‘壹’ 求函数值域的几种常用方法
［科学思想方法］
高祥凤约1444字
求函数的值域是高中数学的重点和难点,也是一个复杂的问题,必须根据不同的函数表达式采用不同的方法,求法灵活多样,不易掌握 下面举例说明几种常见的求函数值域的方法
‘贰’ 求函数的值域的方法
关于函数的值域（最值）的解决方法，有很多文章介绍了，如判别式法，实根分布法等，判别式法历来不能完全解决这个函数的值域（最值）问题，实根分布法比较复杂。我们应用函数的性质，可以完整解决分式函数的值域问题。
下面对和先讨论函数的性质。
性质1 若，函数在区间和区间是单调增函数；在区间 和区间是单调减函数。
性质1的证明从略。
性质2 若，函数在区间和区间上都是增函数。
性质2的证明从略。
例1 分别求函数在指定区间上的值域
（1） （2） （3）
解：（1）利用均值不等式，
，
当时，，
所以，函数的值域是。
（2）由（1）的解答过程，因为，所以均值不等式就失去了作用。我们可以用函数的单调性解决这个问题。
因为函数在区间上是增函数，当时，，所以，函数的值域是。
（3）把区间分割成两部分：和，由性质1知，函数在区间和上分别是减函数、增函数，
那么这个函数在两个区间上的值域分别是和，
所以函数在区间上的值域是。
例2 求下列函数的值域
（1） （2）
解：（1）用部分分式法，，就化归为例1（1）的情形。
（2）用换元法把分母上的式子转换为一个单项式。
设，则，代入函数得
,其中，当即时，函数取最小值。所以，原函数的值域为
例3 求函数的值域。
解：因为①
设其中，且，
那么，且
把 代入①式，得
如果
如果
当时，
从而
当时，且
从而或
所以，原函数的值域是
例4 求函数的值域。
解：
设代入原函数得
由于
所以
例5 求函数的值域。
解：
因为，函数是增函数，
原函数的值域是
‘叁’ 求函数值域的8种方法
观察法，公式法 ，配方法，判别式法，图像法，换元法，反函数法，利用函数的单调性，最值法
‘肆’ 求函数值域的方法
值域是函数值所在的集合。一旦函数的定义域和对应法则确定了，函数的值域也就随之确定。下面介绍几种常用的求函数值域的方法:
1.配方法
2.区间划分法
3.不等式比较法
4.函数变换法
5.换元法
6.
‘伍’ 求函数值域的所有常用方法及例题详解
可以用直角坐标系画出图象，然后在定义域内求出值域区间，有些可以直接看出……
‘陆’ 求函数值域有那些方法
请输入你的答案...其没有固定的方法和模式。但常用方法有： （1）直接法：从变量x的范围出发，推出y=f（x）的取值范围； （2）配方法：配方法是求“二次函数类”值域的基本方法，形如F（x）=af^（x） bf（x） c的函数的值域问题，均可使用配方法 （3）反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系，通过反函数的定义域，得到原函数的值域。形如y=cx d/ax b（a≠0）的函数均可使用反函数法。此外，这种类型的函数值域也可使用“分离常数法”求解。 （4）换元法：运用代数或三角代换，将所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域。形如y=ax b±根号cx d（a、b、c、d均为常数，且a≠0）的函数常用此法求解。举些例子吧！ （1）y=4-根号3 2x-x^ 此题就得用配方法:由3 2x-x^≥0,得-1≤x≤3. ∵y=4-根号-1(x-1)^ 4,∴当x=1时,ymin=4-2=2. 当x=-1或3时,ymax=4. ∴函数值域为[2,4] (2)y=2x 根号1-2x 此题用换元法: 令t=根号1-2x(t≥0),则x=1-t^/2 ∵y=-t^ t 1=-(t-1/2)^ 5/4, ∵当t=1/2即x=3/8时,ymax=5/4,无最小值. ∴函数值域为(-∞,5/4) (3)y=1-x/2x 5 用分离常数法 ∵y=-1/2 7/2/2x 5, 7/2/2x 5≠0, ∴y≠-1/2
‘柒’ 求函数的值域的常用方法有
求函数值域与最值的常用方法，几乎囊括了数学常用的方法.
观察法、配方法、分离常数法、反解法、换元法、判别式法、均值定理法、单调性法、数形结合法和导数法等.
有时需要综合几种方法，才能求出值域.
