倒数相加法等技巧性很强的方法．往往很复杂的一个数列求和问题通过有效的分解就能成为一个简单明了的基本数列问题．
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