用邹元治方法证明勾股定理图片

‘壹’ 求勾股定理的证法(必须在50种以上,反正越多越好!)

勾股定理的证明

罗洪信

【证法1】（课本的证明）

做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，再做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.

从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a+b，所以面积相等.即

，整理得.

【证法2】（邹元治证明）

以a、b为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于.把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上，B、F、C三点在一条直线上，C、G、D三点在一条直线上.

∵RtΔHAE≌RtΔEBF,

∴∠AHE=∠BEF.

∵∠AEH+∠AHE=90º,

∴∠AEH+∠BEF=90º.

∴∠HEF=180º―90º=90º.

∴四边形EFGH是一个边长为c的

正方形.它的面积等于c2.

∵RtΔGDH≌RtΔHAE,

∴∠HGD=∠EHA.

∵∠HGD+∠GHD=90º,

∴∠EHA+∠GHD=90º.

又∵∠GHE=90º,

∴∠DHA=90º+90º=180º.

∴ABCD是一个边长为a+b的正方形，它的面积等于.

∴.∴.

【证法3】（赵爽证明）

以a、b为直角边（b>a），以c为斜

边作四个全等的直角三角形，则每个直角

三角形的面积等于.把这四个直角三

角形拼成如图所示形状.

∵RtΔDAH≌RtΔABE,

∴∠HDA=∠EAB.

∵∠HAD+∠HAD=90º，

∴∠EAB+∠HAD=90º，

∴ABCD是一个边长为c的正方形，它的面积等于c2.

∵EF=FG=GH=HE=b―a,

∠HEF=90º.

∴EFGH是一个边长为b―a的正方形，它的面积等于.

∴.

∴.

【证法4】（1876年美国总统Garfield证明）

以a、b为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于.把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上.

∵RtΔEAD≌RtΔCBE,

∴∠ADE=∠BEC.

∵∠AED+∠ADE=90º,

∴∠AED+∠BEC=90º.

∴∠DEC=180º―90º=90º.

∴ΔDEC是一个等腰直角三角形，

它的面积等于.

又∵∠DAE=90º,∠EBC=90º,

∴AD‖BC.

∴ABCD是一个直角梯形，它的面积等于.

∴.

∴.

【证法5】（梅文鼎证明）

做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c.把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上.过C作AC的延长线交DF于点P.

∵D、E、F在一条直线上,且RtΔGEF≌RtΔEBD,

∴∠EGF=∠BED，

∵∠EGF+∠GEF=90°，

∴∠BED+∠GEF=90°，

∴∠BEG=180º―90º=90º.

又∵AB=BE=EG=GA=c，

∴ABEG是一个边长为c的正方形.

∴∠ABC+∠CBE=90º.

∵RtΔABC≌RtΔEBD,

∴∠ABC=∠EBD.

∴∠EBD+∠CBE=90º.

即∠CBD=90º.

又∵∠BDE=90º，∠BCP=90º，

BC=BD=a.

∴BDPC是一个边长为a的正方形.

同理，HPFG是一个边长为b的正方形.

设多边形GHCBE的面积为S，则

,

∴.

【证法6】（项明达证明）

做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a），斜边长为c.再做一个边长为c的正方形.把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C三点在一条直线上.

过点Q作QP‖BC，交AC于点P.

过点B作BM⊥PQ，垂足为M；再过点

F作FN⊥PQ，垂足为N.

∵∠BCA=90º，QP‖BC，

∴∠MPC=90º，

∵BM⊥PQ，

∴∠BMP=90º，

∴BCPM是一个矩形，即∠MBC=90º.

∵∠QBM+∠MBA=∠QBA=90º，

∠ABC+∠MBA=∠MBC=90º，

∴∠QBM=∠ABC，

又∵∠BMP=90º，∠BCA=90º，BQ=BA=c，

∴RtΔBMQ≌RtΔBCA.

同理可证RtΔQNF≌RtΔAEF.

从而将问题转化为【证法4】（梅文鼎证明）.

