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等式的变形方法图片

发布时间:2023-05-19 08:11:05

㈠ 导数等式变形问题,如图,请写出过程

原题伏迹移项有缓腊误缺哪并

㈡ 基本不等式的变形公式一共有几个

基本不等式通常是指均值不等式,在(a>=0,b>=0)常见的有变形有以下几种:

①√((a²+b²)/2)≥(a+b)/2≥√ab≥2/(1/a+1/b)

②√(ab)≤(a+b)/2

③a²+b²≥2ab

④ab≤(a+b)²/4

⑤||a|-|b| |≤|a+b|≤|a|+|b|

(2)等式的变形方法图片扩展阅读:

基本不等式在学习的过程中一定要理清大小关系,以及大于卜镇等于中等于存在的条件,另外在学习的时候还需要注意根号下函数的定义域。

基本不等式是主要旁此应用于求某些型启粗函数的最值及证明的不等式。其表述为:两个正实数的算术平均数大于或等于它们的几何平均数。

㈢ 高中数学,这些等式怎么变形过来的,图上的三个式子


㈣ 将等式7x-3=5x-3变形,过程

将等式7x-3=5x-3变租衫滑弊腊形,过程
解:塌旁原方程即:
7x-3=5x-3
7x-5x=3-3
2x=0
x=0÷2
x=0

㈤ 等式变换有啥技巧

三角恒等变换不但在三角函数式的化简、求值和证明三角恒等式中经常用到,而且.由于通过三角换元可将某些代数问题化归为三角问题;立体几何中的诸多位置关系以其交角来刻画,最后又以三角问题反映出来;由于参数方程的建立,又可将解析几何中的曲线问题归结为三角问题.因此,三角恒等变换在整个高中数学中涉及面广.是常见的解题“工具”.而且由于三角公式众多.方法灵活多变,若能熟练地掌握三角恒等变换,不但能增强对三角公式的记忆,加深对诸多公式内在联系的理解,而且对发展学生的逻辑思维能力,提高数学知识的综合运用能力都大有裨益。
“切割化弦”就是把三角函数中的正切、余切、正割、余割都化为正弦和余弦,以有利于问题的解决或发现解题途径.其实质是”‘归一”思想.
在三角恒等变换中经常需要转化角的关系,在解题过程中必须认真观察和分析结论中是哪个角,条件中有没有这些角,哪些角发生了变化等等.因此角的拆变技巧,倍角与半角相对性等都十分重要,应用也相当广泛且非常灵活.常见的拆变方法有:α可变为(α+β)-β;2α可变为(α+β)+(α-β);2α-β可变为(α-β)+α;α可视为α/2的倍角等等.
遇平方可用“降次”公式,这是常用的解题策略.本题中首先化异角为同角,消除角的差异,然后化简求值.关于积化和差、和差化积公式,教材中是以习题形式给出的,望引起重视.
跟代数恒等变换一样.在三角变换时,有时适当地应用”‘加一项再减去这一项” . “乘一项再除以同一项”的方岁谈法常能使某些问题巧妙简捷地得以解决.
根据题目的特点,总体设元,然后构造与其相应的对偶式,运用方程的思想来解决三角恒等变换,也是常用的方法,本题也可以采用降次、和积互化等方法。.
目前高考中,纯三角函数式的化简与证明已不多见肢念,取而代之的题目经常是化简某一三角函数,并综合考查这一函数的其他性质.但。凡是与三角函数有关的问题,都以恒等变形、条件变形为解题的基石,因此本专题内容的重要性不言而喻.至于在三角条件恒等证明中如何历雀困用三内角和的性质、正余弦定理进行边角关系转换等,我们就不另加赘述了.

