求解全微分方程的常用方法

⑴ 微分方程的通解求法

二阶常系数齐次线性微分方程解法：

特征根法是解常系数齐次线性微分方程的一种通用方法。
设特征方程r*r+p*r+q=0两根为r1，r2。
1 若实根r1不等于r2
y=c1*e^(r1x)+c2*e^(r2x).
2 若实根r1=r2
y=(c1+c2x)*e^(r1x)
3 若有一对共轭复根（略）

⑵ 求解全微分方程的方法

有如下几种方法

⑶ 解全微分方程的方法

这类微分方程都具有dz=P(x,y)dx+Q(x,y)dy的形式，且满足P关于y的偏导数等于Q关于x的偏导数的特点。解答过程如下：
先由P关于y的偏导数等于Q关于x的偏导数，得出dz=P(x,y)dx+Q(x,y)dy是一个全微分方程的结论。接着得出通解是z=从（0,0）到（x，y）第二型曲线积分P(x,y)dx+Q(x,y)dy。
接下来，根据该积分与积分路径无关（因为P关于y的偏导数等于Q关于x的偏导数），可以选择从点（0,0）到点（x，y）的特殊路径积分，而最常选取的是沿折线路径积分，即先从（0,0）到（0，y）、再从（0，y）到（x，y）的折线或者是先从（0,0）到（x，0）、再从（x，0）到（x，y）的折线。最后z=积分结果 就是通解。
例如：阁下这个题，假如选择（0,0）到（x，0）、再从（x，0）到（x，y）的折线积分，则通解是z=（0,0）到（x，0）积分P(x,y)dx+Q(x,y)dy + （x，0）到（x，y）积分P(x,y)dx+Q(x,y)dy。
在第一个积分里，y（=0）是常数，所以dy=0，结果成为定积分（从0到x）（x^2 +2x*0-0^2）dx=1/3 * x^3 +C1.
在第二个积分里，x一直没变是常数，所以dx=0，结果成为定积分（从0到y）(x^2 -2xy -y^2)dy=x^2 * y -x*y^2-1/3 * y^3 +C2.
于是，通解是z=1/3 * x^3 +x^2 * y -x*y^2-1/3 * y^3 +C.

⑷ 用两边求全微分的方法怎么解

全微分必定可积。

例如：

ydx+xdy是函数U(x,y)=xy的全微分

U(x,y)是ydx+xdy的原函数

∫ydx+xdy=U+C

例如：

对x的偏导数乘以dx， 加上对y的偏导数乘以dy

加上对z的偏导数乘以dz， 书上将中间过程省略未写而已。

求偏导时 方法之一是将 z 视为 x，y 的函数，求偏导数。

将x，y， z 均视为自变量，然后 ∂z/∂x = - Fx/Fz, ∂z/∂y = - Fy/Fz

(4)求解全微分方程的常用方法扩展阅读：

若存在一个二元函数u(x,y)使得方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0的左端为全微分，全微分方程的充分必要条件为∂M/∂y=∂N/∂x。为了求出全微分方程的原函数，可以采用不定积分法和分组法，对于不是全微分方程，也可以借助积分因子使其成为全微分方程，再通过以上方法求解。

但对于某些特殊的全微分方程，为了求出相应全微分的原函数，还可以采用相对简单的“分组凑全微分”的方法，即把方程的左端各项进行重新组合，使每个组的原函数容易观察得出，而对于不是全微分的方程，可以采用积分因子使其成为全微分方程，再根据以上方法求解。

⑸ 全微分方程求解

1考虑形如P(x.y)dx+Q(x.y)dy-0的微分方程,如果它的左边恰好是某个函数的全微分,即存在u(x,y)使得=P(x,y)dx+Q(x,y)dy,则称上述方程为全微分方程。
显然若P(x,y)dx+Q(x.y)dy是u(x,y)的全微分,则由=0可得u(x,y)-C (C为任意常数) ,这就是全微分方程P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0的(隐式)通解。
全微分方程的判断及求解的方法,注意不是所有形如 P ( x , y ) dx + Q ( x , y )dy-0的方程都是全微分方程的。根据定义,全微分方程等价于判断 P ( xy ) dx + Q ( x , y ) dy 是某个函数的全微分,因此有下面的“判定定理”:,当 P ( x , y ), Q ( x , y )在某个单连通域 G 内具有一阶连续偏导数时,方程 P ( x , y ) dx + Q ( x , y )dy=0是全微分方程的充要条件是张-在区域 G 内恒成立。,前面已指出全微分方程的通解形如 u ( x , y )= C ,因此求解全微分方程只须求出 u ( x , y ),而这显然就是上一节中介绍的二元函数全微分求积问题,