【证法7】（欧几里得证明）

做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H、C、B三点在一条直线上，连结

BF、CD.过C作CL⊥DE，

交AB于点M，交DE于点

L.

∵AF=AC，AB=AD，

∠FAB=∠GAD，

∴ΔFAB≌ΔGAD，

∵ΔFAB的面积等于，

ΔGAD的面积等于矩形ADLM

的面积的一半，

∴矩形ADLM的面积=.

同理可证，矩形MLEB的面积=.

∵正方形ADEB的面积

=矩形ADLM的面积+矩形MLEB的面积

∴，即.

【证法8】（利用相似三角形性质证明）

如图，在RtΔABC中，设直角边AC、BC的长度分别为a、b，斜边AB的长为c，过点C作CD⊥AB，垂足是D.

在ΔADC和ΔACB中，

∵∠ADC=∠ACB=90º，

∠CAD=∠BAC，

∴ΔADC∽ΔACB.

AD∶AC=AC∶AB，

即.

同理可证，ΔCDB∽ΔACB，从而有.

∴，即.

【证法9】（杨作玫证明）

做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a），斜边长为c.再做一个边长为c的正方形.把它们拼成如图所示的多边形.过A作AF⊥AC，AF交GT于F，AF交DT于R.过B作BP⊥AF，垂足为P.过D作DE与CB的延长线垂直，垂足为E，DE交AF于H.

∵∠BAD=90º，∠PAC=90º，

∴∠DAH=∠BAC.

又∵∠DHA=90º，∠BCA=90º，

AD=AB=c，

∴RtΔDHA≌RtΔBCA.

∴DH=BC=a，AH=AC=b.

由作法可知，PBCA是一个矩形，

所以RtΔAPB≌RtΔBCA.即PB=

CA=b，AP=a，从而PH=b―a.

∵RtΔDGT≌RtΔBCA,

RtΔDHA≌RtΔBCA.

∴RtΔDGT≌RtΔDHA.

∴DH=DG=a，∠GDT=∠HDA.

又∵∠DGT=90º，∠DHF=90º，

∠GDH=∠GDT+∠TDH=∠HDA+∠TDH=90º，

∴DGFH是一个边长为a的正方形.

∴GF=FH=a.TF⊥AF，TF=GT―GF=b―a.

∴TFPB是一个直角梯形，上底TF=b―a，下底BP=b，高FP=a+（b―a）.

用数字表示面积的编号（如图），则以c为边长的正方形的面积为

①

∵=，

，

∴=.②

把②代入①，得

==.

∴.

【证法10】（李锐证明）

设直角三角形两直角边的长分别为a、b（b>a），斜边的长为c.做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使A、E、G三点在一条直线上.用数字表示面积的编号（如图）.

∵∠TBE=∠ABH=90º，

∴∠TBH=∠ABE.

又∵∠BTH=∠BEA=90º，

BT=BE=b，

∴RtΔHBT≌RtΔABE.

∴HT=AE=a.

∴GH=GT―HT=b―a.

又∵∠GHF+∠BHT=90º，

∠DBC+∠BHT=∠TBH+∠BHT=90º，

∴∠GHF=∠DBC.

∵DB=EB―ED=b―a，

∠HGF=∠BDC=90º，

∴RtΔHGF≌RtΔBDC.即.

过Q作QM⊥AG，垂足是M.由∠BAQ=∠BEA=90º，可知∠ABE

=∠QAM，而AB=AQ=c，所以RtΔABE≌RtΔQAM.又RtΔHBT≌

RtΔABE.所以RtΔHBT≌RtΔQAM.即.

由RtΔABE≌RtΔQAM，又得QM=AE=a，∠AQM=∠BAE.

∵∠AQM+∠FQM=90º，∠BAE+∠CAR=90º，∠AQM=∠BAE，

∴∠FQM=∠CAR.

又∵∠QMF=∠ARC=90º，QM=AR=a，

∴RtΔQMF≌RtΔARC.即.