㈥ 基本不等式有哪些变形公式

基本不等式的变形公式有2个;分别是以下2个:

变形:

1、时,不等式取等扮耐号。

㈦ 完全平方公式的所有变形公式

一. 完全平方公式常见的变形有

a2+b2=(a+b)2-2ab,

a2+b2=(a-b)2+2ab,

(a+b)2-(a-b)2=4ab,

a2+b2+c2=(a+b+c)2-2(ab+ac+bc)

二. 乘法公式变形的应用

例1: 已知:x2+y2+4x-6y+13=0,x、y均为有理数,求xy的值。

分析:逆用完全乘方公羡备式,将

x2+y2+4x-6y+13化为两个完全平方式的和,利用完凳唯全平方式的非负性求出x与y的值即可。

解:∵x2+y2+4x-6y+13=0,

(x2+4x+4)+(y2-6y+9)=0,

即(x+2)2+(y-3)2=0。

∴x+2=0,y=3=0。

即x=-2,y=3。

∴xy=(-2)3=-8。

分析:本题巧妙地利用

例3 已知:a+b=8,ab=16+c2,求(a-b+c)2002的值。

分析:由已知条件无法直接求得(a-b+c)2002的值,可利用(a-b)2=(a+b)2-4ab确定a-b与c的关系,再计算(a-b+c)2002的值。

解:(a-b)2=(a+b)2-4ab=82-4(16+c2)=-4c2。

即:(a-b)2+4c2=0。

∴a-b=0,c=0。

∴(a-b+c)2002=0。

例4 已知:a、b、c、d为正有理数,且满足a4+b4+C4+D4=4abcd。

求证:a=b=c=d。

分析:从a4+b4+C4+D4=4abcd的特点看出可以化兄粗毁成完全平方形式,再寻找证明思路。

证明:∵a4+b4+C4+D4=4abcd,

∴a4-2a2b2+b4+c4-2c2d2+d4+2a2b2-4abcd+2c2d2=0,

(a2-b2)2+(c2-d2)2+2(ab-cd)2=0。

a2-b2=0,c2-d2=0,ab-cd=0

又∵a、b、c、d为正有理数,

∴a=b,c=d。代入ab-cd=0,

得a2=c2,即a=c。

所以有a=b=c=d。

㈧ 配方法 详细步骤 谢谢啦

4x²+16x+16=9

x²+4x+4=9/4

(x+2)²=9/4

x+2=±3/2

x=-2±3/2

x1=-1/2

x2=-7/2

概述

在基本代数中,配方法是一种用来把二次多项式化为一个一次多项式的平方与一个常数的和的方法。这种方法是把以下形式的多项式化为以上表达式中的系数a、b、c、d和e,它们本身也可以是表达式,可以含有除x以外的变量。配方法通常用来推导出二次方程的求根公式:我们的目的是要把方程的左边化为完全平方。由于问题中的完全平方具有(x+y)2=x2+ 2xy+y2的形式,可推出2xy= (b/a)x,因此y=b/2a。等式两边加上y2= (b/2a)2,可得:

这个表达式称为二次方程的求根公式。

几何学的观点

考虑把以下的方程配方:

方程的配方是在方程的两边同时加上一次项系数的一半的平方,而函数是在加上一次项系数一半的平方后再减去一次项系数一半的平方

对于任意的a、b(这里的a、b可以代指任意一个式子,即包括超越式和代数式),都有

(一般情况下,这个公式最好用于对x²+y²+z²进行配方)

配方时,只需要明确要进行配方两项或三项,再套用上述公式即可。

解方程

在一元二次方程中,配方法其实就是把一元二次方程移项之后,在等号两边都加上一次项系数绝对值一半的平方。

【例】解方程:2x²+6x+6=4

分析:原方程可整理为:x²+3x+3=2,通过配方可得(x+1.5)²=1.25通过开方即可求解。

解:2x²+6x+6=4

<=>(x+1.5)²=1.25

x+1.5=1.25的平方根

求最值

【例】已知实数x,y满足x²+3x+y-3=0,则x+y的最大值为____。

分析:将y用含x的式子来表示,再代入(x+y)求值。

解:x²+3x+y-3=0<=>y=3-3x-x²,

代入(x+y)得x+y=3-2x-x²=-(x²+2x-3)=-[(x+1)²-4]=4-(x+1)²。

由于(x+1)²≥0,故4-(x+1)²≤4.故推测(x+y)的最大值为4,此时x,y有解,故(x+y)的最大值为4.

