换元降次常用方法

㈠ 巧解分式方程。

1 给定条件下高次代数式的求值问题，是代数式求值问题中比较常见的类型。由于这类题的字母次数较高，一旦方法不得当，不但解题过程麻烦，甚至有时求不出数来，对于这类题降次是比较常用的一种解决方法。现举例归纳如下：一、直接变形，代入降次通过对已知条件和代数式的适当变形，便可达到降次的效果，从而使问题得到解决。例1：已知x2+4x-1=0,求2x4-36x2+1的值。解：∵x2+4x-1=0，∴x2=1-4x, ∴2x4-36x2+1=2(x2) 2 -36x2+1=2(1-4x) 2-36x2+1=2-16x+32x2 -36x2+1=-4x2-16x+3=-4(x2+4x)+3=-4+3=-1二、以退为进，巧妙降次以退为进，这是一个反常规的思维。为了降次，而先升高其中字母的次数，再通过适当的变形实现降次求值的目的。现把这一方法在实际中的应用举例说明：（一）、已知条件是整式的值例2：已知x2+x-1=0,求x4+2x3+3x2+2x+1之值。解：∵x2+x-1=0，∴x2=1-x ;x3=x·x2=x(1-x)=x-x2=x-(1-x)=2x-1;x4=x·x3=x(2x-1)=2x2-x=2(1-x)-x=2-3x .∴原式=(2-3x)+2(2x-1)+3(1-x)+2x+1=4 .（二）、已知条件是分式的值例3：已知 +x =3,求x4+3x3-16x2+3x-17的值。∵ +x =3，∴x2-3x+1=0, ∴x2=3x -1;x3=x·x2=x(3x-1)= 3x2-x= 3(3x-1)-x=8x-3 ;x4=x·x3=x(8x-3)=8x2-3x=8(3x-1)-3x=21x-8 ;∴原式=(21x-8)+3(8x-3)-16(3x-1)+3x-17=-18 .（三）、已知条件含根号例4：已知x= ,求(4x3-2004x-2001)2001的值。∵x= ∴2x=1+ , =2x-1 ∴4x2-4x-2000=0 ,4x2=4x+2000 ,2000x =4x3-4x2, 4x=4x2-2000 ,∴原式=(4x3-2000x-4x-2001)2001=[4x3-(4x3-4x2)-( 4x2-2000)-2001]2001=-1 三、借助方程根降次一元二次方程的知识是初中阶段最重要、最有用的知识之一，它在降次求值中的作用也不可忽视，现举二例如下：（一）、借助根的定义降次例5：已知α、β 是方程x2-x-1=0的两根，求α4+3β的值。∵α是方程x2-x-1=0的根 ,∴α2-α-1=0 , α2=α+1 .于是 α4=（α+1）2=α2+2α+1=α+1+2α+1=3α+2 ，∴α4+3β=3α+2+3β=3（α+β）+2又α、β 是方程x2-x-1=0的两根，∴α+β=1 ，∴α4+3β=5 。（二）、构造一元二次方程降次例6、已知m2=m+1 ,n2=n+1 ,m≠n,求m4+n4之值。∵m2=m+1 ,n2=n+1 ,m≠n ，∴m、n可看成一元二次方程x2-x-1=0的两根 ，∴ 有m+n=1 ,mn=-1 ,∴m4+n4=(m2+n2)2-2m2n2=[(m+n)2-2mn]2-2m2n2=[12-2×(-1)]2-2(-1)2=194 .总之，降次法在我们的求值问题中是一个常用且有效的方法，尤其是对高次代数式的求值问题更为有效，用好了对我们解决问题将会起到事半功倍的效果。2 某些较复杂的分数应用题，一般思路就是先要转化分率，然后才能解答。若采用倒数转化法来解答，既能巧妙地统一单位“1”，又可减少分率转化的繁琐计算，往往能出奇制胜，使思路清晰，解法简捷。现举几例如下：
例1 某电器厂男工占总人数的2/3，后来又招进20名女工，这时男工占总人数的6/11。这个厂原来有男、女工各多少名?
分析与解答：用一般方法的解题思路是，因为这个厂总人数前后有所变化，题中两个分率所涉及的单位“1”不统一，而男工人数前后没有变化，所以把男工人数看作单位“1”，再把前后两次的女工人数转化成占男工的分率，然后再求解。如果采用倒数法，立即可统一单位“1”，即原来工厂总人数占男工人数的5/3，后来工厂总人数占男工人数的11/6。则：
男工人数：20÷(11/6-5/3)=20÷1/6=120(名)
女工人数：120×5/3-120=80(名)
例2 电视机厂生产一批电视机，原计划30天完成，实际每天比原计划多生产1/4，实际多少天完成?
分析与解答：这道题中的“30天”是原计划的工作时间，“1/4”所对应的单位“1”是原计划的工作效率，已知数量和已知分率不相对应，这就需要将某个条件进行转化。设这批电视机的台数为“1”，我们可以将“原计划30天完成”转化为“原计划每天完成这批电视机的1/30(即30的倒数，也就是工作效率)”。由题目条件可求出实际每天可以完成这批电视机的“1/30×(1+1/4)”，根据“工作量÷工作效率=工作时间”，可求出实际工作的天数：
1÷[1/30×(1+1/4)]=24(天)。
例3 某人骑自行车往返甲、乙两地，返回时逆风，返回时的速度是去时的5/6，因此返回所花的时间比去时多24分钟。去时花了多少分钟?
分析与解答：这题的已知条件是往、返速度间的分率和往、返相差的时间，已知数量与已知分率不相对应。设甲、乙两地间的路程为“1”，当去时所花的时间为“1”时，去时的速度也应为“1”；返回时的速度是去时的5/6，返回所花的时间应是去时的“1÷5/6”(即5/6的倒数)。于是24分钟就相当于去时的“1÷5/6-1”，这样可求得去时花了：
24÷(1÷5/6-1)=120(分钟)。
例4 甲、乙两人从东村步行到西村，甲每小时行3.5千米，乙每小时行3.75千米，已知甲早出发1/4小时而又比乙晚到1/12小时。两村相距多少千米?
分析与解答：将“甲每小时行3.5千米”转化为“甲每行1千米路要1/3.5小时”(即3.5的倒数)，将“乙每小时行3.75千米”转化为“乙每行1千米路要1/3.75小时”(即3.75的倒数)，由此要知每行1千米甲比乙多花“1/3.5-
1/3.75”小时。已知行完全程甲比乙共多花“1/4+1/12”小时，根据包含除法的意义，可以求出两村之间的路程：
(1/4+1/12)÷(1/3.5-1/3.75)=17.5(千米)。
倒数转化法是一种特殊的思考方法，也是一种重要的数学解题策略。在教学中若能引导学生灵活地掌握并加以运用，不仅能将一些较复杂的数学问题较容易地解答出来，达到变繁为简、化难为易的目的，而且还能激活学生的思维空间，拓展学生解答较复杂分数应用题的能力。
3局部通分法分析 用去分母化整式方程的常规办法来解，将会带来繁琐的运算，如能适当局部通分，并辅以除法求解，将会得到较为理想的效果．解 局部通分得去分母，得x2－7x＋10=x2－9x＋18．故2x=8．∴x=4．经检验知x=4是原方程的解． 4 解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等。 例题：2008年江西省行测真题 数学思想剖析：方程法和换元法数学思想依据是函数与方程思想。函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。函数思想以函数知识做基石，用运动变化的观点分析和研究数学对象间的数量关系，使函数知识的应用得到极大的扩展，丰富并优化了数学解题活动，给数学解题带来一股很强的创新能力。方程思想是从问题的数量关系出发，运用数学语言将问题中的条件转化为方程、不等式或它们的混合组，通过解方程（组）、不等式（组）或其混合组使问题获解。函数思想与方程思想的联系十分密切，而且函数与方程思想在数学解题中可以互化互换，丰富了数学解题的思想宝库。常用的方法有方程组法和换元法。