∵，，，

又∵，，，

∴

=

=，

即.

【证法11】（利用切割线定理证明）

在RtΔABC中，设直角边BC=a，AC=b，斜边AB=c.如图，以B为圆心a为半径作圆，交AB及AB的延长线分别于D、E，则BD=BE=BC=a.因为∠BCA=90º，点C在⊙B上，所以AC是⊙B的切线.由切割线定理，得

=

=

=，

即，

∴.

【证法12】（利用多列米定理证明）

在RtΔABC中，设直角边BC=a，AC=b，斜边AB=c（如图）.过点A作AD‖CB，过点B作BD‖CA，则ACBD为矩形，矩形ACBD内接于一个圆.根据多列米定理，圆内接四边形对角线的乘积等于两对边乘积之和，有

，

∵AB=DC=c，AD=BC=a，

AC=BD=b，

∴，即，

∴.

【证法13】（作直角三角形的内切圆证明）

在RtΔABC中，设直角边BC=a，AC=b，斜边AB=c.作RtΔABC的内切圆⊙O，切点分别为D、E、F（如图），设⊙O的半径为r.

∵AE=AF，BF=BD，CD=CE，

∴

==r+r=2r,

即，

∴.

∴，

即，

∵，

∴，

又∵==

==，

∴，

∴，

∴，∴.

【证法14】（利用反证法证明）

如图，在RtΔABC中，设直角边AC、BC的长度分别为a、b，斜边AB的长为c，过点C作CD⊥AB，垂足是D.

假设，即假设，则由

==

可知，或者.即AD：AC≠AC：AB，或者BD：BC≠BC：AB.

在ΔADC和ΔACB中，

∵∠A=∠A，

∴若AD：AC≠AC：AB，则

∠ADC≠∠ACB.

在ΔCDB和ΔACB中，

∵∠B=∠B，

∴若BD：BC≠BC：AB，则

∠CDB≠∠ACB.

又∵∠ACB=90º，

∴∠ADC≠90º，∠CDB≠90º.

这与作法CD⊥AB矛盾.所以，的假设不能成立.

∴.

【证法15】（辛卜松证明）

设直角三角形两直角边的长分别为a、b，斜边的长为c.作边长是a+b的正方形ABCD.把正方形ABCD划分成上方左图所示的几个部分，则正方形ABCD的面积为；把正方形ABCD划分成上方右图所示的几个部分，则正方形ABCD的面积为=.

∴,

∴.

【证法16】（陈杰证明）

设直角三角形两直角边的长分别为a、b（b>a），斜边的长为c.做两个边长分别为a、b的正方形（b>a），把它们拼成如图所示形状，使E、H、M三点在一条直线上.用数字表示面积的编号（如图）.

在EH=b上截取ED=a，连结DA、DC，

则AD=c.

∵EM=EH+HM=b+a,ED=a，

∴DM=EM―ED=―a=b.

又∵∠CMD=90º，CM=a，

∠AED=90º，AE=b，

∴RtΔAED≌RtΔDMC.

∴∠EAD=∠MDC，DC=AD=c.

∵∠ADE+∠ADC+∠MDC=180º，

∠ADE+∠MDC=∠ADE+∠EAD=90º，

∴∠ADC=90º.

∴作AB‖DC，CB‖DA，则ABCD是一个边长为c的正方形.

∵∠BAF+∠FAD=∠DAE+∠FAD=90º，

∴∠BAF=∠DAE.

连结FB，在ΔABF和ΔADE中，

∵AB=AD=c，AE=AF=b，∠BAF=∠DAE，

∴ΔABF≌ΔADE.

∴∠AFB=∠AED=90º，BF=DE=a.

∴点B、F、G、H在一条直线上.

在RtΔABF和RtΔBCG中，

∵AB=BC=c，BF=CG=a，

∴RtΔABF≌RtΔBCG.

∵，，，

，

∴

=

=

=

∴.

