❶ 求函数定义域的方法有哪些
求函数定义域的情形和方法总结：
已知函数解析式时：只需要使得函数表达式中的所有式子有意义。
（1）常见要是满足有意义的情况简总：
①表达式中出现分式时：分母一定满足不为0；
②表达式中出现根号时：开奇次方时，根号下可以为任意实数；开偶次方时，根号下满足大于或等于0（非负数）；
③表达式中出现指数时：当指数为0时，底数一定不能为0；
④根号与分式结合，根号开偶次方在分母上时：根号下大于0；
⑤表达式中出现指数函数形式时：底数和指数都含有x，必须满足指数底数大于0且不等于1.（0<底数<1;底数>1）；
⑥表达式中出现对数函数形式时：自变量只出现在真数上时，只需满足真数上所有式子大于0，且式子本身有意义即可；自变量同时出现在底数和真数上时，要同时满足真数大于0，底数要大0且不等于1。[ f（x）=logx（x²-1) ]
注：（1）出现任何情形都是要注意，让所有的式子同时有意义，及最后求的是所有式子解集的交集。
（2）求定义域时，尽量不要对函数解析式进行变形，以免发生变化。(形如：f（x）=x²/x)
2..抽象函数（没有解析式的函数）解题的方法精髓是“换元法”，根据换元的思想，我们进行将括号为整体的换元思路解题，所以关键在于求括号整体的取值范围。总结为：
（1）给出了定义域就是给出了所给式子中x的取值范围；
（2）在同在同一个题中x不是同一个x；
（3）只要对应关系f不变，括号的取值范围不变；
（4）求抽象函数的定义域个关键在于求f(x)的取值范围，及括号的取值范围。
3.复合函数定义域
复合函数形如：y=f（g（x）），理解复合函数就是可以看作由几个我们熟悉的函数组成的函数，或是可以看作几个函数组成一个新的函数形式。
❷ 求函数解析式的几种方法
求函数的解析式的方法
求函数的解析式是函数的常见问题,也是高考的常规题型之一,方法众多, 求函数的解析式是函数的常见问题 , 也是高考的常规题型之一 , 方法众多 , 下面 对一些常用的方法一一辨析. 对一些常用的方法一一辨析. 换元法： g(x)） f(x)的解析式 一般的可用换元法，具体为： 的解析式， 一．换元法：已知 f（g(x)）,求 f(x)的解析式，一般的可用换元法，具体为： t=g(x),在求出 f(t)可得 的解析式。 的取值范围。 令 t=g(x),在求出 f(t)可得 f（x）的解析式。换元后要确定新元 t 的取值范围。 例题 1．已知 f(3x 1)=4x 3, 求 f(x)的解析式.
x 1 练习 1．若 f ( ) = ,求 f (x) . x 1− x
2.已知 f ( x 1) = x 2 x ，求 f ( x 1)
f(g(x))内的 g(x)当做整体 当做整体， 二．配凑法：把形如 f(g(x))内的 g(x)当做整体，在解析式的右端整理成只含 配凑法： g(x)的形式 的形式， g(x)用 代替。 有 g(x)的形式，再把 g(x)用 x 代替。 一般的利用完全平方公式 1 1 例题 2．已知 f ( x − ) = x 2 2 , 求 f (x) 的解析式. x x
练习 3．若 f ( x 1) = x 2 x ,求 f (x) .
待定系数法：已知函数模型（ 一次函数，二次函数，指数函数等 数等） 三．待定系数法：已知函数模型（如：一次函数，二次函数，指数函数等）求 解析式，首先设出函数解析式， 解析式，首先设出函数解析式，根据已知条件代入求系数 例 3. （1）已知一次函数 f ( x ) 满足 f (0) = 5 ，图像过点 ( −2,1) ，求 f ( x ) ；
（2）已知二次函数 g ( x ) 满足 g (1) = 1 ， g ( −1) = 5 ，图像过原点，求 g ( x ) ；
（3）已知二次函数 h( x) 与 x 轴的两交点为 ( −2, 0) ， (3, 0) ，且 h(0) = −3 ，求 h( x) ；
（4）已知二次函数 F ( x ) ，其图像的顶点是 ( −1, 2) ，且经过原点，求 F ( x ) .
练习 4．设二次函数 f (x) 满足 f ( x − 2) = f (− x − 2) ,且图象在 y 轴上截距为 1,在 x 轴上截得的线段长为 2 2 ,求 f (x) 的表达式.