㈡ 换元法的分解因式

有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来，这种方法叫做换元法。 注意:换元后勿忘还元。
【例】在分解(x²+x+1)(x²+x+2)-12时，可以令y=x²+x,则原式=(y+1)(y+2)-12=y²+3y+2-12=y²+3y-10=(y+5)(y-2)=(x²+x+5)(x²+x-2)=(x²+x+5)(x+2)(x-1)．
例2，(x+5)+(y-4)=8
(x+5)-(y-4)=4
令x+5=m,y-4=n
原方程可写为
解得m=6,n=2
所以x+5=6,y-4=2
所以
特点：两方程中都含有相同的代数式，如题中的x+5,y-4之类，换元后可简化方程。
解高次方程
有时在解方程时，可以选择方程中的相同的部分换成另一个未知数，达到降次的目的，然后进行新方程求新未知数，最后再转换回来求原未知数，这种方法叫做换元法。 注意:换元后勿忘还元。
【例】解方程（x²-2x）²-3（x²-2x）-4=0
解：设x²-2x=y，则原方程变为y²-3y-4=0
(y-4)(y+1)=0
y-4=0或y+1=0
y1=4 y2=-1
当y=4时，x²-2x=4 解得x1=1+√5 x2=1-√5
当y=-1时，x²-2x=-1解得x1=x2=1
所以，原方程的根为x1=1+√5 x2=1-√5 x3=1

