‘壹’ 求函数值域与最值的常用方法
首先，确定函数的定义域。将定义域边界值代入函数求出函数值。然后，对函数进行一次求导，令其等于0.解得x值，分别将求得的x值代入函数求出函数值。前后2组函数值进行比较即可得到最大值和最小值。
‘贰’ 求函数值域的常用方法、并举例~ 求函数值域有哪些方法,举例说明、详细~
求函数值域的几种常见方法
1直接法：利用常见函数的值域来求
一次函数y=ax+b(a 0)的定义域为R,值域为R；
反比例函数 的定义域为{x|x≠0},值域为{y|y≠0}；
二次函数的定义域为R
当a>0时,值域为{y|y≥(4ac-b��)/4a}；
当a0,∴y(min)=(4ac-b��)/4a=[4×1×3-（-2）��]/4×1=1
即函数的值域是{y|y≥2}2．
二次函数在定区间上的值域(最值)：
①f(x)=x��-6x+12 x∈[4,6]
因为对称轴x=-b/2a=-(-6)/2×1=3 二次项系数1>0
所以f(x)=x��-6x+12 在x∈[4,6]是增函数
所以f(x)min=f(4)=4 f(x)max=f(6)=12
f(x)的值域是[4,12]
②f(x)=x��-6x+12 x∈[0,5]
因为对称轴x=-b/2a=-(-6)/2×1=3 二次项系数1>0
所以f(x)=x��-6x+12 在x∈[0,3]是减函数,在x∈(3,5]是增函数
所以f(x)min=f(3)=3 而f(0)=12 f(5)=7,所以f(x)max=f(0)=12
f(x)的值域是[3,12]
3观察法求y=(√x)+1的值域
∵√x≥0 ∴√x+1≥1∴y=(√x)+1的值域是[1,+∞)
4配方法求y=√(x��-6x-5)的值域
∵-x��-6x-5≥0可知函数的定义域是[-5,-1]
∵-x��-6x-5=-(x+3)��+4因为-5≤x≤-1
所以-2≤x+3≤2 所以0≤(x+3)��≤4所以-4≤-(x+3)��≤0
终于得到0≤-(x+3)��+4≤4所以0≤√(x��-6x-5)≤2
所以y=√(x��-6x-5)的值域是[0,2]
5.图像法求y=｜x+3｜+｜x-5｜的值域
因为y=-2x+2(x0 解得 0
‘叁’ 如何求函数的值域
函数值域的几种常见方法 1．直接法：利用常见函数的值域来求一次函数y=ax+b(a 0)的定义域为R，值域为R；反比例函数 的定义域为{x|x 0}，值域为{y|y 0}；二次函数 的定义域为R，当a>0时，值域为{ }；当a<0时，值域为{ }. 例1．求下列函数的值域① y=3x+2(-1 x 1) ②③④ 解：①∵-1 x 1，∴-3 3x 3，∴-1 3x+2 5，即-1 y 5，∴值域是[-1，5] ②∵∴ 即函数 的值域是 { y| y 2} ③ ④当x>0，∴ = ，当x<0时， =－ ∴值域是 [2，+ ).（此法也称为配方法）函数 的图像为： 2．二次函数比区间上的值域(最值)：例2 求下列函数的最大值、最小值与值域：①； 解：∵，∴顶点为(2,-3)，顶点横坐标为2. ①∵抛物线的开口向上，函数的定义域R，∴x=2时，ymin=-3 ,无最大值；函数的值域是{y|y -3 }. ②∵顶点横坐标2 [3,4]，当x=3时，y= -2；x=4时，y=1； ∴在[3,4]上， =-2， =1；值域为[-2，1]. ③∵顶点横坐标2 [0,1]，当x=0时，y=1；x=1时，y=-2, ∴在[0,1]上， =-2， =1；值域为[-2，1]. ④∵顶点横坐标2 [0,5]，当x=0时，y=1；x=2时，y=-3, x=5时，y=6, ∴在[0,1]上， =-3， =6；值域为[-3，6]. 