圆中线段求差最佳方法

㈠ 在坐标系中如何求两条线段之差或之和的最大值及最小值

如图：

如果是在x轴上求一点P，使PA+PB最小；则方法是作B关于x轴的对称点B1,连接AB1交x轴于P或（作A关配盯于x轴的对称点A1,连接A1B交x轴于P），如果是在x轴上求一点P,使|PA－PB|最大；则方法是直线AB交x轴于P。

(1)圆中线段求差最佳方法扩展阅读：高蚂

有关线段差的最大值与线段和的最小值问题的主要应用原理是：戚卖埋

1、两点这间线段最短。

2、三角形的任意两边之和大于第三边（找和的最小值）。

3、三角形的任意两边之差小于第三边（找差的最大值）。

作图找点的关键：充分利用轴对称，找出对称点，然后，使三点在一条直线上。即利用线段的垂直平分线定理可以把两条线段、三条线段、四条线段搬在同一条直线上。证明此类问题，可任意另找一点，利用以上原理来证明。

㈡ 初中数学问题中问两线段之和之差最大最小问题解决思路

和最小：把直线同侧两点转化为异侧两吵埋点，方法是求两点中随便哪一点关于直线的堆成点。
利用“三角形两边之和大于第三边”原理升旅蚂。
当直线上的点位于某一点与另一点的连线与直线交点时，和最小。

差最大：把异侧两点化为同侧两点进行考察。镇颤

㈢ 初中数学求线段和差最值知识

初中阶段我们学过三种路径最值问题,一是两点之间线段最短;二是将军饮马问题;三是直线外一点与直线上一点的连线中,垂线段最短。

一、直接利用公理(定理)求最值

1、公理：两点直接线段最短

2、定理：三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边(由上面公理证明而得)

3、定理：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。(简称垂线段最短)

所有的线段和差问题都是直接利用或者转化为第1点或第3点来求最值，这是咱们思考这类问题的出发点，大家要死死记住。

二、结合图形三大变换求最值

1、应用平移变换、轴对称变换将线段和差转化为可以利用公理(定理)求最值(将军饮马问题)

2、应用旋转变换将线段和差转化为可以利用公理(定理)求最值(费马点问题)

【将军饮马问题】

【费马点问题】

三.例题

1.如图，A、B两个小集镇在河流CD的同侧，分别到河的距离为AC=10千米，BD=30千米，且CD=30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A、B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万，请你在河流CD上选择水厂的位置M，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少?

作点B关于直线CD的对称点B'，连接AB'，交CD于点M

则AM+BM = AM+B'M = AB'，水厂建在M点时，费用最小

如右图，在直角△AB'E中，

AE = AC+CE = 10+30 = 40

EB' = 30

所以：AB' = 50

总费用为：50×3 = 150万

2.如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC。已知AB=5，DE=1，BD=8，设CD=x.

(1)用含x的代数式表示AC+CE的长;

(2)请问点C满足什么条件时，AC+CE的值最小?

(3)根据(2)中的规律和结论，请构图求出代数式的最小值

3.两条公路OA、OB相交，在两条公路的中间有一个油库，设为点P，如在两条公路上各设置一个加油站，，请你设计一个方案，把两个加油站设在何处，可使运油车从油库出发，经过一个加油站，再到另一个加油站，最后回到油库所走的路程最短.

分析 这是一个实际问题，我们需要把它转化为数学问题，经过分析，我们知道此题是求运油车所走路程最短，OA与OB相交，点P在∠AOB内部，通常我们会想到轴对称，分别做点P关于直线OA和OB的对称点P1、P2 ，连结P1P2分别交OA、OB于C、D，C、D两点就是使运油车所走路程最短，而建加油站的地点，那么是不是最短的呢?我们可以用三角形的三边关系进行说明.

解：分别做点P关于直线OA和OB的对称点P1、P2，

连结P1P2分别交OA、OB于C、D，

则C、D就是建加油站的位置.

若取异于C、D两点的点，

则由三角形的三边关系，可知在C、D两点建加油站运油车所走的路程最短.

点评：在这里没有详细说明为什么在C、D两点建加油站运油车所走的路程最短，请同学们思考弄明白。

4.如图∠AOB = 45°，P是∠AOB内一点，PO = 10，Q、P分别是OA、OB上的动点，求△PQR周长的最小值.

分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连接P1P2，

交OA、OB于点Q，R，连接OP1，OP2，

则OP = OP1 = OP2 = 10

且∠P1OP2 = 90°

由勾股定理得P1P2 = 10

5.如图，等腰Rt△ABC的直角边长为2，E是斜边AB的中点，P是AC边上的一动点，则PB+PE的最小值为

即在AC上作一点P，使PB+PE最小

作点B关于AC的对称点B'，连接B'E，交AC于点P，则B'E = PB'+PE = PB+PE

B'E的长就是PB+PE的最小值

在直角△B'EF中，EF = 1，B'F =3

根据勾股定理，B'E =

6.等腰△ABC中，∠A = 20°，AB = AC = 20，M、N分别是AB、AC上的点，求BN+MN+MC的最小值

分别作点C、B关于AB、AC的对称点C’、B’，连接C’B’交AB、AC于点M、N，则BN+MN+MC= B’N+MN+MC’ = B’C’，BN+MN+MC的最小值就是B’C’的值

∵∠BAC’ =∠BAC，∠CAB’ =∠CAB

∴∠B’AC’ = 60°

∵AC’ = AC，AB’ = AB，AC = AB

∴AC’ = AB’

∴△AB’C’是等边三角形

∴B’C’ = 20

7.如图，在等边△ABC中，AB = 6，AD⊥BC，E是AC上的一点，M是AD上的一点，且AE = 2，求EM+EC的最小值