㈢ 降次公式是什么呀

降次公式是cos2α=2cos²α-1=1-2sin²αcos²α=(1/2)(1+cos2α)sin²α=(1/2)(1-cos2α)。

在数学运算中，把含未知数的项的指数降低的手法叫做降次。

通过降次，可以把次数较高的方程（组）转化为低次方程（组），使得解方程（组）更为简便，这就叫做降次公式。

降次积分法

降次积分法是求高次函数积分的一种技巧。先用换元积分法、三角换元法、分部积分法、部分分式法等方法求出降次公式，将原函数（如In）用低次的函数形式（如In-2）表示。然后将n代成想求的数，逐步降次，直至降至0或1次为止，借助积分表得出结果。

㈣ 一元二次方程换元法

、解数学题时,把某个式子看成一个整体,用一个变量去代替它,从而使问题得到简化,这叫换元法.
换元的实质是转化,关键是构造元和设元,理论依据是等量代换,目的是变换研究对象,将问题移至新对象的知识背景中去研究,从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化,变得容易处理.
2、我们常用的是整体换元法,是在已知或者未知中,某个代数式几次出现,而用一个字母来代替它从而简化问题,当然有时候要通过变形才能发现.把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程,从而达到降次的目的.
【典例解析】
例1.用适当方法解下列方程:
(1)2x2﹣5x﹣3=0
(2)16(x+5)2﹣9=0
(3)(x2+x)2+(x2+x)=6.
例题分析:本题考查了一元二次方程的几种解法:①公式法;②直接开平方法;③换元法
(1)用公式法解一元二次方程,先找a,b,c;再求△;再代入公式求解即可;
(2)用直接开平方法解一元二次方程,先将方程化为(x+5)2=,直接开方即可;
(3)设t=x2+x,将原方程转化为一元二次方程,求解即可.
解:(1)∵a=2,b=﹣5,c=﹣3,△=b2﹣4ac=(﹣5)2﹣4×2×(﹣3)=25+24=49,
∴x===,
∴x1=3,x2=﹣;
(2)整理得,(x+5)2=,
开方得,x+5=±,
即x1=﹣4,x2=﹣5,
(3)设t=x2+x,将原方程转化为t2+t=6,
因式分解得,(t﹣2)(t+3)=0,
解得t1=2,t2=﹣3.
∴x2+x=2或x2+x=﹣3(△<0,无解),
∴原方程的解为x1=1,x2=﹣2.
例2.解方程:(1)(x+3)(x﹣1)=5
(2).
例题分析:本题主要考查了解一元二次方程的方法和解分式方程.解一元二次方程时,要注意选择合适的解题方法,这样才会达到事半功倍的效果.还要注意换元思想的应用.
(1)先去括号,将方程化为一般式,然后再运用二次三项式的因式分解法进行求解.
(2)先设x2﹣x=y,采用换元法,然后解方程即可.
解:(1)x2+2x﹣8=0,
(x+4)(x﹣2)=0
∴x1=﹣4,x2=2.
(2)设x2﹣x=y
∴原方程化为y﹣=1
∴y2﹣2=y
∴y2﹣y﹣2=0
∴(y+1)(y﹣2)=0
∴y1=﹣1,y2=2
∴x2﹣x=﹣1或x2﹣x=2
解x2﹣x=﹣1知:此方程无实数根.
解x2﹣x=2知x1=2,x2=﹣1;
∴原方程的解为:x1=2,x2=﹣1.
例3.解下列方程:
(1)2x2+5x﹣3=0
(2)(3﹣x)2+x2=9
(3)2(x﹣3)2=x(x﹣3)
(4)(x﹣1)2﹣5(x﹣1)+6=0
例题分析:本题考查了解一元二次方程的方法,当把方程通过移项把等式的右边化为0后,方程的左边能因式分解时,一般情况下是把左边的式子因式分解,再利用积为0的式子的特点解出方程的根.因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法,要会灵活运用.
(1)方程左边可以利用十字相乘法进行因式分解,因此应用因式分解法解答.
(2)先移项,然后把x2﹣9因式分解为(x+3)(x﹣3),然后再提取公因式,因式分解即可.
(3)