注：对于二次函数 , ⑴若定义域为R时，①当a>0时，则当 时，其最小值 ；②当a<0时，则当 时，其最大值 . ⑵若定义域为x [a,b],则应首先判定其顶点横坐标x0是否属于区间[a,b]. ①若 [a,b],则 是函数的最小值（a>0）时或最大值（a<0）时，再比较 的大小决定函数的最大（小）值. ②若 [a,b],则[a,b]是在 的单调区间内，只需比较 的大小即可决定函数的最大（小）值. 注：①若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大（小）值；②当顶点横坐标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论. 3．判别式法（△法）：判别式法一般用于分式函数，其分子或分母只能为二次式，解题中要注意二次项系数是否为0的讨论 例3．求函数 的值域方法一：去分母得 (y-1) +(y+5)x-6y-6=0 ①当 y11时 ∵x?R ∴△=(y+5) +4(y-1)×6(y+1) 0 由此得 (5y+1) 0 检验 时 （代入①求根）∵2 ? 定义域 { x| x12且 x13} ∴ 再检验 y=1 代入①求得 x=2 ∴y11 综上所述，函数 的值域为 { y| y11且 y1 } 方法二：把已知函数化为函数 (x12) ∵ x=2时 即 说明：此法是利用方程思想来处理函数问题，一般称判别式法. 判别式法一般用于分式函数，其分子或分母只能为二次式.解题中要注意二次项系数是否为0的讨论. 4．换元法例4．求函数 的值域解：设则 t 0 x=1- 代入得 5．分段函数例5．求函数y=|x+1|+|x-2|的值域. 解法1：将函数化为分段函数形式： ，画出它的图象（下图），由图象可知，函数的值域是{y|y 3}. 解法2：∵函数y=|x+1|+|x-2|表示数轴上的动点x到两定点-1，2的距离之和，∴易见y的最小值是3，∴函数的值域是[3，+ ]. 如图两法均采用“数形结合”，利用几何性质求解，称为几何法或图象法. 说明：以上是求函数值域常用的一些方法（观察法、配方法、判别式法、图象法、换元法等），随着知识的不断学习和经验的不断积累，还有如不等式法、三角代换法等.有的题可以用多种方法求解，有的题用某种方法求解比较简捷，同学们要通过不断实践，熟悉和掌握各种解法，并在解题中尽量采用简捷解法. 小结:求函数值域的基本方法（直接法、换元法、判别式法）；二次函数值域（最值）或二次函数在某一给定区间上的值域（最值）的求法.
‘肆’ 求函数的值域的常用方法有
求函数值域与最值的常用方法，几乎囊括了数学常用的方法.
观察法、配方法、分离常数法、反解法、换元法、判别式法、均值定理法、单调性法、数形结合法和导数法等.
有时需要综合几种方法，才能求出值域.
‘伍’ 函数求最值的方法有那些
常见的求最值方法有:
1.配方法:
形如的函数,根据二次函数的极值点或边界点的取值确定函数的最值.
2.判别式法:
形如的分式函数,
将其化成系数含有y的关于x的二次方程.由于,
0,
求出y的最值,
此种方法易产生增根,
因而要对取得最值时对应的x值是否有解检验.
3.利用函数的单调性 首先明确函数的定义域和单调性,
再求最值.
4.利用均值不等式,
形如的函数,
及,
注意正,定,等的应用条件,
即:
a,
b均为正数,
是定值,
a=b的等号是否成立.
5.换元法:
形如的函数,
令,反解出x,
代入上式,
得出关于t的函数,
注意t的定义域范围,
再求关于t的函数的最值.
还有三角换元法,
参数换元法.
6.数形结合法
形如将式子左边看成一个函数,
右边看成一个函数,
在同一坐标系作出它们的图象,
观察其位置关系,
利用解析几何知识求最值.