我只能给出这16种正法了

‘贰’ 我国数学家邹元治利用下图证明了勾股定理

分析： 利用数学史常识直接得出答案． 如图这是我国古代一个数学家构造的“勾股圆方图”（见课本第76页），他第一个利用此图证明了“勾股定理”．这个数学家是赵爽．故选：C． 点评： 此题主要考查了数学史，熟练记忆推出重要定理人物是解题关键．

‘叁’ 勾股定理的证明方法 急 急 急！！！！！！ 带上图 初中水平

勾股定理的证明

【证法1】（课本的证明）

做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，再做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.

从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a+b，所以面积相等.即

，整理得.

【证法2】（邹元治证明）

以a、b为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于.把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上，B、F、C三点在一条直线上，C、G、D三点在一条直线上.

∵RtΔHAE≌RtΔEBF,

∴∠AHE=∠BEF.

∵∠AEH+∠AHE=90º,

∴∠AEH+∠BEF=90º.

∴∠HEF=180º―90º=90º.

∴四边形EFGH是一个边长为c的

正方形.它的面积等于c2.

∵RtΔGDH≌RtΔHAE,

∴∠HGD=∠EHA.

∵∠HGD+∠GHD=90º,

∴∠EHA+∠GHD=90º.

又∵∠GHE=90º,

∴∠DHA=90º+90º=180º.

∴ABCD是一个边长为a+b的正方形，它的面积等于.

∴.∴.

【证法3】（赵爽证明）

以a、b为直角边（b>a），以c为斜

边作四个全等的直角三角形，则每个直角

三角形的面积等于.把这四个直角三

角形拼成如图所示形状.

∵RtΔDAH≌RtΔABE,

∴∠HDA=∠EAB.

∵∠HAD+∠HAD=90º，

∴∠EAB+∠HAD=90º，

∴ABCD是一个边长为c的正方形，它的面积等于c2.

∵EF=FG=GH=HE=b―a,

∠HEF=90º.

∴EFGH是一个边长为b―a的正方形，它的面积等于.

∴.

∴.

【证法4】（1876年美国总统Garfield证明）

以a、b为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于.把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上.

∵RtΔEAD≌RtΔCBE,

∴∠ADE=∠BEC.

∵∠AED+∠ADE=90º,

∴∠AED+∠BEC=90º.

∴∠DEC=180º―90º=90º.

∴ΔDEC是一个等腰直角三角形，

它的面积等于.

又∵∠DAE=90º,∠EBC=90º,

∴AD‖BC.

∴ABCD是一个直角梯形，它的面积等于.

∴.

∴.

【证法5】（梅文鼎证明）

做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c.把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上.过C作AC的延长线交DF于点P.

∵D、E、F在一条直线上,且RtΔGEF≌RtΔEBD,

∴∠EGF=∠BED，

∵∠EGF+∠GEF=90°，

∴∠BED+∠GEF=90°，

∴∠BEG=180º―90º=90º.

又∵AB=BE=EG=GA=c，

∴ABEG是一个边长为c的正方形.

∴∠ABC+∠CBE=90º.

∵RtΔABC≌RtΔEBD,

∴∠ABC=∠EBD.

∴∠EBD+∠CBE=90º.

即∠CBD=90º.

又∵∠BDE=90º，∠BCP=90º，

BC=BD=a.

∴BDPC是一个边长为a的正方形.

同理，HPFG是一个边长为b的正方形.

设多边形GHCBE的面积为S，则

,

∴.

【证法6】（项明达证明）

做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a），斜边长为c.再做一个边长为c的正方形.把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C三点在一条直线上.

过点Q作QP‖BC，交AC于点P.

过点B作BM⊥PQ，垂足为M；再过点

F作FN⊥PQ，垂足为N.

∵∠BCA=90º，QP‖BC，

∴∠MPC=90º，

∵BM⊥PQ，

∴∠BMP=90º，

∴BCPM是一个矩形，即∠MBC=90º.

