勾股定理的逆定理常用方法

㈠ 什么是勾股定理的逆定理什么是勾股定理的

勾股定理的逆定理：如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形。最长边所对的角为直角。

证明过程如下：

根据余弦定理，在△ABC中，cosC=(a²+b²-c²）÷2ab。

由于a²+b²=c²，故cosC=0；

因为0°<∠C<180°，所以∠C=90°。（证明完毕）

(1)勾股定理的逆定理常用方法扩展阅读：

勾股定理的逆定理是判断三角形是否为锐角、直角或钝角三角形的一个简单的方法。

（1）若c为最长边，且a²+b²=c²，则△ABC是直角三角形。

（2）如果a²+b²>c²，则△ABC是锐角三角形。

（3）如果a²+b²<c²，则△ABC是钝角三角形。

㈡ 勾股定理的逆定理是什么

勾股定理：

在平面上的一个直角三角形中，两个直角边边长的平方加起来等于斜边长的平方。

（如下图所示，即a² + b² = c²）



例子：

以上图的直角三角形为例，a的边长为3，b的边长为4，则我们可以利用勾股定理计算出c的边长。

由勾股定理得，a² + b² = c² → 3² +4² = c²

即，9 + 16 = 25 = c²

c = √25 = 5

所以我们可以利用勾股定理计算出c的边长为5。

扩展内容：

勾股定理：

勾股定理（Pythagorean theorem）又称商高定理、毕达哥拉斯定理、毕氏定理、百牛定理，是平面几何中一个基本而重要的定理。勾股定理说明，平面上的直角三角形的两条直角边的长度（古称勾长、股长）的平方和等于斜边长（古称弦长）的平方。反之，若平面上三角形中两边长的平方和等于第三边边长的平方，则它是直角三角形（直角所对的边是第三边）。勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一。

勾股定理的逆定理：

勾股定理的逆定理是判断三角形为钝角、锐角或直角的一个简单的方法，其中AB=c为最长边:

如果a² + b² = c² ，则△ABC是直角三角形。

如果a² + b² > c² ，则△ABC是锐角三角形（若无先前条件AB=c为最长边，则该式的成立仅满足∠C是锐角）。

如果a² + b² < c² ，则△ABC是钝角三角形。

参考资料：勾股定理 - wiki

㈢ 怎么证勾股定理逆定理

勾股定理的逆定理：设a、b、c是一个三角形的三条边，且c是最长边，如果cc≠aa+bb，则这个三角形不是直角三角形，只要用反证法及勾股定理就可以证明了。

勾股定理的逆定理：如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形。最长边所对的角为直角。

勾股定理的逆定理是判断三角形是否为锐角、直角或钝角三角形的一个简单的方法。若c为最长边，且a2+b2=c2，则△ABC是直角三角形。如果a2+b2>c2，则△ABC是锐角三角形。如果a2+b2<c2，则△ABC是钝角三角形。

拓展资料：

勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为A，B，斜边为C，那么
； 即直角三角形两直角边长的平方和等于斜边长的平方。古埃及人用这样的方法画直角。

勾股定理的来源：
毕达哥拉斯树是一个基本的几何定理，传统上认为是由古希腊的毕达哥拉斯所证明。据说毕达哥拉斯证明了这个定理后，即斩了百头牛作庆祝，因此又称“百牛定理”。
在中国，《周髀算经》记载了勾股定理的公式与证明，相传是在商代由商高发现，故又有称之为商高定理；三国时代的赵爽对《周髀算经》内的勾股定理作出了详细注释，又给出了另外一个证明。法国和比利时称为驴桥定理，埃及称为埃及三角形。中国古代把直角三角形中较短的直角边叫做勾，较长的直角边叫做股，斜边叫做弦。

