逆z变换的三种常用方法

1. z变换的逆变换

是否所有的Z变换都可以用部分分式法做？有一些题目用留数法和部分分式法做结果不一样……高人指点下……
我记得是大二的时候学习的复变函数。[1]是否所有的Z变换都可以用部分分式法做？ 否，有些题目非常难，以至于不可能用部分分式做[2]有一些题目用留数法和部分分式法做结果不一样 不可能，吉米多维奇我都做过，自信计算能力不一般，没有你说的可能，除非你计算错误，尤其是方法使用有误。它们应用条件不一致。[3]建议你多做练习，熟悉各种方法的优缺点，你的问题完全是由于训练不足造成的。

2. 逆矩阵的求解方法有几种

行初等变换法,求伴随矩阵法
行初等变换法比较常用，我说明一下其方法以及方法的来源和证明过程。
行初等变换法
:
因为矩阵A可逆，则逆矩阵A-1可逆（AA-1=E
det(AA-1)=detA*detA-1=detE=1
则detA-1!=0）矩阵A经过一系列的初等变换（包括行变换和列变换得到E(需要证明)
证明：（证明前说明一个问题：一个矩阵进行一次行变换相当于左乘一个m阶初等矩阵，进行一次列变换相当于右乘一个n阶初等矩阵（初等矩阵就是由单位矩阵进行一次初等变换得到的矩阵（初等变换包括三种方式即：交换矩阵某两行，某两列或者将矩阵的某一行或某一列的k倍加到另一行或另一列去））那么即是p1*p2*……*pn*A*q1*q2*……qn=E(并不是直接得到E,而是一个只与E和O有关的矩阵，但由于qn，pn的行列式都不为0，则得到的与和O有关的矩阵的行列式不为0，则该矩阵为E，这里说明A必须为n阶矩阵)p1*p2*……*pn*A*q1*q2*……qn=E两边同时乘以pn，qn的逆矩阵）则得到A=pn-1*……p1-1*qn-1*……*q1-1）
，那么同理我们可以将A-1表示为A-1=G1*G2*……Gn，(G1、G2……Gn均为初等矩阵)也可以写成A-1=G1*G2*……Gn*E(因为一个矩阵乘以E还是原矩阵)两边同时右乘A,即A-1*A=G1*G2*……Gn*A,则E=G1*G2*……Gn*A,这就是说E经过一系列行初等变换（就是交换E的两行或者将E的某一行的K倍加到另一行去）得到A-1,而A经过与上面相同的行变换得到E,那么我们可以这样表示（A,E）~一系列行变换~（E,A-1），因此我们可以把A,E放在一起形成一个2n阶矩阵，在经过一系列行初等变换，当A变为E时，E变为A-1.

3. z变换和逆z 变换

1.z变换定义

z变换是研究数字信号各种运动规律的有效方法，多用于时间域的地震和声波等信号的数字处理。我们先来看“时间序列”的表示方法，对于“时间序列”通用的方法是按等间隔时间点的信号幅值或脉冲表示，例如图8－5，其“时间序列”可表示为

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图8－5 时间序列图形

以时间函数b（n）在各时间点n的值作为变量z的n乘方项的系数，构成一个多项式B（z），即

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这里的B（z）就称为b（n）的z变换。其中称z为时间函数b（n）的“单位延迟算子”，简称延迟算子。利用z变换就可以反映时间函数的运动特性。

（1）z变换可以表示不同时延的相同的波形

例如：zB（z）＝z＋2z²－z⁴－z⁵表示上述的波延迟一个单位，z²B（z）＝z²＋2z³－z⁵－z⁶表示上述的波延迟两个单位，而zⁿB（z）＝zⁿ＋2z^n＋1－z^n＋3－z^n＋4则表示波延迟了n个单位（图8－6）。

图8－6 z变换不同延迟示意图

（2）z变换可用于表示不同时延组合的复杂波

例如：如果B（z）是第一次爆炸的声压函数的z变换，延迟10个单位时间后又有一次爆聚，爆聚与第一次爆炸极性相反，强度是前者的一半，那么组合波（图8－7）的z变换为

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图8－7 组合波形图

把上述z的多项式推广到更为一般的情况，对于一个给定的离散信号序列x（n），以此序列为系数构造z的无穷级数称为序列x（n）的z变换，记作X（z），即

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考虑式（8－79）的收敛性，式（8－79）可改写为两个级数和形式：

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数学上容易证明z变换的收敛域为环域：

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其中，r为式（8－80）右端第一项级数绝对收敛的｜z｜中最小者，R为式（8－80）右端第二项级数绝对收敛的｜z｜中最大者。