求利用直线的斜率公式求形如的最值.
7.利用导数求函数最值.
‘陆’ 求函数值域的常用方法
求函数值域的常用方法有：化归法、复合函数法、判别式法、图像法、分离常数法、反函数法、换元法、不等式法、单调性法。在函数中，因变量的变化而变化的取值范围叫做这个函数的值域。
求值域的方法
化归法：
把所要解决的问题，经过某种变化，使之归结为另一个问题*，再通过问题*的求解，把解得结果作用于原有问题，从而使原有问题得解，这种解决问题的方法，我们称之为化归法。
图像法：根据函数图像，观察最高点和最低点的纵坐标。
配方法：利用二次函数的配方法求值域，需注意自变量的取值范围。
单调性法：利用二次函数的顶点式或对称轴，再根据单调性来求值域。
反函数法：若函数存在反函数，可以通过求其反函数，确定其定义域就是原函数的值域。
换元法：包含代数换元、三角换元两种方法，换元后要特别注意新变量的范围。
‘柒’ 求函数的最值有哪些方法
函数值域最值常用的方法
1） 利用基本函数求值域法：有的函数结构并不复杂，可以通过基本函数的值域及不等式的性质直接观察出函数的值域 例1：y=1/(2+)
2） 反函数法：用函数和它的反函数的定义域和值域的关系，可以通过求反函数的定义域而得到原函数的值域. 对形如y=(cx+d)/(ax+b) (a=!0)的函数可用此法 例2：y=(2x-1)/(2x+1) ; y=(5x-1)/(4x+2) , x属于[-3,-1].
3） 配方法：配方法是求“二次函数类”值域的基本方法，形如F(x)=a[f2(x)+bf(x)+c]的值域问题，均使用配方法。
4） 换元法运用代数或三角代换，将所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而给出原函数的值域，形如y=ax+b(cx+d)(1/2) (a,b,c,d均为常数，且a=!0)的函数常用此方法求解(注意1新元的取值范围，即换元后的等价性2换元后的可操作性) 例4已知函数f(x)=2x(1/2)+(4-x)(1/2),则函数f(x)的值域_________
5） 判别式法将函数转化为x 的二次方程F(x,y)=0,通过方程有实根，判别式>=0,从而求得函数的值域，形如 (a1,a2不同时为0)的函数的值域常用此法求解。（分子，分母没有公因式；此时函数的定义域是全体实数）例5：;
6） 不等式法：利用基本不等式： 应用此法注意条件“一正二定三相等”例6：若函数f(x)的值域为[1/2,3],则函数F(x)=f(x)+的值域为_____
7） 数形结合法：若函数的解析式的几何意义较明显，诸如距离，斜率等，可用数形结合的方法。 例7:对a,bR.设max{a,b}=求函数f(x)=max{},的最小值
8） 导数法：
9） 已知函数的值域，求函数中待定字母的取值范围 9例9：已知函数f(x)=的定义域，值域是[0,2],求m,n的值域。
函数的图像
1：函数图像的基本做法：1）描点法
2） 图像变换法
3） 做图像的一般步骤：a求出函数的定义域；b讨论函数的性质（奇偶性，周期性）以及函数上的特殊点（如渐近线，对称轴）c利用基本函数的图像画出所给函数的图像
2：函数变换的四种形式：
1)平移变换左加右减
2)对称变换 a：y=f(x)和y=f(-x); y=-f(x)和y=f(x); y=-f(-x)和y=f(x); y=和y=f(x)分别关于y轴，x轴，原点，直线y=x对称。
b:若对定义域内的一切x均有f(x+m)=f(m-x),则y=f(x)的图像关于x=m对称；
c:y=f(x)与y=2b-f(2a-x)关于点（a,b）成中心对称
3)伸缩变换:y=af(x) y=f(ax)
4)翻折变换 y= y=f()
3函数图像的对称性
1） f(-x)=-f(x) 图像关于原点对称