㈤ 初中数学系列知识点

1、 相反数：只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数，也称为这两个数互为相反数。0的相反数是0。用数学语言表述为：若a、b互为相反数，则a+b=0即 ，反之也成立。数a的相反数是-a。
2、 倒数：若a、b（a、b均不为0）互为倒数，则ab=1即 ，反之也成立。a的倒数是 。0没有倒数，1和-1的倒数是它们本身。
3、 有理数和无理数统称为实数。实数分为有理数和无理数，也可分为正实数、0、负实数。实数与数轴上的点一一对应。
4、 有理数分为正有理数、0、负有理数，它们均是有限小数或无限循环小数；也可分为整数和分数，整数又分为正整数、0、负整数；分数又分为正分数、负分数。无理数分为正无理数和负无理数，它们都是无限不循环小数。
5、 π是无理数， 是分数是小数是有理数，0是自然数。
6、 绝对值的几何定义：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值，数a的绝对值记为“|a|”。代数定义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。于是，|a|=a ；|a|=-a a≤0。
7、 任何一个实数的绝对值都是非负数，即|a|≥0。
或 ，或
8、 若|x|=a(a≥0)，则x=±a，即绝对值的原数的双值性。
9、 数轴上两点A（ ）、B（ ）之间的距离为|AB|=| - |，其中点所表示的数为 。坐标平面内两点A（ ， ）、B（ ， ）的距离为：|AB|= ，中点C的坐标为（ ， ），点A到x轴的距离为| |，到y轴的距离为| |，到原点的距离为 ，如果 = 且 ≠ ，则直线AB平行于y轴；如果 = 且 ≠ ，则直线AB平行于x轴。
10、 科学记数法：把一个数写成±a×10n的形式（其中1≤a<10，n是整数）这种记数法叫做科学记数法。记数的方法：（1）确定a；a是只有一位整数数位的数；（2）确定n；当原数≥1时，n等于原数的整数位数减1；当原数<1时，n是负整数，它的绝对值等于原数中左起第一个非零数字前零的个数（含整数位上的零）。
11、 近似数：按某种接近程度由四舍五入得到的数或大约估计数叫做近似数。一般地，一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位。一个数的近似数，常常要用科学记数法来表示。
12、 有效数字：一个近似数，从左边第一个不是零的数字起，到精确到的位数止，所有的数字都叫做这个数的有效数字。精确度的形式有两种：（1）精确到哪一位数；（2）保留几个有效数字。近似数非零数之间的0和尾巴上的0都是有效数字。
13、 实数大小的比较：在数轴上表示的两个数，右边总比左边的大；正数大于零；负数小于零；正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的反而小。
14、 实数加法法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；（2）异号两数相加，绝对值相等时，和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
15、 加法交换律a+b=b+a；加法结合律(a+b)+c=a+(b+c)
16、 减去一个数，等于加上这个数的相反数；即a-b= a +（- b）
17、 减法运算的步骤：（1）将减号变成加号，把减数的相反数变成加数；（2）按照加减运算的步骤进行运算。
18、 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。实数乘法与加法运算步骤一样，第一步确定符号，第二步确定绝对值。零乘以任何数都得0。
19、 乘法交换律ab=ba；乘法结合律(ab)c=a(bc)；乘法分配律a(b+c)=ab+ac
20、 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0除以任何一个不等于0的数，都得0；除以一个数等于乘以这个数的倒数，即a÷ b=a• (b≠0)
21、 乘方运算的性质：（1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；（3）任何数的偶次幂都是非负数；（4）-1的偶次幂是1，-1的奇次幂是-1；（5）1的任何次幂都是1，0的任何非零次幂都是0；（6）负整数指数幂（7）零指数幂
22、 列代数式及代数式的求值：用运算符号把数与表示数的字母连接而成的式子，叫做代数式，单独一个数或一个字母也是代数式；代数式分为有理式、无理式，有理式又分为整式、分式，整式分为单项式、多项式。列代数式时，要注意问题的语言叙述所直接或间接表示的运算顺序。一般来说，先读的先写；要正确使用表明运算顺序的括号；列代数式时，出现乘法时，通常省略乘号，数与字母相乘，要将数写在字母前面；带分数要化成假分数，然后再与字母相乘；数字与数字相乘仍用“×”号：出现除法运算时，一般按分数的写法来写。代数式的求值是用代数值代替代数式里的字母，按照代数式指明的运算顺序计算出结果。列代数式时，如果代数式后跟单位，应该将含有加减运算的代数式用括号括起来。
23、 同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项，把同类项合并成一项就叫做合并同类项。合并同类项的法则就是字母及字母的指数不变，系数相加。同类项与系数的大小没有关系。
24、 单项式：数与字母的乘积的代数式叫做单项式，单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数。单独一个数或一个字母也是单项式。单独一个非零数的次数是0。
25、 多项式：几个单项式的和叫做多项式。在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项，一个多项式中，次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数，单项式和多项式统称为整式。
26、 π是数，是一个具体的数，而不是一个字母。0是单项式，也是整式。
27、 整式的加减法则：整式的加减实质上是合并同类项。几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接起来，一般步骤是：（1）如果遇到括号，按去括号法则先去括号；（2）合并同类项。
28、 同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即am•an=am+n(m、n都是正整数)
29、 幂的乘方与积的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘，即（am）n =amn(m、n都是正整数)；积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂的相乘，即（ab）n =ambn(n是正整数)
30、 单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式。单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘以多项式的每一个项，再把所得的积相加，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
31、 平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2；完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2
32、 完全平方式：a2±2ab+b2，特别注意交叉项的正负性和2倍。(a+b)2=(a-b)2+4ab
33、 同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，即am÷an=am-n(a≠0，m、n都是正整数，m>n)
34、 零次幂、负整数次幂的意义：a0=1(a≠0)；a-p= (a≠0，p是正整数)
35、 单项式除以单项式：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。
36、 多项式除以单项式：一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。
37、 应该注意整式乘法与除法中的符号运算。
