‘壹’ 求函数值域的方法有几种（至少十种）
函数值域的求法： ①配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；常转化为型如： 的形式； ②逆求法（反求法）：通过反解，用 来表示 ，再由 的取值范围，通过解不等式，得出 的取值范围；常用来解，型如： ； ④换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想； ⑤三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域； ⑥基本不等式法：转化成型如： ，利用平均值不等式公式来求值域； ⑦单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域。 ⑧数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域。
‘贰’ 求函数值域的方法总结
其没有固定的方法和模式。但常用方法有：
（1）直接法：从变量x的范围出发，推出y=f（x）的取值范围；
（2）配方法：配方法是求“二次函数类”值域的基本方法，形如F（x）=af^（x） bf（x） c的函数的值域问题，均可使用配方法
（3）反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系，通过反函数的定义域，得到原函数的值域。形如y=cx d/ax b（a≠0）的函数均可使用反函数法。此外，这种类型的函数值域也可使用“分离常数法”求解。
（4）换元法：运用代数或三角代换，将所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域。形如y=ax b±根号cx d（a、b、c、d均为常数，且a≠0）的函数常用此法求解。举些例子吧！
（1）y=4-根号3 2x-x^
此题就得用配方法:由3 2x-x^≥0,得-1≤x≤3.
∵y=4-根号-1(x-1)^ 4,∴当x=1时,ymin=4-2=2.
当x=-1或3时,ymax=4.
∴函数值域为[2,4]
(2)y=2x 根号1-2x
此题用换元法:
令t=根号1-2x(t≥0),则x=1-t^/2
∵y=-t^ t 1=-(t-1/2)^ 5/4,
∵当t=1/2即x=3/8时,ymax=5/4,无最小值.
∴函数值域为(-∞,5/4)
(3)y=1-x/2x 5
用分离常数法
∵y=-1/2 7/2/2x 5,
7/2/2x 5≠0,
∴y≠-1/2
‘叁’ 求函数值域的方法要详细点最好有例题
1）直接法——从自变量x的范围出发，推出y=f（x）的取值范围。
（2）配方法——配方法是求“二次函数类”值域的基本方法，形如F(X)=af�0�5（x）+bf（x）+c的函数的值域问题，均可使用配方法。
（3）反函数法——利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系，通过求反函数的定义域，得到原函数的值域。形如y=（cx+d）/（ax+b）
（a ≠0）的函数的值域，均可使用反函数法。此外，这种类形的函数值域也可使用“分离常数法”求解。
（4）判别式法——把函数转化成关于二次方程F（x,y）=0,通过方程有实数根，判别式△≥0，从而求得原函数的值域，形如
y=（a1x�0�5+b1x+c1）/（a2x�0�5+b2x+c2） (a1,a2不同时为0)的函数的值域常用此法求解。
注意事项：① 函数的定义域应为R;②分子、分母没有公因式。
（5）换元法——运用代数或三角代换，将所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域，形如y=ax+b± √(cx+d) （a、b、c、d均为常数，且a ≠0）的函数常用此法求解。
（6）不等式法——利用基本不等式：a+b≥2√ab（a、b ∈R+（正实数））求函数的值域，用不等式法求值域时，要注意均值不等式的使用条件“一正，二定，三相等”。
（7）单调性法——确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性求出函数的值域。形如y=（x�0�5+5）i/（√(x�0�5+4)）的函数的值域均可使用此法求解。
（8）求导法——当一个函数在定义域上可导时，可据其导数求最值。
