数列通项公式的常用方法

❶ 求数列通项公式的几种常见方法

一、题目已知或通过简单推理判断出是等比数列或等差数列，直接用其通项公式。
例：在数列{an}中，若a1=1，an
1=an
2(n1)，求该数列的通项公式an。
解：由an
1=an
2(n1)及已知可推出数列{an}为a1=1，d=2的等差数列。所以an=2n-1。此类题主要是用等比、等差数列的定义判断，是较简单的基础小题。
二、已知数列的前n项和，用公式
s1
(n=1)
sn-sn-1
(n2)
例：已知数列{an}的前n项和sn=n2-9n，第k项满足5
(a)
9
(b)
8
(c)
7
(d)
6
解：∵an=sn-sn-1=2n-10，∴5<2k-10<8
∴k=8
选
(b)
此类题在解时要注意考虑n=1的情况。
三、已知an与sn的关系时，通常用转化的方法，先求出sn与n的关系，再由上面的(二)方法求通项公式。
例：已知数列{an}的前n项和sn满足an=snsn-1(n2)，且a1=-，求数列{an}的通项公式。
解：∵an=snsn-1(n2)，而an=sn-sn-1，snsn-1=sn-sn-1，两边同除以snsn-1，得---=-1(n2)，而-=-=-，∴{-}
是以-为首项，-1为公差的等差数列，∴-=
-，sn=
-，
再用(二)的方法：当n2时，an=sn-sn-1=-，当n=1时不适合此式，所以，
-
(n=1)
-
(n2)
四、用累加、累积的方法求通项公式
对于题中给出an与an
1、an-1的递推式子，常用累加、累积的方法求通项公式。
例：设数列{an}是首项为1的正项数列，且满足(n
1)an
12-nan2
an
1an=0，求数列{an}的通项公式
解：∵(n
1)an
12-nan2
an
1an=0，可分解为[(n
1)an
1-nan](an
1
an)=0
又∵{an}是首项为1的正项数列，∴an
1
an
≠0，∴-=-，由此得出：-=-，-=-，-=-，…，-=-,这n-1个式子，将其相乘得：∴
-=-，
又∵a1=1，∴an=-(n2)，∵n=1也成立，∴an=-(n∈n*)
五、用构造数列方法求通项公式
题目中若给出的是递推关系式，而用累加、累积、迭代等又不易求通项公式时，可以考虑通过变形，构造出含有
an(或sn)的式子，使其成为等比或等差数列，从而求出an(或sn)与n的关系，这是近一、二年来的高考热点，因此既是重点也是难点。
例：已知数列{an}中，a1＝2，an
1=(--1)(an
2)，n=1,2,3,……
(1)求{an}通项公式
(2)略
解：由an
1=(--1)(an
2)得到an
1--＝
(--1)(an--)
∴{an--}是首项为a1--，公比为--1的等比数列。
由a1＝2得an--=(--1)n-1(2--)
，于是an=(--1)n-1(2--)
-
又例：在数列{an}中，a1=2，an
1=4an-3n
1(n∈n*)，证明数列{an-n}是等比数列。
证明：本题即证an
1-(n
1)=q(an-n)
(q为非0常数)
由an
1=4an-3n
1，可变形为an
1-(n
1)=4(an-n)，又∵a1-1=1，
所以数列{an-n}是首项为1，公比为4的等比数列。
若将此问改为求an的通项公式，则仍可以通过求出{an-n}的通项公式，再转化到an的通项公式上来。
又例：设数列{an}的首项a1∈(0,1)，an=-，n=2，3，4……(1)求{an}通项公式。(2)略
解：由an=-，n=2,3,4,……，整理为1-an=--(1-an-1)，又1-a1≠0，所以{1-an}是首项为1-a1，公比为--的等比数列，得an=1-(1-a1)(--)n-1