‘捌’ 求函数值域的方法。
1：直接法：从自变量的范围出发，推出值域，也就是直接看咯。这个不用例题了吧？
2：分离常数法
例题：y=(1-x^2)/(1+x^2)
解，y=(1-x^2)/(1+x^2)
=2/(1+x^2)-1
∵1+x^2≥1，∴0＜2/（1+x^2)≤2
∴-1＜
y≤1
即y∈（-1，1】
3：配方法（或者说是最值法）
求出最大值还有最小值，那么值域不就出来了吗。
例题：y=x^2+2x+3
x∈【-1，2】
先配方，得y=(x+1)^2+1
∴ymin=(-1+1)^2+2=2
ymax=(2+1)^2+2=11
4:判别式法，运用方程思想，根据二次方程有实根求值域
不好意思，当初做笔记的时候忘记抄例题了，不过这种方法不是很常用。
5：换元法：适用于有根号的函数
例题：y=x-√（1-2x)
设√（1-2x)=t(t≥0)
∴x=(1-t^2)/2
∴y=(1-t^2)/2-t
=-t^2/2-t+1/2
=-1/2(t+1)^2+1
∵t≥0，∴y∈（-∝，1/2）
6：图像法，直接画图看值域
例题：y=|x+1|+√（x-2)^2
这是一个分段函数，你画出图后就可以一眼看出值域。
7：反函数法。求反函数的定义域，就是原函数的值域。
例题：y=(3x-1)/(3x-2)
先求反函数y=(2x-1)/(3x-3)
明显定义域为x≠1
所以原函数的值域为y≠1
‘玖’ 如何求函数值域（方法）
1．观察法
用于简单的解析式。
y＝1－√x≤1,值域(－∞, 1]
y=(1+x)/(1-x)=2/(1-x)-1≠-1,值域(－∞,-1)∪(-1,＋∞).
2.配方法
多用于二次(型)函数。
y＝x^2-4x+3=(x-2)^2-1≥-1,值域[-1, ＋∞）
y=e^2x-4e^x-3=(e^x-2)^2-7≥-7,值域[-7,＋∞）
3. 换元法
多用于复合型函数。
通过换元，使高次函数低次化，分式函数整式化，无理函数有理化，超越函数代数以方便求值域。
特别注意中间变量（新量）的变化范围。
4. 不等式法
用不等式的基本性质，也是求值域的常用方法。
y=（e^x+1）/(e^x-1), (0<x<1).
0<x<1,
1<e^x<e, 0<e^x-1<e-1,
1/(e^x-1)>1/(e-1),
y=1+2/(e^x-1)>1+2/(e-1).值域(1+2/(e-1),＋∞).
5. 最值法
如果函数f(x)存在最大值M和最小值m.那么值域为[m,M].
因此,求值域的方法与求最值的方法是相通的.
6. 反函数法
有的又叫反解法.
函数和它的反函数的定义域与值域互换.
如果一个函数的值域不易求,而它的反函数的定义域易求.那么,我们通过求后者而得出前者.
7. 单调性法
若f(x)在定义域[a, b]上是增函数,则值域为[f(a), f(b)].减函数则值域为[f(b),f(a)]
‘拾’ 求函数值域的常用方法、并举例~ 求函数值域有哪些方法,举例说明、详细~
求函数值域的几种常见方法
1直接法：利用常见函数的值域来求
一次函数y=ax+b(a 0)的定义域为R,值域为R；
反比例函数 的定义域为{x|x≠0},值域为{y|y≠0}；
二次函数的定义域为R
当a>0时,值域为{y|y≥(4ac-b��)/4a}；
当a0,∴y(min)=(4ac-b��)/4a=[4×1×3-（-2）��]/4×1=1
即函数的值域是{y|y≥2}2．
二次函数在定区间上的值域(最值)：
①f(x)=x��-6x+12 x∈[4,6]
因为对称轴x=-b/2a=-(-6)/2×1=3 二次项系数1>0
所以f(x)=x��-6x+12 在x∈[4,6]是增函数
所以f(x)min=f(4)=4 f(x)max=f(6)=12
f(x)的值域是[4,12]
②f(x)=x��-6x+12 x∈[0,5]
因为对称轴x=-b/2a=-(-6)/2×1=3 二次项系数1>0
所以f(x)=x��-6x+12 在x∈[0,3]是减函数,在x∈(3,5]是增函数
所以f(x)min=f(3)=3 而f(0)=12 f(5)=7,所以f(x)max=f(0)=12
f(x)的值域是[3,12]
3观察法求y=(√x)+1的值域
∵√x≥0 ∴√x+1≥1∴y=(√x)+1的值域是[1,+∞)
4配方法求y=√(x��-6x-5)的值域
∵-x��-6x-5≥0可知函数的定义域是[-5,-1]
∵-x��-6x-5=-(x+3)��+4因为-5≤x≤-1
所以-2≤x+3≤2 所以0≤(x+3)��≤4所以-4≤-(x+3)��≤0
终于得到0≤-(x+3)��+4≤4所以0≤√(x��-6x-5)≤2
所以y=√(x��-6x-5)的值域是[0,2]
5.图像法求y=｜x+3｜+｜x-5｜的值域
因为y=-2x+2(x0 解得 0