2） f(-x)=f(x) 图像关于y轴对称
3） y=和y=f(x) 图像关于y=x对称
4） f(a+x)=f(a-x) 图像关于x=a对称
5） f(a+x)=-f(a-x) 图像关于(a,0)对称
函数单调性
判断函数单调性的常用方法：
1） 定义法
2） 两增（减）函数的和还增（减）；增（减）函数与减（增）函数的差还是增（减）函数；
3） 减函数在对称的两个区间上具有相同的单调性；偶函数在对称的两个区间上具有相反的单调性、
4） y=f(x)在D上单调则y=f(x)在D的子区间上也单调，并且具有相同的单调性。
5） y=f(u),u=g(x)单调性相同，则y=f(g(x))是增函数；单调性相反，则y=f(g(x))是减函数（同增异减）；
6） 互为反函数的两个函数具有相同的单调性
7） 利用导数判断函数的单调性
8） 抽象函数的单调性：做差；做商（注意分母不为零且同号）。
9） 关于函数f(x)=x+a/x(a>0)单调性及应用
例1：函数在定义域上是减函数
例2： 已知函数f(x)=+a/x在[2,+）单调增，求a的取值范围
例3：函数f(x)=,g(x)=x(2-x)的单调区间
例4：函数f(x)对任意的 都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当 x>0是，f(x)>1,求证f(x)是R上的增函数。
例5：某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需要面粉6吨，每吨面粉的价格为1800元，面粉的保管及其他费用为平均每吨每天三元，购买面粉每次需要支付运费900元。
（1） 求该厂每隔多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？
（2）若提供面粉的公司规定：当一次购买的面粉不少于210吨时，其价格可享受9折优惠，问该厂是否考虑利用此优惠条件？说明原因。
例6：已知f(x)为R上的减函数，求满足< f(1)的实数x的取值范围。
例7：是否存在实数a是函数f(x)= 在[2,4]上市增函数？如果存在，说明a可取哪些值；如果不存在，请说明理由。
函数的奇偶性
1：定义:y=f(x), 定义域关于原点对称
偶函数：f(-x)=f(x)
奇函数：f(-x)=-f(x) （原点有定义有f(0)=0）
2奇函数，偶函数的图像的性质：
奇函数图像关于原点对称；
偶函数图像关于y轴对称。
3判断奇偶性方法
1） 定义
2） 定义变形：f(-x)+f(x)=0（）为奇函数； f(-x)-f(x)=0（）为偶函数。
3） 函数奇偶性满足下列性质：奇+奇=奇；偶+偶+偶；
奇*奇=偶；偶*偶=偶；奇*偶=奇。
4）奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性； 偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性。
周期公式：
1：若函数关于直线x=a和直线x=b对称。则函数f(x)为周期函数，2是它的一个周期；
2:若函数关于点（a，0）和（b，0）对称。则函数f(x)为周期函数，2是它的一个周期；
3若函数关于点（a，0）和直线x=b对称。则函数f(x)为周期函数，4是它的一个周期；
例1：f(x)=lg()
例2：
例3：
例4：
例5：在R上定义的函数f(x)是偶函数，且f(x)=f(2-x),若f(x)在区间[1,2]是减函数，讨论f(x)[-2,-1]和[3,4]上的单调性。
例6：已知f(x)是偶函数，且在[）是增函数，如果f(ax+1)f(x-2)在x[1/2,1]恒成立，求实数a的取值范围
例7：已知 其中a,b,c,d为常数，若f(-7)=-7.求f(7).