38、 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式，多项式的因式分解常用的方法有：提取公因式法、公式法。
39、 分解因式的公式：平方差公式： a2-b2= (a+b)(a-b)；完全平方公式：a2±2ab+b2= (a±b)2
40、 分解因式的一般步骤：提公因式；二项考虑平方差公式，三项的考虑完全平方公式或十字相乘法；四项及以上考虑分组分解法。有时得用换元法（整体考虑）或者比较系数法。
41、 几个整式相乘，所有最高次项相乘得最高次项，最低次项相乘得最低次项。
42、 分式：如果除式B中含有字母，那么称 为分式。当B=0时，分式无意义；当A＝0且B≠0时，分式的值为0；当B≠0时，分式有意义。
43、 分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变，即 。
44、 分式的乘除法：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母；两个分式相除，把除式的分子与分母颠倒位置后现与被除式相乘。即 。
45、 约分：把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形叫做分式的约分。
46、 分子、分母和分式三个符号的同时改变两个，其结果不变，分数线有时起着括号的作用，即 。
47、 分式的加减法：同分母的加减，分母不变，把分子相加加减；异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算。即 。
48、 分式的乘方：
49、 混合运算：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的。
50、 解分式方程的一般步骤：去分母，将分式方程化为整式方程；解这个整式方程；验根，把整式方程的根代入最简公分母，若值不为0，则是原方程的根，若值为0，则是原方程的增根，舍去。
51、 分式方程的应用：分式方程应用题与一元方程应用题类似，不同的是注意双检验：（1）检验所求的解是不是原方程的解；（2）检验所求的解是否符合题意。注意已知增根，求待定字母的取值。
52、 分式方程有解的条件为：去分母后的整式方程有解；去分母后的整式方程的解不能都为增根。
53、 当结果中含有根式时，一定要化成最简根式。
54、 二次根式的相关概念：（1）平方根和算术平方根。一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根，记为 ，我们规定0的算术平方根是0，即 。如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数x就叫做a的平方根（也叫二次方根），记为± 。一个正数有两个平方根；0只有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根。求一个数a的平方根的运算，叫做开平方。（2）立方根。如果一个数x的立方等于a，即x3=a，那么这个数x就叫做a的立方根。正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数。
55、 一个正数正的平方根叫做它的算术平方根。
56、 最简二次根式：被开方数的因数都是整数，因式都是整式；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
57、 二次根式的化简：
； ；
58、 二次根式的计算： ； ；
59、 二次根式的加减法主要是把根式化成最简二次根式后合并同类二次根式。几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式。两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不再含有二次根式，称这两个二次根式互为有理化因式。把分母中的根号化去，叫做分母有理化。
60、 两个式子比较大小的方法有：直接比较法、求差比较法、求商比较法、中间量传递；另外还有指数形式往往把底数或指数化为相同；二次根式还有分母有理化或分子有理化；
61、 方程（组）及解的概念：含有未知数的等式叫做方程。在一个方程中，只含有一个未知数x（元），并且未知数的指数是1（次），这样的方程叫做一元一次方程，其标准形式为 。使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解。含有两个未知数，并且所含未知数的的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程。含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组。只含有一个未知数的整式方程，并且未知数最高次数是2的方程叫做一元二次方程，其一般形式为 。
62、 方程或方程组的解法：（1）等式的性质：等式的两边同时加上（或减去）同一个代数式（或除以同一个不为0的数），所得结果仍是等式。（2）一元一次方程的解：一般要通过去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为1，把一个一元一次方程“转化”成x=a的形式。（3）二元一次方程组的解法：解方程组的基本思路是“消元”——把“二元”变为“一元”。主要方法有代入消元法和加减消元法。其中代入消元法常用步骤是：要消哪一个字母，就用含其它字母的代数式表示出这个字母，然后用表示这个字母的代数式代替另外的方程中的这个字母即可。（4）一元二次方程的解法有配方法、公式法、分解因式法。（5）一元二次方程 的判别式 。当 >0时 有两个不相等的实数根；当 =0时 有两个相等的实数根；当 <0时 没有实数根。（6）若 、 是 的两实数根，则有 ， 。（7）对于一元二次方程 ， 方程有一个根为0； 方程有一个根为1； 方程有一个根为-1；
63、 关于方程 ，（1）当 时，方程有唯一解 ；（2）当a=0， 0时，方程无解；（3）当a=0，b=0时，方程的解为全体实数。
64、 关于方程组 ，（1）当 时方程组有唯一解；（2）当 时方程组无解；（3）当 时方程组有无数组实数解。
65、 用公式法解一元二次方程时，首先要将一元二次方程化为一般形式，找出a,b,c的值，即先计算判别式 ，再用求根公式 ；用配方法解一元二次方程时，先将方程二次项系数化为1，然后两边同时加上“一次项系数一半的平方”。特别注意别漏掉一个根。注意换元法的使用。
66、 一元二次方程的近似解的求法，实质是利用夹逼方法进行求解的。
67、 列方程、方程组解应用题的一般步骤是：审题；设未知数；列方程或方程组；解方程或方程组；检验并写出答案。审题是基础，找出等量关系，建立方程（组）模型是关键。
68、 利润率= = ；打a折，即降价为原来的 。
69、 降次的常用方法是：直接开方降次、分解因式降次，代入降次。
70、 不等式的性质：（1）基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变；（2）基本性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）基本性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向要改变。
71、 不等式和不等式组的解法：（1）能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解，求不等式的解集的过程叫做解不等式；（2）一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集。求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组。记住多画画数轴。
72、 求一元一次不等式（组）的整数解的步骤：（1）求出一元一次不等式（组）的解集；（2）找出合适解集范围的整数解、非负数解、正整数解或负整数解。
73、 已知不等式组的解集，确定不等式中的字母的取值范围，有以下四种方法：（1）逆用不等式组解；（2）分类讨论确定；（3）从反而求解确定；（4）借助数轴确定。
74、 一次函数 ，当函数值y>0或y<0时，一次函数转化成不等式，利用函数图象、确定函数值和自变量的取值范围。
75、 在平面内确定一个点的位置，通常需要两个量，这两个量可以是两个数，也可以是一个角度、一个数。平面内，确定物体位置的的方法主要有两类：（1）定点的位置：①线线相交，用交点的唯一性位置；②方位角+距离：以某一点为观察点，用方位角、目标到达这个点的距离这两个数据来确定目标的位置。（2）定区域的位置。