（9）数形结合法——当一个函数图像可作时，通过图像可求其值域和最值：或利用函数所表示的几何意义，借助于几何方法求出函数的值域
‘肆’ 求函数值域的方法
1，函数在区间【a，b】单调递增，则可知其在b取最大值，在a取最小值：
f（x）=x2；在区间【1，2】单调递增，则其最大值是f（2）=4；最小值是f（1
）=1；
2，配方法就是把要求其值域的函数通过配方变为我们一眼就能看出其值域的方法；比如说：f（x）=x2+4x+3；区间【0，1】；我们把f（x）=x2+4x+3变为f（x）=（x+2)2-1；很容易知道（x+2)2在区间【0，1】的取值为【4，9】，则原函数值域为【3，8】，ok。{x2 表x的平方，（x+2)2表（x+2）的平方，没必要拘泥于格式吧}
3，分解常数法主要是针对有理分式，比如：y=(3x+1)/(2x-1),[2,3]; 可以把它变为y=3/2+(5/2)/(2x-1),也就变为反比例函数（当然经过了一定变换），其单调性是简单的啊。
4，换元实际上说白了就是，你想求人办件事，但直接找他不容易办，可是你又听说你XX跟他有交情，于是你就找到了XX，让他帮着办。you see？
例：y=ex/(ex-1),区间[1,2]，做变换t=ex；则原函数变为y=t/（t-1）,这就归结为上一种情况。{ex表指数函数}
5，不等式法也就是知道个大概的范围，所以我觉得没多大用处，上面几种也就行了，另外，还有什么判别式法等也很实用啊！OK！
‘伍’ 求函数的值域的方法
关于函数的值域（最值）的解决方法，有很多文章介绍了，如判别式法，实根分布法等，判别式法历来不能完全解决这个函数的值域（最值）问题，实根分布法比较复杂。我们应用函数的性质，可以完整解决分式函数的值域问题。
下面对和先讨论函数的性质。
性质1 若，函数在区间和区间是单调增函数；在区间 和区间是单调减函数。
性质1的证明从略。
性质2 若，函数在区间和区间上都是增函数。
性质2的证明从略。
例1 分别求函数在指定区间上的值域
（1） （2） （3）
解：（1）利用均值不等式，
，
当时，，
所以，函数的值域是。
（2）由（1）的解答过程，因为，所以均值不等式就失去了作用。我们可以用函数的单调性解决这个问题。
因为函数在区间上是增函数，当时，，所以，函数的值域是。
（3）把区间分割成两部分：和，由性质1知，函数在区间和上分别是减函数、增函数，
那么这个函数在两个区间上的值域分别是和，
所以函数在区间上的值域是。
例2 求下列函数的值域
（1） （2）
解：（1）用部分分式法，，就化归为例1（1）的情形。
（2）用换元法把分母上的式子转换为一个单项式。
设，则，代入函数得
,其中，当即时，函数取最小值。所以，原函数的值域为
例3 求函数的值域。
解：因为①
设其中，且，
那么，且
把 代入①式，得
如果
如果
当时，
从而
当时，且
从而或
所以，原函数的值域是
例4 求函数的值域。
解：
设代入原函数得
由于
所以
例5 求函数的值域。
解：
因为，函数是增函数，
原函数的值域是
‘陆’ 求函数值域的8种方法
观察法，公式法 ，配方法，判别式法，图像法，换元法，反函数法，利用函数的单调性，最值法
‘柒’ 求函数值域有什么好的方法或技巧
函数值域及求法函数的值域及其求法是近几年高考考查的重点内容之一.本节主要帮助考生灵活掌握求值域的各种方法，并会用函数的值域解决实际应用问题.●难点磁场(★★★★★)设m是实数，记M={m|m>1},f(x)=log3(x2－4mx+4m2+m+ ).(1)证明：当m∈M时，f(x)对所有实数都有意义；反之，若f(x)对所有实数x都有意义，则m∈M.(2)当m∈M时，求函数f(x)的最小值.(3)求证：对每个m∈M,函数f(x)的最小值都不小于1.●案例探究［例1］设计一幅宣传画，要求画面面积为4840 cm2,画面的宽与高的比为λ(λ<1),画面的上、下各留8 cm的空白，左右各留5 cm空白，怎样确定画面的高与宽尺寸，才能使宣传画所用纸张面积最小？如果要求λ∈［ ］，那么λ为何值时，能使宣传画所用纸张面积最小？命题意图：本题主要考查建立函数关系式和求函数最小值问题，同时考查运用所学知识解决实际问题的能力，属★★★★★级题目.知识依托：主要依据函数概念、奇偶性和最小值等基础知识.错解分析：证明S(λ)在区间［ ］上的单调性容易出错，其次不易把应用问题转化为函数的最值问题来解决.技巧与方法：本题属于应用问题，关键是建立数学模型，并把问题转化为函数的最值问题来解决.