5. 设 f (x) 是一次函数，且 f [ f ( x)] = 4 x 3 ，求 f (x)
四．解方程组法:求抽象函数的解析式，往往通过变换变量构造一个方程，组成 解方程组法:求抽象函数的解析式，往往通过变换变量构造一个方程， 方程组， 方程组，利用消元法求 f（x）的解析式 例题 4．设函数 f (x) 是定义(－∞,0)∪(0, ∞)在上的函数,且满足关系式
1 3 f ( x) 2 f ( ) = 4 x ,求 f (x) 的解析式. x
练习 6．若 f ( x) f (
x −1 ) = 1 x ,求 f (x) . x
7.
设 f (x) 为偶函数， g (x) 为奇函数，又 f ( x) g ( x) =
1 , 试求 f ( x)和g ( x) 的 x −1
解析式
f(x)的解析式 的解析式， 五．利用给定的特性求解析式;一般为已知 x>0 时， f(x)的解析式，求 x<0 时， 利用给定的特性求解析式 一般为已知 f(x)的解析式 的解析式。 f(-x)的解析式 的解析式， =f(-x)或 f(x)=-f(f(x)的解析式。首先求出 f(-x)的解析式，根据 f（x）=f(-x)或 f(x)=-f(-x) 求得 f(x) 例题 5 设 f (x) 是偶函数,当 x＞0 时, f ( x) = e ⋅ x 2 e x ,求当 x＜0 时， f (x) 的表 达式.
练习 8． x∈R, f (x) 满足 f ( x) = − f ( x 1) ,且当 x∈[－1,0]时, f ( x) = x 2 2 x 对 求当 x∈[9,10]时 f (x) 的表达式.
9． x∈R， f (x) 满足 f ( x) = − f ( x 1) ， ． 对 且当 x∈[－1， 时， f ( x) = x 2 2 x ， 0]时 的表达式. 求当 x∈[9，10]时 f (x) 的表达式 时
归纳递推法：利用已知的递推公式，写出若干几项， 六．归纳递推法：利用已知的递推公式，写出若干几项，利用数列的思想从中 找出规律， f(x)的解析式 （通项公式） 的解析式。 （通项公式 找出规律，得到 f(x)的解析式。 通项公式） x −1 例题 6．设 f ( x) = ,记 f n ( x) = f { f [L f ( x)]},求 f 2004 ( x) . x 1
练习 10．若 f ( x y ) = f ( x) ⋅ f ( y ) ,且 f (1) = 2 ，
f (2) f (3) f (4) f (2005) L . f (1) f (2) f (3) f (2004)
求值
七．相关点法;一般的，设出两个点，一点已知，一点未知，根据已知找到两点 相关点法;一般的，设出两个点，一点已知，一点未知， 之间的联系， 把已知点用未知点表示， 最后代入已知点的解析式整理出即可。 （轨 之间的联系， 把已知点用未知点表示， 最后代入已知点的解析式整理出即可。 轨 （ 迹法） 迹法） 例题 7：已知函数 y=f(x)的图像与 y=x2 x 的图像关于点（-2，3）对称，求 f(x) 的解析式。
练习 11．已知函数 f ( x) = 2 x 1 ,当点 P(x,y)在 y= f (x) 的图象上运动时,点 Q( −
y x , )在 y=g(x)的图象上,求函数 g(x). 2 3
的抽象函数， 八．特殊值法;一般的，已知一个关于 x,y 的抽象函数，利用特殊值去掉一个未 特殊值法;一般的， 的解析式。 知数 y，得出关于 x 的解析式。 例题 8：函数 f(x)对一切实数 x,y 均有 f(x y)-f(y)=(x 2y 1)x 成立，且 f(1)=0.求 f(x)的解析式。
九．图像法;观察图像的特点和特殊点，可用代入法，或根据函数图像的性质进 图像法;观察图像的特点和特殊点，可用代入法， 行解题。注意定义域的变化。 行解题。注意定义域的变化。 y 例题 9． 图中的图象所表示的函数的解析式为（ B ） 3 3 A． y = x − 1 (0 ≤ x ≤ 2) 2 2 3 3 B． y = − x − 1 (0 ≤ x ≤ 2) 2 2 3 O x 1 2 C． y = − x − 1 (0 ≤ x ≤ 2) 2
D． y = 1 − x − 1
(0 ≤ x ≤ 2)
第 7 题图
总结：求函数的解析式的方法较多，应根椐题意灵活选择， 总结：求函数的解析式的方法较多，应根椐题意灵活选择，但不论是哪种方法 都应注意自变量的取值范围的变化，对于实际问题材，同样需注意这一点， 都应注意自变量的取值范围的变化，对于实际问题材，同样需注意这一点，应 保证各种有关量均有意义。求出函数的解析式最后要写上函数的定义域， 保证各种有关量均有意义。求出的函数的解析式最后要写上函数的定义域，这 是容易遗漏和疏忽的地方。 是容易遗漏和疏忽的地方。