证明非负性

【例】证明:a²+2b+b²-2c+c²-6a+11≥0

解:a²+2b+b²-2c+c²-6a+11=(a-3)²+(b+1)²+(c-1)²,结论显然成立。

例分解因式:x²-4x-12

解:x²-4x-12=x²-4x+4-4-12

=(x-2)²-16

=(x -6)(x+2)

求抛物线的顶点坐标

【例】求抛物线y=3x²+6x-3的顶点坐标。

解:y=3(x²+2x-1)=3(x²+2x+1-1-1)=3(x+1)²-6

所以这条抛物线的顶点坐标为(-1,-6)

㈨ 高中数学不等式证明,有清晰的图

不等式证明知识概要

河北/赵春祥

不等式的证明问题,由于题型多变、方法多样、技巧性强,加上无固定的规律可循,往往不是用一种方法就能解决的,它是多种方法的灵活运用,也是各种思想方法的集中体现,因此难度较大。解决这个问题的途径在于熟练掌握不等式的性质和一些基本不等式,灵活运用常用的证明方法。

一、要点精析

1.比较法比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法之一,它是两个实数大小顺序和运算性质的直接应用,比较法可分为差值比较法(简称为求差法)和商值比较法(简称为求商法)。

(1)差值比较法的理论依据是不等式的基本性质:“a-b≥0a≥b;a-b≤0a≤b”。其一般步骤为:①作差:考察不等式左右两边构成的差式,将其看作一个整体;②变形:把不等式两边的差进行变形,或变形为一个常数,或变形为若干个因式的积,或变形为一个或几个平方的和等等,其中变形是求差法的关键,配方和因式分解是经常使用的变形手段;③判断:根据已知条件与上述变形结果,判断不等式两边差的正负号,最后肯定所求证不等式成立的结论。应用范围:当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时一般使用差值比较法。

(2)商值比巧袭较法的理论依据是:“若a,b∈R+,a/b≥1a≥b;a/b≤1a≤b”。其一般步骤为:①作商:将左右两端作商;②变形:化简商式到最简形式;③判断商与1的大小关系,就是判定商大于1或小于1。应用范围:当被证的不等式两端含有幂、指数式时,一般使用商值比较法。

2.综合法利用已知事实(已知条件、重要不等式或已证明的不等式)作为基础,借助不等式的性质和有关定理,经过逐步的逻辑推理,最后推出所要证明的不等式,其特点和思路是“由因导果”,从“已知”看“需知”,逐步推出“结论”。其逻辑关系为:AB1 B2 B3… BnB,即从已知A逐步推演蚂陆不等式成立的必要条件从而得出结论B。

3.分析法分析法是指从需证的不等式出发,分析这个不等式成立的充分条件,进而转化为判定那个条件是否具备,其特点和思路是“执果索因”,即从“未知”看“需知”,逐步靠拢“已知”。用分析法证明AB的逻辑关系为:BB1B1 B3 … BnA,书写的模式是:为了证明命题B成立,只需证明命题B1为真,从而有…,这只需证明B2为真,从而又有…,……这只需证明A为真,而已知A为真,故B必为真。这种证题模式告诉我们,分析法证题是步步寻求上一步成立的充分条件。

4.反证法有些不等式的证明,从正面证不好说清楚,可以从正难则反的角度考虑,即要证明不等式A>B,先假设A≤B,由题设及其它性质,推出矛盾,从而肯定A>B。凡涉及到的证明不等式为否定命题、惟一性命题或含有“至多”、“至少”、“不存在”、“不可能”等词语时,可以考虑用反证法。