解：设画面高为x cm,宽为λx cm,则λx2=4840,设纸张面积为S cm2,则S=(x+16)(λx+10)=λx2+(16λ+10)x+160,将x= 代入上式得：S=5000+44 (8 + ),当8 = ,即λ= <1)时S取得最小值.此时高：x= =88 cm,宽：λx= ×88=55 cm.如果λ∈［ ］可设 ≤λ1<λ2≤ ,则由S的表达式得：又 ≥ ,故8－ >0,∴S(λ1)－S(λ2)<0,∴S(λ)在区间［ ］内单调递增.�从而对于λ∈［ ］,当λ= 时，S(λ)取得最小值.答：画面高为88 cm,宽为55 cm时，所用纸张面积最小.如果要求λ∈［ ］,当λ= 时，所用纸张面积最小.［例2］已知函数f(x)= ,x∈［1,+∞ (1)当a= 时，求函数f(x)的最小值.(2)若对任意x∈［1,+∞ ,f(x)>0恒成立，试求实数a的取值范围.命题意图：本题主要考查函数的最小值以及单调性问题，着重于学生的综合分析能力以及运算能力，属★★★★级题目.知识依托：本题主要通过求f(x)的最值问题来求a的取值范围，体现了转化的思想与分类讨论的思想.错解分析：考生不易考虑把求a的取值范围的问题转化为函数的最值问题来解决.技巧与方法：解法一运用转化思想把f(x)>0转化为关于x的二次不等式；解法二运用分类讨论思想解得.(1)解：当a= 时，f(x)=x+ +2∵f(x)在区间［1，+∞ 上为增函数，∴f(x)在区间［1，+∞ 上的最小值为f(1)= .(2)解法一：在区间［1，+∞ 上，f(x)= >0恒成立 x2+2x+a>0恒成立.设y=x2+2x+a,x∈［1,+∞ ∵y=x2+2x+a=(x+1)2+a－1递增，∴当x=1时，ymin=3+a,当且仅当ymin=3+a>0时，函数f(x)>0恒成立，故a>－3.�解法二：f(x)=x+ +2,x∈［1,+∞ 当a≥0时，函数f(x)的值恒为正；当a<0时，函数f(x)递增，故当x=1时，f(x)min=3+a,当且仅当f(x)min=3+a>0时，函数f(x)>0恒成立，故a>－3.●锦囊妙计本难点所涉及的问题及解决的方法主要有：(1)求函数的值域此类问题主要利用求函数值域的常用方法：配方法、分离变量法、单调性法、图象法、换元法、不等式法等.无论用什么方法求函数的值域，都必须考虑函数的定义域.(2)函数的综合性题目此类问题主要考查函数值域、单调性、奇偶性、反函数等一些基本知识相结合的题目.此类问题要求考生具备较高的数学思维能力和综合分析能力以及较强的运算能力.在今后的命题趋势中综合性题型仍会成为热点和重点，并可以逐渐加强.(3)运用函数的值域解决实际问题此类问题关键是把实际问题转化为函数问题，从而利用所学知识去解决.此类题要求考生具有较强的分析能力和数学建模能力.●歼灭难点训练
‘捌’ 求函数值域的方法。
1：直接法：从自变量的范围出发，推出值域，也就是直接看咯。这个不用例题了吧？
2：分离常数法
例题：y=(1-x^2)/(1+x^2)
解，y=(1-x^2)/(1+x^2)
=2/(1+x^2)-1
∵1+x^2≥1，∴0＜2/（1+x^2)≤2
∴-1＜
y≤1
即y∈（-1，1】
3：配方法（或者说是最值法）
求出最大值还有最小值，那么值域不就出来了吗。
例题：y=x^2+2x+3
x∈【-1，2】
先配方，得y=(x+1)^2+1
∴ymin=(-1+1)^2+2=2
ymax=(2+1)^2+2=11
4:判别式法，运用方程思想，根据二次方程有实根求值域
不好意思，当初做笔记的时候忘记抄例题了，不过这种方法不是很常用。
5：换元法：适用于有根号的函数
例题：y=x-√（1-2x)
设√（1-2x)=t(t≥0)
∴x=(1-t^2)/2
∴y=(1-t^2)/2-t
=-t^2/2-t+1/2
=-1/2(t+1)^2+1
∵t≥0，∴y∈（-∝，1/2）
6：图像法，直接画图看值域
例题：y=|x+1|+√（x-2)^2
这是一个分段函数，你画出图后就可以一眼看出值域。
7：反函数法。求反函数的定义域，就是原函数的值域。
例题：y=(3x-1)/(3x-2)
先求反函数y=(2x-1)/(3x-3)
明显定义域为x≠1
所以原函数的值域为y≠1
‘玖’ 求函数值域与最值的常用方法
首先，确定函数的定义域。将定义域边界值代入函数求出函数值。然后，对函数进行一次求导，令其等于0.解得x值，分别将求得的x值代入函数求出函数值。前后2组函数值进行比较即可得到最大值和最小值。