㈣ 勾股定理的逆定理的多种证明

这个定理有许多证明的方法，其证明的方法可能是数学众多定理中最多的。路明思（Elisha Scott Loomis）的Pythagorean Proposition（《毕达哥拉斯命题》）一书中总共提到367种证明方式。有人会尝试以三角恒等式（例如：正弦和余弦函数的泰勒级数）来证明勾股定理，但是，因为所有的基本三角恒等式都是建基于勾股定理，所以不能作为勾股定理的证明（参见循环论证）。 作四个全等的直角三角形，把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上（设它们的两条直角边长分别为a、b ，斜边长为c.）。过点C作AC的延长线交DF于点P.
∵ D、E、F在一条直线上， 且RtΔGEF ≌ RtΔEBD，
∴ ∠EGF = ∠BED，
∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°，
∴ ∠BED + ∠GEF = 90°，
∴ ∠BEG =180°―90°= 90°
又∵ AB = BE = EG = GA = c，
∴ ABEG是一个边长为c的正方形。
∴ ∠ABC + ∠CBE = 90°
∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD，
∴ ∠ABC = ∠EBD.
∴ ∠EBD + ∠CBE = 90° 即 ∠CBD= 90°
又∵ ∠BDE = 90°，∠BCP = 90°， BC = BD = a.
∴ BDPC是一个边长为a的正方形。
同理，HPFG是一个边长为b的正方形. 设多边形GHCBE的面积为S，则 作两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a） ，做一个边长为c的正方形。斜边长为c. 再把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C三点在一条直线上. 过点Q作QP∥BC，交AC于点P. 过点B作BM⊥PQ，垂足为M；再过点 F作FN⊥PQ，垂足为N.
∵ ∠BCA = 90°，QP∥BC，
∴ ∠MPC = 90°，
∵ BM⊥PQ，
∴ ∠BMP = 90°，
∴ BCPM是一个矩形，即∠MBC = 90°。
∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90°， ∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90°，
∴ ∠，
又∵ ∠BMP = 90°，∠BCA = 90°，BQ = BA = c，
∴ RtΔBMQ ≌ RtΔBCA. 同理可证RtΔQNF ≌ RtΔAEF.即 作两个全等的直角三角形，同证法2，再作一个边长为c的正方形。把它们拼成如图所示的多边形. 分别以CF，AE为边长做正方形FCJI和AEIG，
∵EF=DF-DE=b-a，EI=b，
∴FI=a，
∴G,I,J在同一直线上，
∵CJ=CF=a，CB=CD=c， ∠CJB = ∠CFD = 90°，
∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ， 同理，RtΔABG ≌ RtΔADE，
∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ≌ RtΔABG ≌ RtΔADE
∴∠ABG = ∠BCJ，
∵∠BCJ +∠CBJ= 90°，
∴∠ABG +∠CBJ= 90°，
∵∠ABC= 90°，
∴G,B,I,J在同一直线上， 。 作三个边长分别为a、b、c的三角形，把它们拼成如图所示形状，使H、C、B三点在一条直线上，连结 BF、CD. 过C作CL⊥DE， 交AB于点M，交DE于点L.
∵ AF = AC，AB = AD， ∠FAB = ∠GAD，
∴ ΔFAB ≌ ΔGAD，
∵ ΔFAB的面积等于， ΔGAD的面积等于矩形ADLM 的面积的一半，
∴ 矩形ADLM的面积 =. 同理可证，矩形MLEB的面积 =.
∵ 正方形ADEB的面积 = 矩形ADLM的面积 + 矩形MLEB的面积
∴ 即 《几何原本》中的证明 在欧几里得的《几何原本》一书中提出勾股定理由以下证明后可成立。设△ABC为一直角三角形，其中A为直角。从A点划一直线至对边，使其垂直于对边上的正方形。此线把对边上的正方形一分为二，其面积分别与其余两个正方形相等。在正式的证明中，我们需要四个辅助定理如下：如果两个三角形有两组对应边和这两组边所夹的角相等，则两三角形全等。（SAS定理） 三角形面积是任一同底同高之平行四边形面积的一半。任意一个正方形的面积等于其二边长的乘积。任意一个四方形的面积等于其二边长的乘积（据辅助定理3）。证明的概念为：把上方的两个正方形转换成两个同等面积的平行四边形，再旋转并转换成下方的两个同等面积的长方形。其证明如下：设△ABC为一直角三角形，其直角为CAB。其边为BC、AB、和CA，依序绘成四方形CBDE、BAGF和ACIH。画出过点A之BD、CE的平行线。