5.换元法换元法是对一些结构比较复杂,变量较多,变量之间的关系不甚明了的不等式可引入一个或多个变量进行代换,以便简化原有的结构或实现某种转化与变通,给证明带来新的启迪和方法。主要有两种换元形式。(1)三角代换法:多用于条件不等式的证明,当所给条件较复杂,一个变量不易用另一个变量表示,这时可考虑三角代换,将两个变量都有同一个参数表示。此法如果运用恰闷宽顷当,可沟通三角与代数的联系,将复杂的代数问题转化为三角问题根据具体问题,实施的三角代换方法有:①若x2+y2=1,可设x=cosθ,y=sinθ;②若x2+y2≤1,可设x=rcosθ,y=rsinθ(0≤r≤1);③对于含有的不等式,由于|x|≤1,可设x=cosθ;④若x+y+z=xyz,由tanA+tanB+tanC=tanAtan-BtanC知,可设x=taaA,y=tanB,z=tanC,其中A+B+C=π。(2)增量换元法:在对称式(任意交换两个字母,代数式不变)和给定字母顺序(如a>b>c等)的不等式,考虑用增量法进行换元,其目的是通过换元达到减元,使问题化难为易,化繁为简。如a+b=1,可以用a=1-t,b=t或a=1/2+t,b=1/2-t进行换元。

6.放缩法放缩法是要证明不等式A<B成立不容易,而借助一个或多个中间变量通过适当的放大或缩小达到证明不等式的方法。放缩法证明不等式的理论依据主要有:(1)不等式的传递性;(2)等量加不等量为不等量;(3)同分子(分母)异分母(分子)的两个分式大小的比较。常用的放缩技巧有:①舍掉(或加进)一些项;②在分式中放大或缩小分子或分母;③应用均值不等式进行放缩。

二、难点突破

1.在用商值比较法证明不等式时,要注意分母的正、负号,以确定不等号的方向。

2.分析法与综合法是对立统一的两个方面,前者执果索因,利于思考,因为它方向明确,思路自然,易于掌握;后者是由因导果,宜于表述,因为它条理清晰,形式简洁,适合人们的思维习惯。但是,用分析法探求证明不等式,只是一种重要的探求方式,而不是一种好的书写形式,因为它叙述较繁,如果把“只需证明”等字眼不写,就成了错误。而用综合法书写的形式,它掩盖了分析、探索的过程。因而证明不等式时,分析法、综合法常常是不能分离的。如果使用综合法证明不等式,难以入手时常用分析法探索证题的途径,之后用综合法形式写出它的证明过程,以适应人们习惯的思维规律。还有的不等式证明难度较大,需一边分析,一边综合,实现两头往中间靠以达到证题的目的。这充分表明分析与综合之间互为前提、互相渗透、互相转化的辩证统一关系。分析的终点是综合的起点,综合的终点又成为进一步分析的起点。

3.分析法证明过程中的每一步不一定“步步可逆”,也没有必要要求“步步可逆”,因为这时仅需寻找充分条件,而不是充要条件。如果非要“步步可逆”,则限制了分析法解决问题的范围,使得分析法只能使用于证明等价命题了。用分析法证明问题时,一定要恰当地用好“要证”、“只需证”、“即证”、“也即证”等词语。

4.反证法证明不等式时,必须要将命题结论的反面的各种情形一一加以导出矛盾。

5.在三角换元中,由于已知条件的限制作用,可能对引入的角有一定的限制,应引起高度重视,否则可能会出现错误的结果。这是换元法的重点,也是难点,且要注意整体思想的应用。

6.运用放缩法证明不等式时要把握好“放缩”的尺度,即要恰当、适度,否则将达不到预期的目的,或得出错误的结论。另外,是分组分别放缩还是单个对应放缩,是部分放缩还是整体放缩,都要根据不等式的结构特点掌握清楚。

(摘自:《考试报·高二数学版》2004年/07月/20日)

