求一条线段最值问题的常用方法

1. 初中求线段最大值的问题

先回答取D点的原因，OC和AB有交点，把OC分成两部分来考虑，这是一种常用的求最值的方法，
取D点是线段的中点后，OD的长不会随着AB的移动而改变，CD不管怎样都是不变的，如果D点不是中点，那在AB的移动过程中，OD的长就会改变，从回答的图中你可以看出OD+CD》=OC。（两边之和大于第三边）而OD+CD的长是固定的，当O、C、D在一条直线上时等号成立，也就是此时OC有最大值。

2. 几何题中求线段最小值的一般思路是什么

你想问的是“求两点到一条直线上任意一点连接的两条线段长度之和的最小值”吧？

一般来说，是以直线为对称轴，做两点AB之中任意一点的对称点A'，然后连接A'B，与直线交点C。此时A'C=AC。因为A'B两点之间直线最短，所以最小值为AC+BC=A'C+BC=A'B。

3. 初中数学求线段和差最值知识

初中阶段我们学过三种路径最值问题,一是两点之间线段最短;二是将军饮马问题;三是直线外一点与直线上一点的连线中,垂线段最短。

一、直接利用公理(定理)求最值

1、公理：两点直接线段最短

2、定理：三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边(由上面公理证明而得)

3、定理：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。(简称垂线段最短)

所有的线段和差问题都是直接利用或者转化为第1点或第3点来求最值，这是咱们思考这类问题的出发点，大家要死死记住。

二、结合图形三大变换求最值

1、应用平移变换、轴对称变换将线段和差转化为可以利用公理(定理)求最值(将军饮马问题)

2、应用旋转变换将线段和差转化为可以利用公理(定理)求最值(费马点问题)

【将军饮马问题】

【费马点问题】

三.例题

1.如图，A、B两个小集镇在河流CD的同侧，分别到河的距离为AC=10千米，BD=30千米，且CD=30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A、B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万，请你在河流CD上选择水厂的位置M，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少?

作点B关于直线CD的对称点B'，连接AB'，交CD于点M

则AM+BM = AM+B'M = AB'，水厂建在M点时，费用最小

如右图，在直角△AB'E中，

AE = AC+CE = 10+30 = 40

EB' = 30

所以：AB' = 50

总费用为：50×3 = 150万

2.如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC。已知AB=5，DE=1，BD=8，设CD=x.

(1)用含x的代数式表示AC+CE的长;

(2)请问点C满足什么条件时，AC+CE的值最小?

(3)根据(2)中的规律和结论，请构图求出代数式的最小值

3.两条公路OA、OB相交，在两条公路的中间有一个油库，设为点P，如在两条公路上各设置一个加油站，，请你设计一个方案，把两个加油站设在何处，可使运油车从油库出发，经过一个加油站，再到另一个加油站，最后回到油库所走的路程最短.

分析 这是一个实际问题，我们需要把它转化为数学问题，经过分析，我们知道此题是求运油车所走路程最短，OA与OB相交，点P在∠AOB内部，通常我们会想到轴对称，分别做点P关于直线OA和OB的对称点P1、P2 ，连结P1P2分别交OA、OB于C、D，C、D两点就是使运油车所走路程最短，而建加油站的地点，那么是不是最短的呢?我们可以用三角形的三边关系进行说明.

解：分别做点P关于直线OA和OB的对称点P1、P2，

连结P1P2分别交OA、OB于C、D，

则C、D就是建加油站的位置.

若取异于C、D两点的点，

则由三角形的三边关系，可知在C、D两点建加油站运油车所走的路程最短.

点评：在这里没有详细说明为什么在C、D两点建加油站运油车所走的路程最短，请同学们思考弄明白。

4.如图∠AOB = 45°，P是∠AOB内一点，PO = 10，Q、P分别是OA、OB上的动点，求△PQR周长的最小值.

分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连接P1P2，

交OA、OB于点Q，R，连接OP1，OP2，

则OP = OP1 = OP2 = 10

且∠P1OP2 = 90°

由勾股定理得P1P2 = 10

5.如图，等腰Rt△ABC的直角边长为2，E是斜边AB的中点，P是AC边上的一动点，则PB+PE的最小值为

即在AC上作一点P，使PB+PE最小

作点B关于AC的对称点B'，连接B'E，交AC于点P，则B'E = PB'+PE = PB+PE

B'E的长就是PB+PE的最小值

在直角△B'EF中，EF = 1，B'F =3

根据勾股定理，B'E =

6.等腰△ABC中，∠A = 20°，AB = AC = 20，M、N分别是AB、AC上的点，求BN+MN+MC的最小值

分别作点C、B关于AB、AC的对称点C’、B’，连接C’B’交AB、AC于点M、N，则BN+MN+MC= B’N+MN+MC’ = B’C’，BN+MN+MC的最小值就是B’C’的值