76、 平面直角坐标系点的坐标特征：（1）平面直角坐标系有关概念；（2）点的坐标特征：x轴上的点，纵坐标为零，y轴上的点，横坐标为零。即表示为（a,0）、（0,b）。第一象限点（+，+），第二象限（-，+），第三象限（-，-），第四象限（+，-）；（3）对称点的坐标：P(a,b)关于x轴，y轴和原点的对称点分别为(a,-b),(-a,b),(-a,-b)；P(a,b)关于y=x，y=-x对称的点的坐标为((b,a),(-b,-a)；P(a,b)关于y=y0，x=x0对称的点的坐标为((a,2y0-b),(2x0-a,b)；（4）象限角平分线上的点的特征：第一、三象限角平分线上的点的特征是（a,a）（直线解析式为y=x）；第二、四象限角平分线上的点的特征是（-a,a）或(a,-a)。
77、 图形的变化：
变化前的点坐标(x,y) 坐标变化 变化后的点坐标 图形变化
平移 横坐标不变，纵坐标加上（或减去）n（n>0）个单位长度 (x,y+n)或(x,y-n) 图形向上（或向下）平移了n个单位长度
纵坐标不变，横坐标加上（或减去）n（n>0）个单位长度 (x+n,y)或(x-n,y) 图形向右（或向左）平移了n个单位长度
伸长 横坐标不变，纵坐标扩大n（n>1）倍 (x,ny) 图形被纵向拉长为原来的n倍
纵坐标不变，横坐标扩大n（n>1）倍 (nx,y) 图形被横向拉长为原来的n倍
压缩 横坐标不变，纵坐标缩小n（n>1）倍 (x, )
图形被纵向缩短为原来的