周期公式：
1：若函数关于直线x=a和直线x=b对称。则函数f(x)为周期函数，2是它的一个周期；
2:若函数关于点（a，0）和（b，0）对称。则函数f(x)为周期函数，2是它的一个周期；
3若函数关于点（a，0）和直线x=b对称。则函数f(x)为周期函数，4是它的一个周期；
求函数解析式常用方法：
（1）定义法：有已知条件f[g(x)]=F(x),可将F(x),改写成g(x)的表达式，然后以x代替g(x), 使得f(x)的表达式常需“凑配”。
例1：f（(1-x）/(1+x)）=(1-x2)/(1+x2).求f(x)的解析表达式。
（2）变量代换法：有已知条件f[g(x)]=F(x)，令t=g(x),然后反解出x=g-1(t).带入F(x),即可得f(x)的表达式。
例2：f(e x-1)=2x2-1.求f(x)的解析表达式
（3）待定系数法：又是给定函数特征求函数的解析式，可用待定系数法。例3：函数是二次函数可设为f(x)=ax2+bx+c(a不等于零)。期中a,b,c是待定系数，根据题设条件列出方程组，解出a.b.c
.例3；设二次方程f(x)满足f(x-2)=f(-x-2)。且图像在y轴上的截距为1，被x轴截得的线段长为2*2（1/2），求f(x)的解析式。
（4）函数方程法：将f(x)作为一个未知量来考虑，建立方程组。消去另外的未知量便得f(x)的表达式。 例4::已知f(x)-f(1/x)lnx=1,求解f(x)的表达式
（5） 参数法：引入某个参数，然后写出用这个参数表示变量的式子（即参数方程），再消去参数就得f(x)表达式。 例5：已知 f(3sinx)=cot(2)x求f(x)的表达式
（6）赋值法:对于抽象函数f(x),如果满足条件中对一切实属成立。那么对于特殊值仍然成立。我们就可以赋予特殊值。 例6：已知f(x)满足：f(0)=1,且对任意的x,y属于R都有f(xy+1)=f(x)f(y)-f(y)+x-2求f(x).
（7） 根据某实际问题建立一种函数关系式，这种情况须引入合适的变量，根据数学的有关知识找出函数关系式。
一次二次函数
1 一次函数
a形如y=kx+b 叫做一次函数值域R；b=0,y=kx叫做正比例函数
b一次函数的k叫做直线y=kx+b的斜率，b叫做y=kx+b的截距。
c函数图像（性质）：
1已知函数y=(2m-1)x+1-3m,求m为何值时：
这个函数为正比例函数；
（2）这个函数为奇函数
（3）函数值y随x的增大而减小
2一次函数y=(3a-7)x+a-2的图像与y轴的交点在x轴上方，且y随x的增大而减小，则a的取值范围______.
3已知函数f(x)=2mx+4,若在[-2,1]上存在，使得f()=0,求实数m的取值范围。
4关于x的方程ax+1=|x|有两个不同的实根，求实数a的取值范围
2 二次函数
a形如 叫做二次函数
值域 a>0 ; a<0
b二次函数有三种形式 A: 一般式
B :顶点式
C 两根式
c二次函数的基本概念： 1对称轴
2顶点坐标 3零点（根）
4韦达定理 5
d 一元二次方程的判别式
e函数图像：（性质）
1已知二次函数f(x)满足f(2)=-1,f(-1)=-1,f(x)的最大值是8，试确定二次函数
2二次函数的顶点坐标（2，3）且经过点（3,1）求这个二次函数的解析式
3已知抛物线与x轴交与点A(-1,0),B(1,0)，并经过点(0,1),求抛物线的解析式
4已知二次函数f(x),当x=2时有最大值16,他的图像截x轴所得的线段长为8,求解析式
5二次函数的图像如图所示，则点P（a, ）第几象限_____
6以为自变量的二次函数,m为不小于0的整数，它的图像与x轴交与点A和点B，A在原点的左边，B在原点的右边。求这个函数的解析式画出这个二次函数的草图
7如图，抛物线与x轴交与A,B两点且线段OA:OB=3:1则m=_______
8已知函数
（1） 求对一切x，f(x)的值恒为非负实数时a的取值范围；
（2） 在（1）的条件下，求方程的根的取值范围
9正方形CDEF的边长为4，截取一个角得五边形ABCDE，已知AF=2,BF=1,在AB上求一点P.使矩形PNDM有最大面积