在z变换式（8－79）中，如果令z＝e^－iω，则

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可见，z变换与傅里叶变换（频谱）是一个概念，二者之间只是一种符号的代换。因此，z变换具有与傅里叶变换相同的性质，如线性、交换性等，同样也有褶积定理，即两个信号褶积的z变换等于信号z变换的乘积。

2.z变换的计算

（1）根据z变换定义计算

［例1］时间序列x（t），取如下各值｛x（－2），x（－1），x（0），x（1），x（2），x（3）｝，所得结果为｛8，3，－2，0，4，－6｝，求其z变换。

解：其z变换为

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［例2］求 的z变换。

解：其z变换为 其收敛域2z<1，即

［例3］求序列 的z变换。

解： 其收敛域

［例4］求序列 的z变换。

解：求得 其收敛域

（2）根据褶积定理计算

设时间序列a（k），b（k）的z变换分别为A（z）和B（z），即

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y（k）为这两个时间序列a（k），b（k）的褶积，即

y（k）＝a（k）*b（k）

则由z变换的褶积定理，知

Y（z）＝A（z）·B（z）

即两序列褶积的z变换，等于两个序列的z变换的乘积。

［例5］已知a（k）＝｛a（0），a（1），a（2），a（3），a（4）｝＝｛1，1，1，1，1｝，且b（k）＝a（k），求

褶积值y（k）＝a（k）*b（k）。

解：根据z变换褶积定理

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由此可得

y（k）＝｛1，2，3，4，5，4，3，2，1｝（k＝0，1，…，8）

可以看出，用z变换计算a（k）*b（k）比直接算法简便得多。

这种算法也可以推广到多项褶积，即如果存在若干个序列a（j），b（j），…，k（j），那么他们的褶积y（j）＝a（j）*b（j）*…*k（j）的z变换为Y（z）＝A（z）·B（z）…K（z）。

3.逆z变换

上面分析了从已知序列x（n）求出z变换的正问题。下面分析由X（z）求其对应序列x（n）的逆问题，即逆z变换。这里列举了求逆z变换的三种方法，并用例子进行说明。

（1）直接展开法

［例1］已知 ｜z｜<a，求x（n）。

解：因为｜z｜<a，故 可构造无穷级数，即

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［例2］已知 ｜z｜>a，求x（n）。

解：因为｜z｜>a，故 所以

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故x（n）＝｛－a，－a²，…｝（n＝－1，－2，…）

（2）部分分式法

［例3］已知 求x（n）。

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［例4］已知 1<｜z｜<4，求x（n）。

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根据前面例子有

X₁（z）＝－z^－1－z^－2－…，｜z｜>1

X₂（z）＝1＋4^－1z＋4^－2z²＋4^－3z³＋…，｜z｜<4

故有

4. Z变换的三大类方法是什么

级数求和法，部分分式法和留数法。
如还有问题可以追问。
望采纳。谢谢。

5. 求Z反变换有哪些方法

Z变换的求解有2种,长除法和部分分式法,此题不能通过因式分解展开成常用Z变换表中的因式乘积的形式,所以只能用长除法完成.

6. 部分分式法求逆Z变换

先总结：除z有简化计算的效果
1.我们最常遇到题目求逆z变换的Z域分子分母最高项同阶，用定义的话都需要先化作真分式，化出的真分式还得乘z的负一次方再在分子成z凑成常用变换对，不方便计算。当除z后自然成为真分式——乘z后出现典型变换对，有简化计算的效果。
2.本身是真分式的式子除z一般有化简分子的作用，直接优势是不用定参确定分子。
3.关于计算结果不同的问题，考研🐶不太敢不按规则计算，以后再研究，个人觉得应该是计算错误
4.遇到过差二阶的还是除z计算，没见过三阶及以上的。。
4.

7. Z变换的逆变换

已知Z变换X(Z)求对应的离散时间序列x[n]称为Z变换的逆变换。逆Z变换的定义式为：

逆Z变换是一个对Z进行的围线积分，积分路径C是一条在 收敛环域（Rx-，Rx+）以内逆时针方向绕原点一周的单围线。
求解逆Z变换的常用方法有：
（1）幂级数展开法（部分分式展开法）
如果得到的Z变换是幂级数形式的，则可以看出，序列值x[n]是幂级数中 项的系数；如果已经给出X(Z)的函数表达式，常常可以推导它的幂级数展开式或者利用已知的幂级数展开式，进一步X(Z)是部分分式，可用长除法可获得幂级数展开式。
（2）留数定律法
对于有理的Z变换，围线积分通常可用留数定律计算， ，即为 在围线C内所有极点 上留数值的总和。
（3）利用已知变换对
（4）长除法