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一、 直接法
如果已知数列为等差（或等比）数列，可直接根据等差（或等比）数列的通项公式，求得 ，d（或q），从而直接写出通项公式。
例1. 等差数列 是递减数列，且 =48， =12，则数列的通项公式是（ ）
(A) (B) (C) (D)
解析：设等差数列的公差位d，由已知 ，
解得 ，又 是递减数列， ∴ ， ，
∴ ，故选(D)。
例2. 已知等比数列 的首项 ，公比 ，设数列 的通项为 ，求数列 的通项公式。
解析：由题意， ，又 是等比数列，公比为
∴ ，故数列 是等比数列， ，
∴
二、 归纳法
如果给出了数列的前几项或能求出数列的前几项，我们可以根据前几项的规律，归纳猜想出数列的通项公式，然后再用数学归纳法证明之。
例3.（2002年北京春季高考）已知点的序列 ，其中 ， ， 是线段 的中点， 是线段 的中点，…， 是线段 的中点，…
（1） 写出 与 之间的关系式（ ）。
（2） 设 ，计算 ，由此推测 的通项公式，并加以证明。
（3） 略
解析：（1）∵ 是线段 的中点， ∴
（2） ，
= ，
= ，
猜想 ，下面用数学归纳法证明
当n=1时， 显然成立；
假设n=k时命题成立，即
则n=k+1时， =
=
∴ 当n=k+1时命题也成立，
∴ 命题对任意 都成立。
三、 累加（乘）法
对于形如 型或形如 型的数列，我们可以根据递推公式，写出n取1到n时的所有的递推关系式，然后将它们分别相加（或相乘）即可得到通项公式。
例4. 若在数列 中， ， ，求通项 。
解析：由 得 ，所以
， ，…， ，
将以上各式相加得： ，又
所以 =
例5. 在数列 中， ， （ ），求通项 。
解析：由已知 ， ， ，…， ，又 ，
所以 = … = … =
四、 构造法
有些数列本身并不是等差或等比数列，但可以经过适当的变形，构造出一个新的数列为等差或等比数列，从而利用这个数列求其通项公式。
例6. 在数列 中， ， ， ，求 。
解析：在 两边减去 ，得
∴ 是以 为首项，以 为公比的等比数列，
∴ ，由累加法得
=
= … = =
=
例7. （2003年全国高考题）设 为常数，且 （ ），
证明：对任意n≥1，
证明：设，
用 代入可得
∴ 是公比为 ，首项为 的等比数列，
∴ （ ），
即：
五、 公式法
公式法即利用公式 求数列通项公式的一种方法。
例8. 在数列 中， +2 +3 +…+ = ，求 。
解析：令 = +2 +3 +…+ = ，
则 = +2 +3 +…+ = ，
则 － = = － ，
∴ = － =
例9. 设数列 的前n项和 = ，求 。
解析：由 = ，得 = ，
∴ = － = － +（ ）
∴ = + ，两边同乘以 ，得 = +2，
∴ 是首项为1公差为2的等差数列，
∴ =2+ = ， ∴ =
六、 代换法
例10. 已知数列 满足 ， ，求 。
解析：设 ，∵ ，
∴ ， ，…，
总之，求数列的通项公式，就是将已知数列转化成等差（或等比）数列，从而利用等差（或等比）数列的通项公式求其通项。

❸ 求数列通项公式的几种常见类型及方法

数列的通项公式是指，如果数列{an}的第n项an与n之间的关系可以用一个公式an=f（n）来表示，那么an=f（n）叫数列的通项公式。数列的通项公式是数列的核心之一，它如同函数中的解析式一样，有通项公式便可研究数列的其它性质。现将总结如下。

❹ 求数列通项公式的方法有哪些

有以下四种基本方法：
（
1
）直接法．就是由已知数列的项直接写出，或通过对已知数列的项进行代数运算写出．
（
2
）观察分析法．根据数列构成的规律，观察数列的各项与它所对应的项数之间的内在联系，经过适当变形，进而写出第n项a
n
的表达式即通项公式．
（
3
）待定系数法．求通项公式的问题，就是当n＝
1
，
2
，
…
时求f（n），使f（n）依次等于a
1
，a
2
，
…
的问题．因此我们可以先设出第n项a
n
关于变数n的表达式，再分别令n＝
1
，
2
，
…
，并取a
n
分别等于a
1
，a
2
，
…
，然后通过解方程组确定待定系数的值，从而得出符合条件的通项公式．
（
4
）递推归纳法．根据已知数列的初始条件及递推公式，归纳出通项公式．
希望可以帮到你
o(∩_∩)o

❺ 求数列an的通项公式有哪些方法

①等差数列和等比数列有通项公式。

②累加法：用于递推公式为an+1=an+f（n），且f(n)可以求和。

③累乘法：用于递推公式为an+1/an=f（n） 且f(n)可求积。

④构造法：将非等差数列、等比数列，转换成相关的等差等比数列。

⑤错位相减法：用于形如数列由等差×等比构成：如an=n·2^n。

按一定次序排列的一列数称为数列，而将数列{an} 的第n项用一个具体式子（含有参数n）表示出来，称作该数列的通项公式。这正如函数的解析式一样，通过代入具体的n值便可求知相应an项的值。而数列通项公式的求法，通常是由其递推公式经过若干变换得到。