函数的应用
1将进货单价为8元的商品按10元一个销售时，每天可卖100个，若这种商品价格每上涨一元，日销售量就减少10个，为了获得最大利润，此商品的销售单价应定为多少元？
2一次时装表演会预算中票价每张100元，容纳观众人数不超过2000元，毛利润y（百元）关于观众人数x（百人）之间的函数图像如右图所示，当观众人数超过1000人时，表演会组织者需向保险公司缴纳定额平安保险费5000元（不列入成本费用）：
（1）当观众人数不超过1000人时，毛利润y关于观众人数的函数解析式和成本费用 S（百元）关于观众人数x的函数解析式
（2）若要使这次表演会获得36000元的毛利润。那么需要售出多少张门票？需付成本费多少元？
3某蔬菜基地种植西红柿，有有历年市场行情得知，从2月1日起的300天内，西红柿的市场售价与上市时间的关系用下图（1）的一条折线表示。西红柿的种植成本与上市时间的关系用图（2）的抛物线表示。
（1）写出图（1）表示的市场售价与时间的函数关系P=f(t);写出图（2）表示的种植成本与时间的函数关系Q= g(t);
（2）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿收益最大？
2函数的零点
函数的零点就是方程f(x)=0的实数根，也是函数的图像与x轴的交点的横坐标。零点概念体现了函数和方程之间的密切联系
勘根定理：如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图像是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)<0,那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在，使得f(c)=0,这个c就是方程的f(x)=0 根
1函数f(x)=的零点是______
2函数的零点所在的大致区间是______
3已知函数的图像如右图所示，求b的取值范围______
4方程的两根分别在区间（2,3）（3，4）之间，求的取值范围
5方程有一非零根，方程有一非零根，求证方程必有一根介于之间
6求证方程在（0,1）内必有一个实数根
7函数的零点大致区间在_________
8已知函数恒有零点，求a的取值范围
9关于x的方程的一根比1大，一根比1小，求a的取值范围
10根据函数的性质，指出函数的零点所在的大致区间
二分法：不讲
A函数的性质应用
1已知定义域为R的函数是奇函数
(1)求a,b的值
1函数奇偶，单调性解决问题2脱掉f利用函数单调性3注意函数定义域的限制
(2)若对任意的不等式恒成立，求k的取值范围
2函数f(x)( )是奇函数，且当
时是增函数，若f（1）=0,求不等
式<0的解集
B待定系数法的应用
3已知二次函数f(x)二次项系数为a且不等式f(x)>-2x的解集为（1,3）
（1） 若方程f(x)+6a=0有两个相等的根，求f(x)的解析式
（2） 若f(x)的最大值为正数，求a的取值范围
4已知f(x)是二次函数，且不等式f(x)<0的解集是（0,5）且f(x)在区间[-1,4]上的最大值是12，求f(x) 的解析式
C有关恒成立问题
5设,且为方程f(x)=0的两个实根，若,不等式对任意实数恒成立，求m的值
6已知函数，
（1） 当a=,求f(x)的最小值、
（2） 若对任意恒成立，试求实数a的取值范围
7我国是一个水资源比较缺乏的国家之一，各地采用价格控制手段来达到节约用水的目的，某市用水收费的方法是：水费=基本费+超额费+损耗费
若每月用水量不超过最低限量a()，只付基本费8元和每月定额损耗费c元:若用水量超过a()时，除了付以上的基本费和损耗费外，超过部分每立方米付b元的超额费，已知每户每月的定额损耗费不超过5元；
‘捌’ 求函数的值域有什么办法
求 函数值域的几种常见方法
1．直接法：利用常见函数的值域来求
一次函数y=ax+b(a 0)的定义域为R，值域为R；
反比例函数 的定义域为{x|x 0}，值域为{y|y 0}；
二次函数 的定义域为R，
当a>0时，值域为{ }；当a<0时，值域为{ }.
