有理函数积分常用的方法

❶ 这个有理函数积分怎么算

这个属于有理函数的积分，有一整套方法，叫着奥斯特洛格拉德斯基方法，也可称作待定系数法。
方法为：1.求出分母的实根（1个或3个），2.化为待定系数的部分分式之和 3.解方程组或特值法确定待定系数。4.求出各部分分式的原函数。
如果你有具体的题目，我可以给你详细解答。

❷ 求三角函数有理式积分

三角函数有理式是指由三角函数和常数经过有限次四则运算所构成的函数。由于各种三角函数都可用s¡nx
和cosx的有理式表示，记做ƒ(s¡nx，cosx)。三角函数有理式积分都可以化为有理函数的积分。
下面分类给出将三角函数有理式积分化为有理函数的积分方法
1
、可化为∫ƒ(s¡nx)
cosxdx；∫ƒ(cosx)s¡nxdx；
∫ƒ(tanx)sec2xdx；
∫ƒ(cotx)csc2xdx
型积分
可令t=s¡nx
，t=cosx，t=tanx，t=cotx
化为有理函数积分
如∫cos2xs¡n3xdx=∫cos2x(1-cos2x)s¡nxdx
=∫ƒ(cosx)s¡nxdx
=∫ƒ(t)dt
(令t=cosx)
∫sec4xdx=∫(1+tan2x)sec2xdx
=∫ƒ(tanx)sec2xdx
=∫ƒ(t)dt
(令t=tanx)
2
、若ƒ(s¡nx，cosx)=
ƒ(-s¡nx，-cosx)
可令t=tanx
得有理函数积分
如
∫a2sin2x+b2cos2x(1)dx
=∫（a2tan2x+b2）cos2x(1)dx
=∫g(t)dt
(令t=tanx)
3、一般ƒ(s¡nx，cosx)型，可采用万能置换公式化为有理函数积分
令t=tan
2(x)则
sinx=
1+t2(2t)
cosx=
1+t2(1-t2)
dx=
1+t2(2)dx
如
∫1+cosx(1-cosx)dx
=∫1+t2(2t2)dt
=∫g(t)dt

❸ 有理函数的积分

答：
2.
令tanx=t，则x=arctant，dx=dt/(1+t^2)。
原积分
=∫1/(1+t)*1/(1+t^2) dt
=1/2*∫[1/(1+t)+(1-t)/(1+t^2)] dt
=1/2ln|1+t|+1/2arctant-1/4ln(1+t^2) + C
=1/2ln|1+tanx|+x/2+1/2ln|cosx|+ C
=1/2(x+ln|sinx+cosx|) + C

3.
令t=(x+1)^(1/6)，则x=t^6-1，dx=5t^5dt
原积分
=∫ 5t^5/(t^3+t^2) dt
=5∫ [(t^3+t^2)-(t^2+t)+(t+1)-1]/(t+1) dt
=5∫ t^2-t+1-1/(t+1) dt
=5t^3/3-5t^2/2+5t-5ln|1+t| + C
=5(x+1)^(1/2)/3-5(x+1)^(1/3)/2+5(x+1)^(1/6)-5ln((x+1)^(1/6)+1) + C

4.
令tanx=t，则x=arctant，cost=1/√(1+t^2)，dx=dt/(1+t^2)
原积分
=∫1/(1+8(cosx)^2)dx
=∫ dt/(9+t^2)
=1/9 ∫ dt/(1+(t/3)^2)
=1/3 ∫ d(t/3)/(1+(t/3)^2)
=1/3arctan(t/3)
=1/3arctan((tanx)/3) + C

5.是(cosx)^3吧？
原积分
=∫[(sinx)^2+(cosx)^2]/(sinx(cosx)^3) dx
=∫ sinx/(cosx)^3 + 1/(sinxcosx) dx
=1/(2(cosx)^2) + 2∫1/(sin2x) dx
=1/(2(cosx)^2) + ln|cot2x-csc2x| dx
=1/(2(cosx)^2) + ln|tanx| dx

形如∫R(sinx,cosx)dx（式中R为有理函数）的积分一般情形可用代换tan(x/2)=t化为有理函数积分。
（1）若等式R(-sinx,cosx)≡-R(sinx,cosx)，则最好用代换cosx=t；
R(sinx,-cosx)≡-R(sinx,cosx)，则最好用代换sinx=t。
（2）若等式R(-sinx,-cosx)≡R(sinx,cosx)成立，则最好用代换tanx=t。

