解圆的参数方程常用方法

A. 圆的参数方程

圆的标准方程是(x - a) ² + (y - b) ² = r ²，其中点(a,b)是圆心，r是半径。

圆的定义：

第一定义：

在同一平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆（circle）。这个定点叫做圆的圆心。

圆形一周的长度，就是圆的周长。能够重合的两个圆叫等圆，等圆有无数条对称轴。

圆是一个正n边形（n为无限大的正整数），边长无限接近0但永远无法等于0。

第二定义：

平面内一动点到两定点的距离之比（或距离的平方之比），等于一个不为1的常数，则此动点的轨迹是圆。

证明：点坐标为(x1,y1)与(x2,y2)，动点为(x,y)，距离比为k，由两点距离公式。满足方程(x-x1)2+ (y-y1)2= k2×[ (x-x2)2+ (y-y2)2] 当k不为1时，整理得到一个圆的方程。

几何法：假设定点为A，B，动点为P，满足|PA|/|PB| = k（k≠1），过P点作角APB的内、外角平分线，交AB与AB的延长线于C，D两点由角平分线性质，角CPD=90°。由角平分线定理：PA/PB = AC/BC = AD/BD =k，注意到唯一k确定了C和D的位置，C在线段AB内，D在AB延长线上，对于所有的P，P在以CD为直径的圆上。

B. 圆参数方程的求解

参数方程是多种多样的，基于圆的方程x^2+y^2=1,例如我设x=t,就可以得到参数方程（t, 正负根号（1-t^2））,因此对于P（t）只需要令x=( 1-t^2 ) / ( 1+t^2 ),y=( 2t / (1+t^2)),只要他们符合x^2+y^2=1就可以建立一个参数方程了。建立不同的参数方程是解决具体函数问题的需要，如果建立得好的话可以简化方程求解的过程，而且楼主可以发现通过建立参数方程已经可以将未知量减少为一个，因为参数方程已经将x^2+y^2=1包含在变量表达式的关系里面了，这样同样也减少了要解的方程数。

C. 怎样将圆的直角坐标方程转化为参数方程

首先圆的方程是

(x-a)^2+(y-b)^2=r^2

把r^2除过去

(x-a)^2/r^2+(y-b)^2/r^2=1

两个数的平方和等于1,所以可以设(x-a)/r=sin&

(y-b)/r=cos&

整理得到 x=a+rsin&

y=b+rcos&

这就是圆的参数方程,参数是&,&是半径与x轴的夹角。

(3)解圆的参数方程常用方法扩展阅读

举例：

如果直线的倾角是θ，且过点P(x0,y0)

其参数方程是:
{x=(cosθ)t+x0
{y=(sinθ)t+y0

特殊:如果直线的斜率是k，且过点P(x0,y0)
其参数方程是:
{x=t+x0
{y=kt+y0

是y=五分之二倍根号五t

x=五分之根号五t-1/2

方法很多我个人喜欢做法是：

先变形y=2(x+1/2)