例1．求下列函数的值域
① y=3x+2(-1 x 1) ② ③ ④
解：①∵-1 x 1，∴-3 3x 3，
∴-1 3x+2 5，即-1 y 5，∴值域是[-1，5]
②∵ ∴
即函数 的值域是 { y| y 2}
③
④当x>0，∴ = ，
当x<0时， =－
∴值域是 [2，+ ).（此法也称为配方法）
函数 的图像为：
2．二次函数比区间上的值域(最值)：
例2 求下列函数的最大值、最小值与值域：
① ；
解：∵ ，∴顶点为(2,-3)，顶点横坐标为2.
①∵抛物线的开口向上，函数的定义域R，
∴x=2时，ymin=-3 ,无最大值；函数的值域是{y|y -3 }.
②∵顶点横坐标2 [3,4]，
当x=3时，y= -2；x=4时，y=1；
∴在[3,4]上， =-2， =1；值域为[-2，1].
③∵顶点横坐标2 [0,1]，当x=0时，y=1；x=1时，y=-2,
∴在[0,1]上， =-2， =1；值域为[-2，1].
④∵顶点横坐标2 [0,5]，当x=0时，y=1；x=2时，y=-3, x=5时，y=6,
∴在[0,1]上， =-3， =6；值域为[-3，6].
注：对于二次函数 ,
⑴若定义域为R时，
①当a>0时，则当 时，其最小值 ；
②当a<0时，则当 时，其最大值 .
⑵若定义域为x [a,b],则应首先判定其顶点横坐标x0是否属于区间[a,b].
①若 [a,b],则 是函数的最小值（a>0）时或最大值（a<0）时，再比较 的大小决定函数的最大（小）值.
②若 [a,b],则[a,b]是在 的单调区间内，只需比较 的大小即可决定函数的最大（小）值.
注：①若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大（小）值；
②当顶点横坐标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论.
3．判别式法（△法）：
判别式法一般用于分式函数，其分子或分母只能为二次式，解题中要注意二次项系数是否为0的讨论
例3．求函数 的值域
方法一：去分母得 (y-1) +(y+5)x-6y-6=0 ①
当 y11时 ∵x?R ∴△=(y+5) +4(y-1)×6(y+1) 0
由此得 (5y+1) 0
检验 时 （代入①求根）
∵2 ? 定义域 { x| x12且 x13} ∴
再检验 y=1 代入①求得 x=2 ∴y11
综上所述，函数 的值域为 { y| y11且 y1 }
方法二：把已知函数化为函数 (x12)
∵ x=2时 即
说明：此法是利用方程思想来处理函数问题，一般称判别式法. 判别式法一般用于分式函数，其分子或分母只能为二次式.解题中要注意二次项系数是否为0的讨论.
4．换元法
例4．求函数 的值域
解：设 则 t 0 x=1-
代入得
5．分段函数
例5．求函数y=|x+1|+|x-2|的值域.
解法1：将函数化为分段函数形式： ，画出它的图象（下图），由图象可知，函数的值域是{y|y 3}.
解法2：∵函数y=|x+1|+|x-2|表示数轴上的动点x到两定点-1，2的距离之和，∴易见y的最小值是3，∴函数的值域是[3，+ ]. 如图
两法均采用“数形结合”，利用几何性质求解，称为几何法或图象法.
说明：以上是求函数值域常用的一些方法（观察法、配方法、判别式法、图象法、换元法等），随着知识的不断学习和经验的不断积累，还有如不等式法、三角代换法等.有的题可以用多种方法求解，有的题用某种方法求解比较简捷，同学们要通过不断实践，熟悉和掌握各种解法，并在解题中尽量采用简捷解法.