1、比较法(作差法)
在比较两个实数 和 的大小时,可借助 的符号来判断。步骤一般为:作差——变形——判断(正号、负号、零)。变形时常用的方法有:配方、通分、因式分解、和差化积、应用已知定理、公式等。
例1、已知: , ,求证: 。
证明: ,故得 。
2、分析法(逆推法)
从要证明的结论出发,一步一步地推导,最后达到命题的已知条件(可明显成立的不等式、已知不等式等),其每一步的推导过程都必须可逆。
例2、求证: 。
证明:要证 ,即证 ,即 , , , , ,由此逆推即得 。
3、综合法
证题时,从已知条件入手,经过逐步的逻辑推导,运用已知的定义、定理、公式等,最终达到要证结论,这是一种常用的方法。
例3、已知: , 同号,求证: 。
证明:因为 , 同号,所以 , ,则 ,即 。
4、作商法(作比法)
在证题时,一般在 , 均为正数时,借助 或 来判断其大小,步骤一般为:作商——变形——判断(大于1或小于1)。
例4、设 ,求证: 。
证明:因为 ,所以 , 。而 ,故 。
5、反证法
先假设要证明的结论不对,由此经过合理的逻辑推导得出矛盾,从而否定假设,导出结论的正确性,达到证题的目的。
例5、已知 , 是大于1的整数,求证: 。
证明:假设 ,则 ,即 ,故 ,这与已知矛盾,所以 。
6、迭合法(降元法)
把所要证明的结论先分解为几个较简单部分,分别证明其各部分成立,再利用同向不等式相加或相乘的性质,使原不等式获证。
例6、已知: , ,求证: 。
证明:因为 , ,
所以 , 。
由柯西不等式
,所以原不等式获证。
7、放缩法(增减法、加强不等式法)
在证题过程中,根据不等式的传递性,常采用舍去一些正项(或负项)而使不等式的各项之和变小(或变大),或把和(或积)里的各项换以较大(或较小)的数,或在分式中扩大(或缩小)分式中的分子(或分母),从而达到证明的目的。值得注意的是“放”、“缩”得当,不要过头。常用方法为:改变分子(分母)放缩法、拆补放缩法、编组放缩法、寻找“中介量”放缩法。
例7、求证: 。
证明:令 ,则

所以 。
8、数学归纳法
对于含有 的不等式,当 取第一个值时不等式成立,如果使不等式在 时成立的假设下,还能证明不等式在 时也成立,那么肯定这个不等式对 取第一个值以后的自然数都能成立。
例8、已知: , , ,求证: 。
证明:(1)当 时, ,不等式成立;
(2)若 时, 成立,则

= ,
即 成立。
根据(1)、(2), 对于大于1的自然数 都成立。
9、换元法
在证题过程中,以变量代换的方法,选择适当的辅助未知数,使问题的证明达到简化。
例9、已知: ,求证: 。
证明:设 , ,则 ,

(因为 , ),
所以 。
10、三角代换法
借助三角变换,在证题中可使某些问题变易。
例10、已知: , ,求证: 。
证明:设 ,则 ;设 ,则
所以 。
11、判别式法
通过构造一元二次方程,利用关于某一变元的二次三项式有实根时判别式的取值范围,来证明所要证明的不等式。
例11、设 ,且 ,求证: 。
证明:设 ,则
代入 中得 ,即
因为 , ,所以 ,即 ,
解得 ,故 。
12、标准化法
形如 的函数,其中 ,且
为常数,则当 的值之间越接近时, 的值越大(或不变);当 时, 取最大值,即

标准化定理:当A+B为常数时,有 。
证明:记A+B=C,则

求导得 ,由 得C=2A,即A=B
又由 知 的极大值点必在A=B时取得
由于当A=B时, ,故得不等式。
同理,可推广到关于 个变元的情形。
例12、设A,B,C为三角形的三内角,求证: 。
证明:由标准化定理得,当A=B=C时, ,取最大值 ,故 。
13、等式法
应用一些等式的结论,可以巧妙地给出一些难以证明的不等式的证明。
例13(1956年波兰数学竞赛题)、 为 的三边长,求证:

证明:由海伦公式 ,
其中 。
两边平方,移项整理得

而 ,所以 。
14、函数极值法
通过变换,把某些问题归纳为求函数的极值,达到证明不等式的目的。
例14、设 ,求证: 。
证明:
当 时, 取最大值 ;
当 时, 取最小值-4。
故 。
15、单调函数法
当 属于某区间,有 ,则 单调上升;若 ,则 单调下降。推广之,若证 ,只须证 及 即可, 。
例15、 ,求证: 。
证明:当 时, ,而

故得 。
16、中值定理法
利用中值定理: 是在区间 上有定义的连续函数,且可导,则存在 , ,满足 来证明某些不等式,达到简便的目的。
例16、求证: 。
证明:设 ,则
故 。
17、分解法
按照一定的法则,把一个数或式分解为几个数或式,使复杂问题转化为简单易解的基本问题,以便分而治之,各个击破,从而达到证明不等式的目的。
例17、 ,且 ,求证: 。
证明:因为

所以 。
18、构造法
在证明不等式时,有时通过构造某种模型、函数、恒等式、复数等,可以达到简捷、明快、以巧取胜的目的。
例18、已知: , ,求证: 。
证明:依题设,构造复数 , ,则 ,
所以

故 。
19、排序法
利用排序不等式来证明某些不等式。
排序不等式:设 , ,则有
,其中 是 的一个排列。当且仅当 或 时取等号。
简记作:反序和 乱序和 同序和。
例19、求证: 。
证明:因为 有序,所以根据排序不等式同序和最大,即 。
20、几何法
借助几何图形,运用几何或三角知识可使某些证明变易。
例20、已知: ,且 ,求证: 。
证明:以 为斜边, 为直角边作
延长AB至D,使 ,延长AC至E,使 ,过C作AD的平行线交DE于F,则 ∽ ,令 ,
所以
又 ,即 ,所以 。

另外,还可以利用重要的不等式来证题,如平均不等式、柯西(Cauchy)不等式、琴生(Jensen)不等式、绝对值不等式、贝努利(J.Bernoulli)不等式、赫尔德(O.HÖlder)不等式、三角形不等式、闵可夫斯基(H.Minkowski)不等式等,这里不再烦述了。
在实际证明中,以上方法往往相互结合、互相包含,证题时,可能同时运用几种方法,结合起来加以证明。

参考文献
[1]李玉琪主编•初等代数研究•北京:中国矿业大学出版社,1993
[2]方初宝等编•数学猜想法浅谈•重庆:科技文献出版社重庆分社,1988
[3]吴德风•不等式与线性规划初步•北京:科学普及出版社,1983

㈩ 基本不等式的变形公式是什么

基本不等式通常是指均值不等式,在(a>=0,b>=0)常见的有变形有以下几种:

①公式√((a²+b²)/2)≥(a+b)/2≥√ab≥2/(1/a+1/b) 。

②√(ab)≤(a+b)/2 。

③a²+b²≥2ab。

④ab≤(a+b)²/4 。

⑤||a|-|b| |≤|a+b|≤|a|+|b|。

基本不等式两大技巧:

“1”的妙用。题目中如果出现了两个式子之和为常数,要求这两个式子的倒数之和的最小值,通常用所求这个枯码式子乘以1,然后把1用前面的常数表示出来,并将两个式子展开即可计没早哪算。如果题目已知两个式子倒数之和为常数,求两个式子之和的最小值,方法同上。

调整系数。有时候求解两个式子之积的最睁搭大值时,需要这两个式子之和为常数,但是很多时候并不是常数,这时候需要对其中某些系数进行调整,以便使其和为常数。

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