就设y=at

(x+1/2)=(1/2)bt

再根据定义 t前面的系数分别是直线的倾斜角的正弦和余弦。

a^2+b^2=1 与a/b=2 联立。

解出来a=五分之二倍根号五 b=五分之根号五。

D. 求圆方程有哪几种方法

直接法
由题设所给的动点满足的几何条件列出等式，再把坐标代入并化简，得到所求轨迹方程，这种方法叫做直接法。
例1
已知动点p到定点f（1，0）和直线x=3的距离之和等于4，求点p的轨迹方程。
解：设点p的坐标为（x，y），则由题意可得
。
（1）当x≤3时，方程变为
，化简得
。
（2）当x>3时，方程变为
，化简得
。
故所求的点p的轨迹方程是
或
。
二、定义法
由题设所给的动点满足的几何条件，经过化简变形，可以看出动点满足二次曲线的定义，进而求轨迹方程，这种方法叫做定义法。
例2
已知圆
的圆心为m1，圆
的圆心为m2，一动圆与这两个圆外切，求动圆圆心p的轨迹方程。
解：设动圆的半径为r，由两圆外切的条件可得：
，
。
。
∴动圆圆心p的轨迹是以m1、m2为焦点的双曲线的右支，c=4，a=2，b2=12。
故所求轨迹方程为
。
三、待定系数法
由题意可知曲线类型，将方程设成该曲线方程的一般形式，利用题设所给条件求得所需的待定系数，进而求得轨迹方程，这种方法叫做待定系数法。
例3
已知双曲线中心在原点且一个焦点为f（
，0），直线y=x－1与其相交于m、n两点，mn中点的横坐标为
，求此双曲线方程。
解：设双曲线方程为
。将y=x－1代入方程整理得
。
由韦达定理得
。又有
，联立方程组，解得
。
∴此双曲线的方程为
。
四、参数法
选取适当的参数，分别用参数表示动点坐标，得到动点轨迹的参数方程，再消去参数，从而得到动点轨迹的普通方程，这种方法叫做参数法。
例4
过原点作直线l和抛物线
交于a、b两点，求线段ab的中点m的轨迹方程。
解：由题意分析知直线l的斜率一定存在，设直线l的方程y=kx。把它代入抛物线方程
，得
。因为直线和抛物线相交，所以△>0，解得
。
设a（
），b（
），m（x，y），由韦达定理得
。
由
消去k得
。
又
，所以
。
∴点m的轨迹方程为
我只有这四种，应付高中数学足够了

E. 计算椭圆／圆的参数方程 ，一般需要的公式有那些就是参数方程与普通方程互化

圆的参数方程：x=a+r cosθ；y=b+r sinθ（θ∈ [0，2π) ） ，(a,b) 为圆心坐标，r 为圆半径，θ 为参数，(x,y) 为经过点的坐标。

椭圆的参数方程：x=a cosθ；y=b sinθ（θ∈[0，2π）） ，a为长半轴长，b为短半轴长，θ为参数。

当焦点在x轴时，椭圆的标准方程是：x^2/a^2+y^2/b^2=1，(a>b>0)；

当焦点在y轴时，椭圆的标准方程是：y^2/a^2+x^2/b^2=1，(a>b>0)，其中a^2-c^2=b^2。

圆的标准方程：在平面直角坐标系中，以点O（a，b）为圆心，以r为半径的圆的标准方程是（x-a）2+（y-b）2=r2。特别地，以原点为圆心，半径为r（r>0）的圆的标准方程为x2+y2=r2。

为半径的圆；

（2）当D2+E2-4F=0时，方程表示一个点（-D/2，-E/2）；

（3）当D2+E2-4F<0时，方程不表示任何图形。

F. 如何将圆的方程化成参数方程

1、圆的参数方程为：

x=a+r cosθ

y=b+r sinθ

式中：（a，b）为圆心坐标，r为圆半径，θ是半径与x轴的夹角；

2、转化方法

圆的标准方程为：(x-a)^2+(y-b)^2=r^2

把r^2除过去，得到：(x-a)^2/r^2+(y-b)^2/r^2=1

两个数的平方和等于1

所以可以设：

(x-a)/r=sinθ

(y-b)/r=cosθ

整理得到 x=a+rsinθ；y=b+cosθ

(6)解圆的参数方程常用方法扩展阅读：

（1）曲线的极坐标参数方程ρ=f(t)，θ=g(t)；

（2）圆的参数方程 x=a+r cosθ y=b+r sinθ（θ∈ [0，2π) ） (a,b) 为圆心坐标，r 为圆半径，θ 为参数，(x,y) 为经过点的坐标；

（3）椭圆的参数方程 x=a cosθ y=b sinθ（θ∈[0，2π）） a为长半轴长 b为短半轴长 θ为参数

（4）双曲线的参数方程 x=a secθ （正割） y=b tanθ a为实半轴长 b为虚半轴长 θ为参数；

（5）抛物线的参数方程 x=2pt^2 y=2pt p表示焦点到准线的距离 t为参数；

（6）直线的参数方程 x=x'+tcosa y=y'+tsina,x',y'和a表示直线经过（x',y'），且倾斜角为a,t为参数；或者x=x'+ut， y=y'+vt (t∈R)x',y'直线经过定点（x',y'),u，v表示直线的方向向量d=(u,v)；

（7）圆的渐开线x=r(cosφ+φsinφ） y=r(sinφ-φcosφ）（φ∈[0,2π）） r为基圆的半径 φ为参数；

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