上面第2，4题满足（2）情况，第1题满足（1）情况，就是最好令cosx=t，但是我没做出来。
公式如下：
∫1/(1+εx)dx 当0<ε<1时
=2/√(1-ε^2)arctan(tan(x/2)√((1-ε)/(1+ε))) + C；
∫1/(1+εx)dx 当0ε>1时
=1/√(ε^2-1)ln|[ε+cosx+sinx√(ε^2-1)]/(1+εcosx)| + C.
第1题因为sinx=cos(x-π/2)，代入上式可得到答案：
=1/√3 ln|[2+cos(x-π/2)+√3sin(x-π/2)]/(1+2cos(x-π/2))|
=1/√3 ln|[2+sinx-√3cosx]/(1+2sinx)|
求导后检验正确。

❹ 求有理函数积分的方法

x²+x+1=(x+1/2)²+3/4
三角换元令x=(√3/2)tanu-1/2
dx=(√3/2)sec²u
=∫(√3/2)(-3tan²u/4+√3tanu/2-9/4)/(9/16)sec²u
=2√3/9∫(-3sin²u+2√3sinucosu-9cos²u)
=2√3/9∫√3sin2u-3-3(cos2u+1)
=(1/3)(-cos2u)-4√3u/3-(√3/3)sin2u+C

❺ 有理函数的积分是什么

求有理函数的积分时，先将有理式分解为多项式与部分分式之和，再对所得到的分解式逐项积分。有理函数的原函数必是有理函数、对数函数与反正切函数的有理组合。

根据代数知识，有理真分式必定可以表示成若干个部分分式之和(称为部分分式分解)，因而问题归结为求那些部分分式的不定积分。

积分基本公式

1、∫0dx=c

2、∫x^udx=(x^u+1)/(u+1)+c

3、∫1/xdx=ln|x|+c

4、∫a^xdx=(a^x)/lna+c

5、∫e^xdx=e^x+c

6、∫sinxdx=-cosx+c

7、∫cosxdx=sinx+c

8、∫1/(cosx)^2dx=tanx+c

9、∫1/(sinx)^2dx=-cotx+c

❻ 有理函数的积分法

1/(x-1)^2(x+2)
=a/(x-1)^2+b/(x-1)+c/(x+2)
a=1/3,b=-1/9,c=1/9
所以是(1/3)*(x-1)^(-2)-(1/9)*1/(x-1)+(1/9)*1/(x+2)
所以积分=(1/3)*[-(x-1)^(-1)]-(1/9)ln|x-1|+(1/9)ln|x+2|+C
=-1/(3x-3)+(1/9)ln|(x+2)/(x-1)|+C

❼ 有理函数的不定积分拆分方法

求有理函数的积分时，先将有理式分解为多项式与部分分式之和，再对所得到的分解式逐项积分。有理函数的原函数必是有理函数、对数函数与反正切函数的有理组合。

积分函数f(x)=(x^2+1)/[(x-1)(x+1)^2]

用待定系数法，设分拆成以下有理分式f(x)=A/(x-1)+B/(x+1)+C/(x+1)^2

通分得f(x)=[A(x+1)^2+B(x+1)(x-1)+C(x-1)]/[(x-1)(x+1)^2]

=[(A+B)x^2+(2A+C)x+(A-B-C)]/[(x-1)(x+1)^2]

与原式比较，分母同，分子中x同次幂的系数必然相同，得

A+B=1,2A+C=0,A-B-C=1,联立解得A=B=1/2,C=-1,

则f(x)=(1/2)[1/(x-1)+1/(x+1)]-1/(x+1)^2。

❽ 高数有理函数的积分怎么求

∫[(x-3)/(x-1)(x²-1)]dx=∫(x-3)/(x-1)²(x+1)]dx;
将被积函数进行拆项：(x-3)/(x-1)²(x+1)]=[(ax+b)/(x-1)²]+c/(x+1)[下面通分]
=[(ax+b)(x+1)+c(x-1)²]/[(x-1)²(x+1)]=[ax²+(a+b)x+b+cx²-2cx+c]/[(x-1)²(x+1)]
=[(a+c)x²+(a+b-2c)x+(b+c)]/[(x-1)²(x+1)][因为是恒等变换，两边对应项的系数应该相等]
因此有方程组：a+c=0........①；a+b-2c=1...........②；b+c=-3...........③
三式联立求解：①+③得a+b+2c=-3........④；④-②得：4c=-4，∴c=-1；a=1，b=-2；
∴∫[(x-3)/(x-1)(x²-1)]dx=∫[(x-2)/(x-1)²]dx-∫[1/(x+1)]dx
=∫[(x-2)/(x²-2x+1)]dx-∫[1/(x+1)]d(x+1)
=(1/2)∫[(2x-2)/(x²-2x+1)]dx-∫[1/(x-1)²]d(x-1)-∫[1/(x+1)]d(x+1)
=(1/2)∫d(x²-2x+1)/(x²-2x+1)-∫d(x-1)/(x-1)²-∫[1/(x+1)]d(x+1)
=(1/2)ln∣x²-2x+1∣+[1/(x-1)]-ln∣x+1∣+C
=ln∣(x-1)/(x+1)∣+[1/(x-1)]+C;