纵坐标不变，横坐标缩小n（n>1）倍 ( ,y)
图形被横向缩短为原来的

放大 横纵坐标同时扩大n（n>1）倍 (nx ,ny) 图形变为原来的n2倍
缩小 横纵坐标同时缩小n（n>1）倍 ( , )
图形变为原来的

78、 求与几何图形联系的特殊点的坐标，往往是向x轴或y轴引垂线，转化为求线段的长，再根据点所在的象限，醒上相应的符号。求坐标分两种情况：（1）求交点，如直线与直线的交点；（2）求距离，再将距离换算成坐标，通常作x轴或y轴的垂线，再解直角三角形。
79、 一般地，在某一个变化过程中，有两个变量x和y，如果给定一个x值，相应夺就确定了一个y值，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量。函数的表示法有三种：解析法、图象法、列表法。
80、 把一个函数关系式的自变量x与对应的因变量y的值分别作为点的横坐标和纵坐标，在平面坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象。即：若点P(x,y)的坐标满足函数关系式，则点P在函数图象上；反之，若点P在函数图象上，则P(x,y)的坐标满足函数关系式。描点法画函数图象的步骤：列表、描点、连线。
81、 要使函数关系式有意义：
函数关系式形式 自变量取值范围
整式函数 全体实数
分式函数 使分母不为零
根式函数 偶次根式 使被开方数非负
奇次根式 全体实数
零指数、负指数形式函数 使底数不为零
82、 正比例函数与一次函数的概念：（1）一次函数：形如 （k≠0，k，b是常数）的函数叫做一次函数。（2）正比例函数：形如，k是常数）的函数叫做正比例函数。（3）正比例函数与一次函数的关系：正比例函数是一次函数的特殊情形。
83、 一次函数的图象和性质：（1）图象：一次函数的图象是过点（ ，0），（0，b）的一条直线，正比例函数的图象是过点（0，0），（1，k）的直线；|k|越大，（1，k）就越远离x轴，直线与x轴的夹角越大；|k|越小，（1，k）就离x轴越近，直线与x轴的夹角越小；（2）性质：k>0时，y随x增大而增大；k<0时，y随x增大而减小；（3）图象跨越的象限：①k>0,b>0经过一、二、三象限；②k<0,b>0经过一、二、四象限；③k>0,b<0经过一、三、四象限；④k<0,b<0经过二、三、四象限。即k>0，一三；k<0，二四；b>0，一二；b<0，三四。（4）直线 和 的位置关系为： ； 相交于y轴上；
b>0 b=0 b<0 增减性
k>0 y随着x增大而增大
k<0 y随着x增大而减小
84、 用割补法求面积，基本思想是全面积等于各部分面积之和，在割补时需要注意：尽可能使分割出的三角形的边有一条在坐标轴上，这样表示面积较为方便。坐标平面内图形面积算法：把图形分割或补为底边在坐标轴或平行于坐标轴的直线上的三角形、梯形等。
85、 求函数的解析式往往运用待定系数法，待定系数法的步骤：（1）设出含待定系数的函数解析式；（2）由已知条件得出关于待定系数的方程（组），解这个方程（组）；（3）把系数代回解析式。
86、 仔细体会一次函数与一元一次方程及一元一次不等式之间的内在联系：（1）一元一次方程kx+b=y0(y0是已知数)的解就是直线 上，y=y0这点的横坐标；（2）一元一次不等式y1≤kx+b≤y2(y1,y2是已知数，且y1<y2)的解集就是直线 上满足y1≤y≤y2那条线段所对应的自变量的取值范围。（3）一元一次不等式kx+b≤y0（或kx+b≥y0）（y0是已知数）的解集就是直线 上满足y≤y0（或y≥y0）那条线段所对应的自变量的取值范围。
87、 反比例函数的定义及解析式求法：（1）定义：形如 （k≠0，k是常数）的函数叫做反比例函数，其自变量取值范围是x≠0；（2）解析式求法：应用待定系数法求k值，由于k=xy，故只需要已知函数图象上一点，即求出函数的解析式。
88、 反比例函数的图象和性质：（1）图象：反比例函数的图象是双曲线，当k>0时，双曲线的两个分支在第一、三象限；当k<0时，双曲线的两个分支在第二、四象限。（2）性质：当k>0时，在每一象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，在每一象限内，y随x的增大而增大；图象是关于原点对称的中心对称图形，又是轴对称图形，其对称轴为y=x，y=-x。
89、 正、反比例函数图象及性质对比：
k值
函数性质 k>0 k<0
（k≠0）
图象