(5)数列通项公式的常用方法扩展阅读

等差数列的其他推论：

① 和=（首项+末项）×项数÷2；

②项数=（末项-首项）÷公差+1；

③首项=2x和÷项数-末项或末项-公差×（项数-1）；

④末项=2x和÷项数-首项；

⑤末项=首项+（项数-1）×公差；

⑥2(前2n项和-前n项和)=前n项和+前3n项和-前2n项和。

❻ 你熟悉求数列通项公式的常用方法吗 例如：（1）求差（商）法

可以把{1/2^nan}看做一个新数列，令bn=1/2^nan,sn=1/2a1+1/2^2a2+........+1/2^nan=2n+5
n=1时，an=14
n>=2时，bn=sn-s(n-1)=2n+5-[2(n-1)+5]=2
即1/2^nan=2
由此得到an=14
（n=1）
an=2^(n+1)
(n>1且属于n+)
不知道我的回答是不是你想要的。

❼ 高考求数列通项公式要求掌握几种方法

数列求和常用：错位相减法，裂项相消法：1/[n(n+k)]=1/k[(1/n)-1/(n+k)]，倒序相加法，累加法：a下标(n+1)=[a下标(n)]+f(n)型可用，累积法：a下标(n+1)=f（n）[a下标(n)]可用注意解大题时常用an=a1(n=1),an=Sn-S下标(n-1),(n>=2)还有一个重点就是
一个数列很多时候能拆成
如(a下标n)+x=k(a下标(n+1)+x)，k为给出原数列a下标(n+1)的系数，
然后用等比公式求解即可凡是数列不懂做的题目，用数学归纳法，一定能做出来望采纳
谢谢
有任何不懂
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一一解答

❽ 计算数列通项公式有哪些方法

求数列通项公式常用以下几种方法:
一、题目已知或通过简单推理判断出是等比数列或等差数列，直接用其通项公式。
二、已知数列的前n项和，用公式
三、已知an与Sn的关系时，通常用转化的方法，先求出Sn与n的关系，再由上面的(二)方法求通项公式。
四、用累加、累积的方法求通项公式
一般后面两种常用，要熟悉，前面两种一般解决简单的问题

❾ 求递推数列通项公式的常用方法

形如：a(n+1)=(aan+b)/(can+d)，a,c不为0的分式递推式都可用不动点法求。
当f(x)=x时，x的取值称为不动点，不动点是我们在竞赛中解决递推式的基本方法。
典型例子：
a(n+1)=(a(an)+b)/(c(an)+d)
简单地说就是在递推中令an=x
代入
a(n+1)也等于x
然后构造数列.
（但要注意，不动点法不是万能的，有的递推式没有不动点，但可以用其他的构造法求出通项；有的就不能求出）
令x=(ax+b)/(cx+d)
即
cx2+(d-a)x-b=0
令此方程的两个根为x1，x2，
若x1=x2
则有1/(a(n+1)-x1)=1/(an-x1)+p
其中p可以用待定系数法求解，然后再利用等差数列通项公式求解。
若x1≠x2
则有(a(n+1)-x1)/(a(n+1)-x2)=q((an-x1)/(an-x2)
其中q可以用待定系数法求解，然后再利用等比数列通项公式求解。
【注】形如：a(n+1)=(aan+b)/(can+d)，a,c不为0的分式递推式都可用不动点法求。
让a(n+1)=an=x，
代入化为关于x的二次方程
(1)若两根x1不等于x2，有{(an-x1)/(an-x2)}为等比数列，公比由两项商求出
(2)若两根x1等于x2，有{1/(an-x1)}为等差数列，公差由两项差求出
若无解，就只有再找其他方法了。
并且不动点一般只用于分式型上下都是一次的情况，如果有二次可能就不行了。
例1：在数列{an}中，a(n+1)=(2an+8)/an，a1=2，求通项
【解】a(n+1)=(2an+8)/an，
a(n+1)=2+8/an令an=x,a(n+1)=x
x=2+8/x
x^2-2x-8=0
x1=-2,x2=4
{(an-4)/(an+2)}为等比数列
令(an-4)/(an+2)=bn
b(n+1)/bn=[(a(n+1)-4)/(a(n+1)+2)]/[(an-4)/(an+2)]
=-1/2
b(n+1)=(-1/2)bn
b1=-1/2
bn=(-1/2)^n=(an-4)/(an+2)
an=[4+2*(-1/2)^n]/[1-(-1/2)^n],n>=1
例2：a1=1,a2=1,a(n+2)=
5a（n+1）-6an，
【解】特征方程为：y²=
5y-6
那么，m=3,n=2,或者m=2，n=3
于是，a（n+2）-3a（n+1）=2[a（n+1）-3an]
(1)
a（n+2）-2a（n+1）=3[a（n+1）-2an]
(2)
所以，a（n+1）-3a（n）=
-
2
^
n
(3)
a（n+1）-2a（n）=
-
3
^
(n-1)
(4)
消元消去a（n+1），就是an,an=-
3
^
(n-1)
+2
^
n.