∵∠QBM+∠MBA=∠QBA=90º，

∠ABC+∠MBA=∠MBC=90º，

∴∠QBM=∠ABC，

又∵∠BMP=90º，∠BCA=90º，BQ=BA=c，

∴RtΔBMQ≌RtΔBCA.

同理可证RtΔQNF≌RtΔAEF.

从而将问题转化为【证法4】（梅文鼎证明）.

【证法7】（欧几里得证明）

做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H、C、B三点在一条直线上，连结

BF、CD.过C作CL⊥DE，

交AB于点M，交DE于点

L.

∵AF=AC，AB=AD，

∠FAB=∠GAD，

∴ΔFAB≌ΔGAD，

∵ΔFAB的面积等于，

ΔGAD的面积等于矩形ADLM

的面积的一半，

∴矩形ADLM的面积=.

同理可证，矩形MLEB的面积=.

∵正方形ADEB的面积

=矩形ADLM的面积+矩形MLEB的面积

∴，即.

【证法8】（利用相似三角形性质证明）

如图，在RtΔABC中，设直角边AC、BC的长度分别为a、b，斜边AB的长为c，过点C作CD⊥AB，垂足是D.

在ΔADC和ΔACB中，

∵∠ADC=∠ACB=90º，

∠CAD=∠BAC，

∴ΔADC∽ΔACB.

AD∶AC=AC∶AB，

即.

同理可证，ΔCDB∽ΔACB，从而有.

∴，即.

【证法9】（杨作玫证明）

做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a），斜边长为c.再做一个边长为c的正方形.把它们拼成如图所示的多边形.过A作AF⊥AC，AF交GT于F，AF交DT于R.过B作BP⊥AF，垂足为P.过D作DE与CB的延长线垂直，垂足为E，DE交AF于H.

∵∠BAD=90º，∠PAC=90º，

∴∠DAH=∠BAC.

又∵∠DHA=90º，∠BCA=90º，

AD=AB=c，

∴RtΔDHA≌RtΔBCA.

∴DH=BC=a，AH=AC=b.

由作法可知，PBCA是一个矩形，

所以RtΔAPB≌RtΔBCA.即PB=

CA=b，AP=a，从而PH=b―a.

∵RtΔDGT≌RtΔBCA,

RtΔDHA≌RtΔBCA.

∴RtΔDGT≌RtΔDHA.

∴DH=DG=a，∠GDT=∠HDA.

又∵∠DGT=90º，∠DHF=90º，

∠GDH=∠GDT+∠TDH=∠HDA+∠TDH=90º，

∴DGFH是一个边长为a的正方形.

∴GF=FH=a.TF⊥AF，TF=GT―GF=b―a.

∴TFPB是一个直角梯形，上底TF=b―a，下底BP=b，高FP=a+（b―a）.

用数字表示面积的编号（如图），则以c为边长的正方形的面积为

①

∵=，

，

∴=.②

把②代入①，得

==.

∴.

【证法10】（李锐证明）

设直角三角形两直角边的长分别为a、b（b>a），斜边的长为c.做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使A、E、G三点在一条直线上.用数字表示面积的编号（如图）.

∵∠TBE=∠ABH=90º，

∴∠TBH=∠ABE.

又∵∠BTH=∠BEA=90º，

BT=BE=b，

∴RtΔHBT≌RtΔABE.

∴HT=AE=a.

∴GH=GT―HT=b―a.

又∵∠GHF+∠BHT=90º，

∠DBC+∠BHT=∠TBH+∠BHT=90º，

∴∠GHF=∠DBC.

∵DB=EB―ED=b―a，

∠HGF=∠BDC=90º，

∴RtΔHGF≌RtΔBDC.即.

过Q作QM⊥AG，垂足是M.由∠BAQ=∠BEA=90º，可知∠ABE

=∠QAM，而AB=AQ=c，所以RtΔABE≌RtΔQAM.又RtΔHBT≌

RtΔABE.所以RtΔHBT≌RtΔQAM.即.