⑹ 微分方程的通解方法

微分方程的解通常是一个函数表达式y=f(x),（含一个或多个待定常数，由初始条件确定）。

例如：dy/dx=sin x，其解为： y=-cos x+C，其中C是待定常数；

如果知道y=f(π)=2，则可推出C=1，而可知 y=-cos x+1。

一阶线性常微分方程

对于一阶线性常微分方程，常用的方法是常数变易法：

对于方程：y'+p(x)y+q(x)=0，可知其通解：

⑺ 怎么求全微分

1、由于P=x2+y，Q=x-2y满足Qx=Py，因此是一个全微分方程

∴存在函数u（x，y），使得=（x2+y）dx+（x-2y）dy

∴u(x，y)＝∫ [(0，0),(x，y)] (x2+y)dx+(x−2y)dy

=∫ [0,x]x2dx+∫[0,y](x−2y)dy

=1/3x^3+xy−y^2

而=0，因此u（x，y）=C，故

x3 /3+xy−y^2＝C

2、第二个问题如下：

(7)求解全微分方程的常用方法扩展阅读

如果函数z=f(x, y) 在(x, y)处的全增量

Δz=f(x+Δx,y+Δy)-f(x,y)

可以表示为

Δz=AΔx+BΔy+o(ρ)，

其中A、B不依赖于Δx, Δy，仅与x,y有关，ρ趋近于0(ρ=√[(Δx)2+(Δy)2])，此时称函数z=f(x, y)在点（x，y）处可微分，AΔx+BΔy称为函数z=f(x, y)在点(x, y)处的全微分，记为dz即

dz=AΔx +BΔy

该表达式称为函数z=f(x, y) 在(x, y)处(关于Δx, Δy)的全微分。

⑻ 求微分方程各种情况解法归纳及相应公式

这是我以前写的“低阶微分方程的一般解法”
一。g(y)dy=f(x)dx形式
可分离变量的微分方程，直接分离然后积分
二。可化为dy/dx=f(y/x)的齐次方程
换元，分离变量
三。一阶线性微分方程
dy/dx+P(x)y=Q(x)
先求其对应的一阶齐次方程，然后用常数变易法带换u(x)
得到通解y=e^-∫P(x)dx{∫Q(x)[e^∫P(x)dx]dx+C}
四。伯努利方程dy/dx+P(x)y=Q(x)y^n
两边同除y^n引进z=y^(n-1)配为线形一阶非齐次方程
然后代如通解，最后代入z=y^(n-1)
五。全微分方程P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0
有解的充要条件为ap/ay=aQ/ax
此时通解为u(x,y)=∫(xo,x)P(x,y)dx+∫(yo,y)Q(x,y)dy=C
有的方程可通过乘积分因子得到全微分方程的形式。

⑼ 怎么求全微分啊

计算全微分的命令是Dt：Dt[Sin[x+y]]这是关于x和y的全微分。

单独计算x的全微分，需要指定变量x：Dt[Sin[x+y],x]只针对x求全微分。

有待定系数的函数，Mathematica默认把所有的待定系数，都当成变量对待：Dt[Sin[a*x+y^b]]这时候，是关于a、b、x、y的全微分，是四元函数。

需要指定a和b为常数：Dt[Sin[a*x + y^b], Constants -> {a, b}]。

注意Dt[Sin[x+y]]和Dt[Sin[x+y],x,y]的区别。

复合函数的求导法则：Dt[f[g[x+y]]]。

(9)求解全微分方程的常用方法扩展阅读

全微分方程若存在一个二元函数u(x,y)使得方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0的左端为全微分，即M(x,y)dx+N(x,y)dy=(x,y)，则称其为全微分方程。

全微分方程的充分必要条件为∂M/∂y=∂N/∂x。为了求出全微分方程的原函数，可以采用不定积分法和分组法，对于不是全微分方程，也可以借助积分因子使其成为全微分方程，再通过以上方法求解。