此线将分别与BC和DE直角相交于K、L。分别连接CF、AD，形成两个三角形BCF、BDA。∠CAB和∠BAG都是直角，因此C、A 和 G 都是线性对应的，同理可证B、A和H。∠CBD和∠FBA皆为直角，所以∠ABD等于∠FBC。因为 AB 和 BD 分别等于 FB 和 BC，所以△ABD 必须相等于△FBC。因为 A 与 K 和 L是线性对应的，所以四方形 BDLK 必须二倍面积于△ABD。因为C、A和G有共同线性，所以正方形BAGF必须二倍面积于△FBC。因此四边形 BDLK 必须有相同的面积 BAGF = AB&sup2；。同理可证，四边形 CKLE 必须有相同的面积 ACIH = AC2；。把这两个结果相加， AB2;+ AC2;; = BD×BK + KL×KC。由于BD=KL，BD×BK + KL×KC = BD(BK + KC) = BD×BC 由于CBDE是个正方形，因此AB2;+ AC2;= BC2；。此证明是于欧几里得《几何原本》一书第1.47节所提出的
证法6（欧几里得（Euclid）射影定理证法）
如图1，Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜边AC上的高 通过证明三角形相似则有射影定理如下：
⑴（BD）2;=AD·DC，
⑵（AB）2;=AD·AC ，
⑶（BC）2;=CD·AC。由公式⑵+⑶得：（AB）2;+（BC）2;=AD·AC+CD·AC =（AD+CD）·AC=（AC）2；， 图1即 （AB）2;+（BC）2;=（AC）2，这就是勾股定理的结论。 图1 在这幅“勾股圆方图”中，以弦为边长得到正方形ABDE是由4个相等的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成的。每个直角三角形的面积为ab/2；中间懂得小正方形边长为b-a，则面积为（b-a）2。于是便可得如下的式子：4×（ab/2）+（b-a）2;=c2； 化简后便可得：a2;+b2;=c2; 亦即：c=(a2;+b2;)1/2 勾股定理的别名 勾股定理，是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”，而且在高等数学和其他学科中也有着极为广泛的应用。正因为这样，世界上几个文明古国都已发现并且进行了广泛深入的研究，因此有许多名称。中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一。中国古代数学家称直角三角形为勾股形，较短的直角边称为勾，另一直角边称为股，斜边称为弦，所以勾股定理也称为勾股弦定理。在公元前1000多年，据记载，商高（约公元前1120年）答周公曰“故折矩，以为句广三，股修四，径隅五。既方之，外半其一矩，环而共盘，得成三四五。两矩共长二十有五，是谓积矩。”因此，勾股定理在中国又称“商高定理”。在公元前7至6世纪一中国学者陈子，曾经给出过任意直角三角形的三边关系即“以日下为勾，日高为股，勾、股各乘并开方除之得邪至日。在法国和比利时，勾股定理又叫“驴桥定理”。还有的国家称勾股定理为“平方定理”。在陈子后一二百年，希腊的着名数学家毕达哥拉斯发现了这个定理，因此世界上许多国家都称勾股定理为“毕达哥拉斯”定理。为了庆祝这一定理的发现，毕达哥拉斯学派杀了一百头牛酬谢供奉神灵，因此这个定理又有人叫做“百牛定理”． 前任美国第二十届总统伽菲尔德证明了勾股定理（1876年4月1日）。
1 周髀算经， 文物出版社，1980年3月， 据宋代嘉定六年本影印，1-5页。
2. 陈良佐：周髀算经勾股定理的证明与出入相补原理的关系。刊于《汉学研究》， 1989年第7卷第1期，255-281页。
3. 李国伟： 论“周髀算经”“商高曰数之法出于圆方”章。刊于《第二届科学史研讨会汇刊》， 台湾，1991年7月， 227-234页。
4. 李继闵：商高定理辨证。刊于《自然科学史研究》，1993年第12卷第1期，29-41页。
5. 曲安京： 商高、赵爽与刘徽关于勾股定理的证明。刊于《数学传播》20卷， 台湾，1996年9月第3期， 20-27页 达芬奇的证法
证明：第一张中多边形ABCDEF的面积S1=S正方形ABOF+S正方形CDEO+2S△BCO=OF2+OE2+OF·OE 第三张中多边形A'B'C'D'E'F'的面积S2=S正方形B'C'E'F'+2△C'D'E'=E'F'2+C'D'·D'E' 因为S1=S2
所以OF2+OE2+OF·OE=E'F'2+C'D'·D'E'
又因为C'D'=CD=OE,D'E'=AF=OF
所以OF2+OE2=E'F'2
因为E'F'=EF
所以OF2+OE2=EF2 勾股定理得证。 从这张图可以得到一个矩形和三个三角形，推导公式如下：
b (a + b)= 1/2c2; + ab + 1/2(b + a)(b - a) 矩形面积 =（中间三角形）+（下方）2个直角三角形+（上方）1个直 角三角形。（简化） 2ab + 2b2;= c2; + b2;- a2;+ 2ab 2b2; - b2;+ a2;= c2; a2; + b2;= c2;
注：根据加菲尔德图进一步得到的图形。