❾ 关于有理函数的积分求法问题。

答：
2.
令tanx=t，则x=arctant，dx=dt/(1+t^2)。
原积分
=∫1/(1+t)*1/(1+t^2)
dt
=1/2*∫[1/(1+t)+(1-t)/(1+t^2)]
dt
=1/2ln|1+t|+1/2arctant-1/4ln(1+t^2)
+
c
=1/2ln|1+tanx|+x/2+1/2ln|cosx|+
c
=1/2(x+ln|sinx+cosx|)
+
c
3.
令t=(x+1)^(1/6)，则x=t^6-1，dx=5t^5dt
原积分
=∫
5t^5/(t^3+t^2)
dt
=5∫
[(t^3+t^2)-(t^2+t)+(t+1)-1]/(t+1)
dt
=5∫
t^2-t+1-1/(t+1)
dt
=5t^3/3-5t^2/2+5t-5ln|1+t|
+
c
=5(x+1)^(1/2)/3-5(x+1)^(1/3)/2+5(x+1)^(1/6)-5ln((x+1)^(1/6)+1)
+
c
4.
令tanx=t，则x=arctant，cost=1/√(1+t^2)，dx=dt/(1+t^2)
原积分
=∫1/(1+8(cosx)^2)dx
=∫
dt/(9+t^2)
=1/9
∫
dt/(1+(t/3)^2)
=1/3
∫
d(t/3)/(1+(t/3)^2)
=1/3arctan(t/3)
=1/3arctan((tanx)/3)
+
c
5.是(cosx)^3吧？
原积分
=∫[(sinx)^2+(cosx)^2]/(sinx(cosx)^3)
dx
=∫
sinx/(cosx)^3
+
1/(sinxcosx)
dx
=1/(2(cosx)^2)
+
2∫1/(sin2x)
dx
=1/(2(cosx)^2)
+
ln|cot2x-csc2x|
dx
=1/(2(cosx)^2)
+
ln|tanx|
dx
形如∫r(sinx,cosx)dx（式中r为有理函数）的积分一般情形可用代换tan(x/2)=t化为有理函数积分。
（1）若等式r(-sinx,cosx)≡-r(sinx,cosx)，则最好用代换cosx=t；
r(sinx,-cosx)≡-r(sinx,cosx)，则最好用代换sinx=t。
（2）若等式r(-sinx,-cosx)≡r(sinx,cosx)成立，则最好用代换tanx=t。
上面第2，4题满足（2）情况，第1题满足（1）情况，就是最好令cosx=t，但是我没做出来。
公式如下：
∫1/(1+εx)dx
当0<ε<1时
=2/√(1-ε^2)arctan(tan(x/2)√((1-ε)/(1+ε)))
+
c；
∫1/(1+εx)dx
当0ε>1时
=1/√(ε^2-1)ln|[ε+cosx+sinx√(ε^2-1)]/(1+εcosx)|
+
c.
第1题因为sinx=cos(x-π/2)，代入上式可得到答案：
=1/√3
ln|[2+cos(x-π/2)+√3sin(x-π/2)]/(1+2cos(x-π/2))|
=1/√3
ln|[2+sinx-√3cosx]/(1+2sinx)|
求导后检验正确。

❿ 高等数学中 解 积分题 一共会有 哪几种方法呢

高等数学中积分除用定义积分外，主要是三大积分方法：直接积分法、换元积分法、分部积分法
直接积分：利用积分线性性质和积分公式来积分的方法
换元积分法：分第一换元积分法（又称凑微分法）和第二换元积分法.
第一换元积分法是引入中间变量，积出来后需回代；凑微分法则不引入中间变量；
第二换元积分法是引入一个新的自变量，原积分变量作为中间变量，积出来后需反解并回代；
分部积分法：利用分部积分公式把原积分化为另一个积分来积分的方法，这里有一个选择v‘的优先序：
①指数函数、三角函数；②幂函数，多项式；③对数函数、反三角函数

其它的积分方法只是用一些变形技巧，包括有理函数积分、有理三角函数积分、简单无理函数积分等等主要还是三大积分方法。