由RtΔABE≌RtΔQAM，又得QM=AE=a，∠AQM=∠BAE.

∵∠AQM+∠FQM=90º，∠BAE+∠CAR=90º，∠AQM=∠BAE，

∴∠FQM=∠CAR.

又∵∠QMF=∠ARC=90º，QM=AR=a，

∴RtΔQMF≌RtΔARC.即.

∵，，，

又∵，，，

∴

=

=，

即.

【证法11】（利用切割线定理证明）

在RtΔABC中，设直角边BC=a，AC=b，斜边AB=c.如图，以B为圆心a为半径作圆，交AB及AB的延长线分别于D、E，则BD=BE=BC=a.因为∠BCA=90º，点C在⊙B上，所以AC是⊙B的切线.由切割线定理，得

=

=

=，

即，

∴.

【证法12】（利用多列米定理证明）

在RtΔABC中，设直角边BC=a，AC=b，斜边AB=c（如图）.过点A作AD‖CB，过点B作BD‖CA，则ACBD为矩形，矩形ACBD内接于一个圆.根据多列米定理，圆内接四边形对角线的乘积等于两对边乘积之和，有

，

∵AB=DC=c，AD=BC=a，

AC=BD=b，

∴，即，

∴.

【证法13】（作直角三角形的内切圆证明）

在RtΔABC中，设直角边BC=a，AC=b，斜边AB=c.作RtΔABC的内切圆⊙O，切点分别为D、E、F（如图），设⊙O的半径为r.

∵AE=AF，BF=BD，CD=CE，

∴

==r+r=2r,

即，

∴.

∴，

即，

∵，

∴，

又∵==

==，

∴，

∴，

∴，∴.

【证法14】（利用反证法证明）

如图，在RtΔABC中，设直角边AC、BC的长度分别为a、b，斜边AB的长为c，过点C作CD⊥AB，垂足是D.

假设，即假设，则由

==

可知，或者.即AD：AC≠AC：AB，或者BD：BC≠BC：AB.

在ΔADC和ΔACB中，

∵∠A=∠A，

∴若AD：AC≠AC：AB，则

∠ADC≠∠ACB.

在ΔCDB和ΔACB中，

∵∠B=∠B，

∴若BD：BC≠BC：AB，则

∠CDB≠∠ACB.

又∵∠ACB=90º，

∴∠ADC≠90º，∠CDB≠90º.

这与作法CD⊥AB矛盾.所以，的假设不能成立.

∴.

【证法15】（辛卜松证明）

设直角三角形两直角边的长分别为a、b，斜边的长为c.作边长是a+b的正方形ABCD.把正方形ABCD划分成上方左图所示的几个部分，则正方形ABCD的面积为；把正方形ABCD划分成上方右图所示的几个部分，则正方形ABCD的面积为=.

∴,

∴.

【证法16】（陈杰证明）

设直角三角形两直角边的长分别为a、b（b>a），斜边的长为c.做两个边长分别为a、b的正方形（b>a），把它们拼成如图所示形状，使E、H、M三点在一条直线上.用数字表示面积的编号（如图）.

在EH=b上截取ED=a，连结DA、DC，

则AD=c.

∵EM=EH+HM=b+a,ED=a，

∴DM=EM―ED=―a=b.

又∵∠CMD=90º，CM=a，

∠AED=90º，AE=b，

∴RtΔAED≌RtΔDMC.

∴∠EAD=∠MDC，DC=AD=c.

∵∠ADE+∠ADC+∠MDC=180º，

∠ADE+∠MDC=∠ADE+∠EAD=90º，

∴∠ADC=90º.

∴作AB‖DC，CB‖DA，则ABCD是一个边长为c的正方形.

∵∠BAF+∠FAD=∠DAE+∠FAD=90º，

∴∠BAF=∠DAE.

连结FB，在ΔABF和ΔADE中，

∵AB=AD=c，AE=AF=b，∠BAF=∠DAE，

∴ΔABF≌ΔADE.