∵∠BAC’ =∠BAC，∠CAB’ =∠CAB

∴∠B’AC’ = 60°

∵AC’ = AC，AB’ = AB，AC = AB

∴AC’ = AB’

∴△AB’C’是等边三角形

∴B’C’ = 20

7.如图，在等边△ABC中，AB = 6，AD⊥BC，E是AC上的一点，M是AD上的一点，且AE = 2，求EM+EC的最小值

4. 初中数学求线段最大值问题，急！！！

解答:

取AB中点D，连接OD，CD

在三角形OAB中，角AOB=90度，AD=DB，有OD=1/2AB=2。

在三角形ACD中，角CAB=90度，AC=2，AD=1/2AB=2，有CD=2√2。

由两点之间线段最短可知，OD+CD>=OC(当O、C、D在一条直线上时等号成立）

所以，OC<=OD+CD=2+2√2，即OC的最大值是2+2√2。

5. 解决最值问题常用的方法

(1)从极端情况入手
我们在分析某些数学问题时，不妨考虑一下把问题推向“极端”。因为当某一问题被推向“极端”后，往往能排除许多枝节问题的干扰，使问题的“本来面目”清楚地显露出来，从而使问题迅速获解。
(2)枚举比较
根据题目的要求，把可能的答案一一枚举出来，使题目的条件逐步缩小范围，筛选比较出题目的答案。
(3)分析推理
根据两个事物在某些属性上都相同，猜测它们在其他属性上也有可能相同的推理方法。
(4)构造
在寻求解题途径难以进展时，构造出新的式子或图形，往往可以取得出奇制胜的效果。
(5)应用求最大值和最小值的结论
和一定的两个数，差越小，积越大。
积一定的两个数，差越小，和越小。
两点之间线段最短。

6. 怎样解决二次函数中线段的最值问题

先说f(x)=x²+|x-2|-1x∈R当x-2≥0，即x≥2时，函数式为f(x)=x²+x-3，此时抛物线y=x²+x-3开口向上，对称轴方程为x=-1/2所以：当x=2时，函数有最小值，最小值为3；当x-2<0，即x<2时，函数式为f(x)=x²-x+1，此时抛物线y=x²-x+1的开口向上，对称轴方程为x=1/2所以：当x=1/2时，函数有最小值，最小值为3/4.第二题：f(x)=-x²+(4a-2)x-4a²+4ax∈[0,2]的最值函数的对称轴方程为x=2a-1，开口向下。当2a-1∈[0,2]时，x=2a-1时函数值最大，将其带入可求出最大值是1，当2a-1∈(-∞，0]时，x=0时函数值最大，最大值是4a-4a²，x=2时函数值最小，当2a-1∈(2，+∞]时，x=2时函数值最大，x=0时函数值最小，分别将其带入可求得

7. 高中几何线段最值问题

二倍根号二

8. 求最值的方法

• 公务员考试行测数量关系题，和定最值问题的分类及解法：

1. 同向和定最值

   ①概念：求值的值是多少或者最小值的最小值是多少。

   ②解题方法：列举法，即将其他值一一按要求进行列举即可。
   

2. 逆向和定最值

   ①概念：求值的最小值是多少或者最小值的值是多少。

   ②解题方法：求平均数法，即将总数求平均值再分配余数。

3. 混合和定最值

   ①概念：求第n大值的最小值是多少或者值是多少。

   ②解题方法：先列举再求平均，即先将可以列举的列举出来再对剩下的运用求平均数法。

9. 解决最值问题常用的方法

(1)从极端情况入手
我们在分析某些数学问题时，不妨考虑一下把问题推向“极端”。因为当某一问题被推向“极端”后，往往能排除许多枝节问题的干扰，使问题的“本来面目”清楚地显露出来，从而使问题迅速获解。
(2)枚举比较
根据题目的要求，把可能的答案一一枚举出来，使题目的条件逐步缩小范围，筛选比较出题目的答案。
(3)分析推理
根据两个事物在某些属性上都相同，猜测它们在其他属性上也有可能相同的推理方法。
(4)构造
在寻求解题途径难以进展时，构造出新的式子或图形，往往可以取得出奇制胜的效果。
(5)应用求最大值和最小值的结论
和一定的两个数，差越小，积越大。
积一定的两个数，差越小，和越小。
两点之间线段最短。