㈤ 勾股定理的逆定理

勾股定理的逆定理是判断三角形为锐角或直角的一个简单的方法，其中c为最长边：
如果a×a＋b×b＝c×c，则△ABC是直角三角形。
如果a×a＋b×b＞c×c，则△ABC是锐角三角形。
如果a×a＋b×b＜c×c，则△ABC是钝角三角形。

勾股定理逆定理的证明：
1、反证法
令角C不是直角，
则a^2+b^2=c^2不成立，
所以矛盾，
所以角C是直角。
2、勾股定理逆定理
如果三角形的三边长a、b、c满足条件a^2+b^2=c^2，
那么C边所对的角是直角。
3、三角函数Cos90
如图:已知AB^2+BC^2=AC^2，
而任一三角形的边之间均满足，
AC^2=AB^2+BC^2-2AB*BA*COSB ，
比较两式得 ，
COSB=0 ，
B=90度。

㈥ 勾股定理逆定理证明过程是什么

勾股定理逆定理是指如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形。最长边所对的角为直角。

勾股定理的逆定理的证明方法：

已知在△ABC中，设AB=c，AC=b，BC=a，且a2+b2=c2。求证∠ACB=90°

证明：在△ABC内部作一个∠HCB=∠A，使H在AB上。

∵∠B=∠B,∠A=∠HCB

∴△ABC∽△CBH(有两个角对应相等的两个三角形相似)

∴AB/BC=BC/BH，即BH=a2/c

而AH=AB-BH=c-a2/c=(c2-a2)/c=b2/c

∴AH/AC=(b2/c)/b=b/c=AC/AB

∵∠A=∠A

∴△ACH∽△ABC(两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似)

∴△ACH∽△CBH(相似三角形的传递性)

∴∠AHC=∠CHB

∵∠AHC+∠CHB=∠AHB=180°

∴∠AHC=∠CHB=90°

∴∠ACB=∠AHC=90°

勾股定理证明方法：

做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，再做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们像下图那样拼成两个正方形。

发现四个直角三角形和一个边长为a的正方形和一个边长为b的正方形，刚好可以组成边长为(a+b)的正方形;四个直角三角形和一个边长为c的正方形也刚好凑成边长为(a+b)的正方形。所以可以看出以上两个大正方形面积相等。可以列出公式为：a2+b2+4×1/2ab=c2++4×1/2ab，计算可得：a2+b2=c2。