性质 y随着x增大而增大 y随着x增大而减小
（k≠0）
图象

性质 y随着x增大而减小 y随着x增大而增大
90、 （1）利润最大、费用最低等一类问题，往往可通过建立函数模型进行解决；（2）运输等问题可采用列表或画图的方法来分析其数据间的关系，这样易于理清错综复杂的数据，对解题有极大的帮助；（3）方案设计问题，往往先建立不等式，转化为求不等式的整数解的问题。
91、 二次函数的定义和解析式求法：（1）形如 （a、b、c为常数，a≠0）的函数叫二次函数；（2）用待定系数法求二次函数解析式，其解析式有三种形式。一般式： ，主要用于已知抛物线上任意三点的坐标；交点式： ，其中（ ，0）与（ ，0）是抛物线与x轴的两点交点的坐标，主要用于已知与x轴两个交点的坐标或两点间的距离及对称轴；顶点式： ，其中（h，k）是抛物线的顶点坐标，主要用于已知抛物线的顶点坐标或对称轴或最大（小）值。
92、 二次函数的图象是一条抛物线，它具有以下性质：（1）抛物线 的顶点坐标是（ ， ），对称轴是直线 ；当a、b同号时，对称轴在y轴的左侧；当a、b异号时，对称轴在y轴的右侧；当b=0时，对称轴为y轴。（2）当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下；|a|决定抛物线开口大小；|a|越大，抛物线开口越小；|a|越小，抛物线开口越大。（3）当a>0， 时，y有最小值 ；当a<0， 时，y有最大值 。（4）增减性：对于二次函数 。①若a>0，当 时，y随x的增大而减小；当 时，y随x的增大而增大；②若a<0，当 时，y随x的增大而增大；当 时，y随x的增大而减小。（5）抛物线与y轴交点为(0,c)，当c>0时，交点在y轴的正半轴；当c<0时，交点在y轴的负半轴；当c=0时，经过原点。
93、 对于抛物线，a的符号由开口方向确定，b由对称轴确定，c由抛物线与y轴的交点确定，2a±b由对称轴确定，a-b+c由x=-1时y的符号确定，4a-2b+c由x=-2时y的值确定。即抛物线经过（1，a+b+c）、（-1，a-b+c）、(-2，4a-2b+c)等点。求两个函数图象的交点坐标，就是把两个函数的解析式联立成方程组，求出的解就是交点坐标。直线与抛物线的交点有三种情况：当方程组有两解时，有两个交点（△>0）；当有一个解时，即有一个交点（△=0）；当没有解时，即不存在交点（△<0）。
94、 构造二次函数模型，求最大（小）值。
95、 选择题的解题办法：数形结合的观察法、特殊值法、验证法、排除法、直解法。
96、 对于抛物线 ，与x轴交点A（ ，0）、B（ ，0）则（1）|AB|=| - |= ，对称轴
97、 函数关系式 点坐标 线段长 几何知识的应用。

㈥ 换元法的基本步骤

换元法的基本步骤

换元法是一种重要的思想方法，它在初中数学有着广泛的应用。换元法的基本思想是引进新的变量，把一个复杂的数学问题转化为若干个简单的数学问题。只要把这些简单问题一加一解决，就可以使原来的复杂问题得到解决。因此换元法可以把问题化难为易，化繁为简，化未知为已知，并且能够开拓思路，获得运算的技能技巧。

使用换元法的关键在于换元式的确定，这要视具体问题而定。但是，换元式的确定有一些基本原则，即换元后要使原式降次，整式化（去分母），有理式（去根号）等，从而使某些数量关系明朗，使所得新的代数式或方程等易于求解。