∴∠AFB=∠AED=90º，BF=DE=a.

∴点B、F、G、H在一条直线上.

在RtΔABF和RtΔBCG中，

∵AB=BC=c，BF=CG=a，

∴RtΔABF≌RtΔBCG.

∵，，，

，

∴

=

=

=

∴.

‘肆’ 勾股定理16种证明方法

勾股定理16种证明方法

勾股定理：直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方,即在以a、b为直角边，c为斜边的三角形中有a^2+b^2=c^2。

‘伍’ 勾股定理的16种证明法

• 【证法1】（课本的证明）做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，再做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a
  + b，所以面积相等. 即a²+b²+4x1/2ab=c²+4x1/2ab， 整理得a²+b²=c²。

  

‘陆’ 勾股定理的十六种证明方法

加菲尔德证法、加菲尔德证法变式、青朱出入图证法、欧几里得证法、毕达哥拉斯证法、华蘅芳证法、赵爽弦图证法、百牛定理证法、商高定理证法、商高证法、刘徽证法、绉元智证法、梅文鼎证法、向明达证法、杨作梅证法、李锐证法

例，如下图：

设△ABC为一直角三角形，其中A为直角。从A点划一直线至对边，使其垂直于对边。延长此线把对边上的正方形一分为二，其面积分别与其余两个正方形相等。

设△ABC为一直角三角形，其直角为∠CAB。

其边为BC、AB和CA，依序绘成四方形CBDE、BAGF和ACIH。

画出过点A之BD、CE的平行线，分别垂直BC和DE于K、L。

分别连接CF、AD，形成△BCF、△BDA。

∠CAB和∠BAG都是直角，因此C、A和G共线，同理可证B、A和H共线。

∠CBD和∠FBA都是直角，所以∠ABD=∠FBC。

因为AB=FB，BD=BC，所以△ABD≌△FBC。

因为A与K和L在同一直线上，所以四边形BDLK=2△ABD。

因为C、A和G在同一直线上，所以正方形BAGF=2△FBC。

因此四边形BDLK=BAGF=AB²。

同理可证，四边形CKLE=ACIH=AC²。

把这两个结果相加，AB²+AC²=BD×BK+KL×KC

由于BD=KL，BD×BK+KL×KC=BD(BK+KC)=BD×BC

由于CBDE是个正方形，因此AB²+AC²=BC²，即a²+b²=c²。

(6)用邹元治方法证明勾股定理图片扩展阅读

性质：

1、勾股定理的证明是论证几何的发端；

2、勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，即它是第一个把几何与代数联系起来的定理；

3、勾股定理导致了无理数的发现，引起第一次数学危机，大大加深了人们对数的理解；

4、勾股定理是历史上第—个给出了完全解答的不定方程，它引出了费马大定理；

5、勾股定理是欧氏几何的基础定理，并有巨大的实用价值，这条定理不仅在几何学中是一颗光彩夺目的明珠，被誉为“几何学的基石”，而且在高等数学和其他科学领域也有着广泛的应用。1971年5月15日，尼加拉瓜发行了一套题为“改变世界面貌的十个数学公式”邮票，这十个数学公式由着名数学家选出的，勾股定理是其中之首。

‘柒’ 初二勾股定理证明，要带图的。三种方法！

勾股定律证明的三种方法如下：

【方法1】

(7)用邹元治方法证明勾股定理图片扩展阅读：

在我国数学上，早就有勾3股4弦5的说法，这是勾股定律的一个特例，勾3a，股4a，弦5a都符合勾股定律。

在平面上的一个直角三角形中，两个直角边边长的平方加起来等于斜边长的平方。如果设直角三角形的两条直角边长度分别是a和b，斜边长c，存在下面这个关系：a²+b²=c²

勾股定理现约有500种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。

在中国，商朝时期的商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例。在西方，最早提出并证明此定理的为公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派，他用演绎法证明了直角三角形斜边平方等于两直角边平方之和。