绝对值不等式解题常用方法

Ⅰ 带有绝对值的不等式解法

带有绝对值的不等式有以下解法：

(一)零点分段法，转化成多个不等式(组)：零点分段法是最基本的方法，也是必须掌握的，相比其它方法更容易理解，分类讨论，过程清晰不容易出错。

例如：解不等式 |2x-1|-|x-3|>5，第一步，求出所有式子的零点；由2x-1=0与x-3=0得到零点：x=0.5与x=3。第二步，将求得的所有零点在数轴上标出来，将数轴分段；找到零点后分成x<0.5 ，0.5≤x≤3 ，x>3这三个区间。

第三步，在每个区间内去掉绝对值符号，转化成三个不等式组：①x<0.5时，1-2x-(3-x)>5，解得x<-7；②0.5≤x≤3时，2x-1-(3-x)>5，无解；③x>3时，2x-1-(x-3)>5，解得x>3。综上答案是x>3或x<-7。

(三)绝对值几何意义，绝对值最值：参照(到直线上所有点距离和最小的点，绝对值和的最小值)|x-1|+|x-2|<5，根据绝对值的几何意义，可知|x-1|表示x到1的距离，|x-2|表示x到2的距离。根据数轴易知-1<x<4。

(四)两边平方：|x+1|<|x-2|，如果两边都是非负的，可以两边直接平方脱去绝对值，但是x次数可能会变成2次。现阶段了解即可。两边平方得到|x+1|²<|x-2|²，x²+2x+1<x²-4x+4。解得x<1/2。

Ⅱ 解绝对值不等式的常用方法

一。不等式两边都为非负数时一般采用两边同时平方的方法。例如｜x－1｜＜｜2x｜
二。借助于数轴分类。令每一个绝对值式子为0，解出未知数的值，把这几个值表示在数轴上，例如｜x－2｜－｜2x＋3｜﹤｜x＋1｜
令x－2=0解之得x=2
令2x＋3=0解之得x=－3／2
令x＋1=0解之得x=－1
数轴被分成4部分，①当x≤﹣3／2时，不等式为
②当－3／2＜x＜－1时，不等式为
③当－1≤x≤2不等式为
④当x＞2时，不等式为

Ⅲ 含有绝对值的不等式解法

解含绝对值的不等式只有两种模型，它的解法都是由以下两个得来：
（1）|X|>1那么X>1或者<-1; |X|>3那么X>3或者X<-3;
即）|X|>a那么X>a或者X<-a;(两根之外型)
(2)）|X|<1那么-1<X<1；|X|<3那么-3<X<3
即)）|X|<a那么-a<X<a；(两根之内型)
遇到这类不等式只需用对型把绝对值去掉即可：
如：|1-3X|＞4 我把绝对值中的所有式子看成整体，不等式是两根之外型，则：1-3X>4或者1-3X<-4，从而又解一次不等式得解集为：X>5/3或者X<-1
又如：|1-3X|<2我把绝对值中的所有式子看成整体，不等式是两根之内型
则：-2<1-3X<2从而又解一次不等式得解集为：-1/3<x<1

记忆：大于取两根之外,小于取两根之间

解绝对不等式的基本思路:去掉绝对值符号转化为一般不等式,转化方法有(1)零点分段法(2)绝对值定义法(3)平方法
解含有绝对值的不等式
比如解不等式|X+2|-|X-3|<4
首先应分为4类讨论，分别为当X+2>0且X+3>0时，然后解开绝对值符号，可解出第一个结果5<4，不符合题意，舍去；然后当X+2>0且X+3<0时，解开绝对值可得X<5/2，保留这个结果；下面的过程一样......然后把没有被舍去的范围放在一起取交集，得到的就是答案了。

Ⅳ 解绝对值不等式时，有几种常见的方法

一、 绝对值定义法

对于一些简单的，一侧为常数的含不等式绝对值，直接用绝对值定义即可，

1、如|x| < a在数轴上表示出来。利用数轴可将解集表示为−a< x < a

2、|x| ≥ a同理可在数轴上表示出来，因此可得到解集为x≥ a或x≤ a

3、|ax +b| ≥ c型，利用绝对值性质化为不等式组−c ≤ ax + b ≤ c，再解不等式组。

二、平方法

对于不等式两边都是绝对值时，可将不等式两边同时平方。

解不等式 |x+ 3| > |x− 1|将等式两边同时平方为(x + 3)2 > (x − 1)2得到x2 + 6x + 9 > x2 − 2x + 1之后解不等式即可，解得x > −1

三、零点分段法

对于不等式中含有有两个及以上绝对值，且含有常数项时，一般使用零点分段法。例 解不等式|x + 1| + |x − 3| > 5

在数轴上可以看出，数轴可以分成x < −1,−1 ≤ x < 3, x ≥ 3三个区间，由此进行分类讨论。

当x < −1时，因为x + 1 < 0, x − 3 < 0所以不等式化为 −x− 1 −x + 3 > 5解得x < −322．当−1 ≤x < 3时， 因为x + 1 > 0,x− 3 < 0所以不等式化为x + 1 − x + 3 > 5无解。

当 x ≥ 3时 因为x + 1 > 0 ,x − 3 > 0所以不等式化为x + 1 + x− 3 > 5解得x >72综上所述，不等式的解为x < −32或x >72。

(4)绝对值不等式解题常用方法扩展阅读

1、实数的绝对值的概念

(1)|a|的几何意义

|a|表示数轴上实数a对应的点与原点之间的距离.

(2)两个重要性质

①(ⅰ)|ab|=|a||b|

②|a|<|b|⇔a2<b2

(3)|x-a|的几何意义:数轴上实数x对应的点与实数a对应的点之间的距离,或数轴上表示x-a的点到原点的距离.

(4)|x+a|的几何意义:数轴上实数x对应的点与实数-a对应的点之间的距离,或数轴上表示x+a的点到原点的距离。

2、绝对值不等式定理

(1)定理：对任意实数a和b,有|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当ab≥0时,等号成立.

(2)定理的另一种形式：对任意实数a和b,有|a-b|≤|a|+|b|,当且仅当ab≤0时,等号成立.

绝对值不等式定理的完整形式：|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|.

其中,(1)|a+b|=|a|-|b|成立的条件是ab≤0,且|a|≥|b|;

(2)|a+b|=|a|+|b|成立的条件是ab≥0;

(3)|a-b|=|a|-|b|成立的条件是ab≥0,且|a|≥|b|;

(4)|a-b|=|a|+|b|成立的条件是ab≤0.