对号函数的正确使用方法

1. 高中数学：对号函数 来个详解！

一、函数的概念与表示
1、映射
（1）映射：设A、B是两个集合，如果按照某种映射法则f，对于集合A中的任一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，则这样的对应（包括集合A、B以及A到B的对应法则f）叫做集合A到集合B的映射，记作f：A→B。
注意点：（1）对映射定义的理解。（2）判断一个对应是映射的方法。一对多不是映射，多对一是映射

2、函数
构成函数概念的三要素 ①定义域②对应法则③值域
两个函数是同一个函数的条件：三要素有两个相同
二、函数的解析式与定义域
1、求函数定义域的主要依据：
（1）分式的分母不为零；
（2）偶次方根的被开方数不小于零，零取零次方没有意义；
（3）对数函数的真数必须大于零；
（4）指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1；
三、函数的值域
1求函数值域的方法
①直接法：从自变量x的范围出发，推出y=f(x)的取值范围，适合于简单的复合函数；
②换元法：利用换元法将函数转化为二次函数求值域，适合根式内外皆为一次式；
③判别式法：运用方程思想，依据二次方程有根，求出y的取值范围；适合分母为二次且 ∈R的分式；
④分离常数：适合分子分母皆为一次式（x有范围限制时要画图）；
⑤单调性法：利用函数的单调性求值域；
⑥图象法：二次函数必画草图求其值域；
⑦利用对号函数
⑧几何意义法：由数形结合，转化距离等求值域。主要是含绝对值函数
四．函数的奇偶性
1．定义: 设y=f(x)，x∈A，如果对于任意 ∈A，都有 ，则称y=f(x)为偶函数。
如果对于任意 ∈A，都有 ，则称y=f(x)为奇
函数。
2.性质：
①y=f(x)是偶函数 y=f(x)的图象关于 轴对称, y=f(x)是奇函数 y=f(x)的图象关于原点对称,
②若函数f(x)的定义域关于原点对称，则f(0)=0
③奇±奇=奇 偶±偶=偶 奇×奇=偶 偶×偶=偶 奇×偶=奇[两函数的定义域D1 ，D2，D1∩D2要关于原点对称]
3．奇偶性的判断
①看定义域是否关于原点对称 ②看f(x)与f(-x)的关系
五、函数的单调性
1、函数单调性的定义：

2 设 是定义在M上的函数，若f(x)与g(x)的单调性相反，则 在M上是减函数；若f(x)与g(x)的单调性相同，则 在M上是增函数。

2. 对勾函数的性质用法谁有

对勾函数，是一种类似于反比例函数的一般函数。所谓的对勾函数，是形如f(x)=ax+b/x的函数，是一种教材上没有但考试老喜欢考的函数，所以更加要注意和学习。一般的函数图像形似两个中心对称的对勾，故名。当x>0时，f(x)=ax+b/x有最小值（这里为了研究方便，规定a>0，b>0），也就是当x=sqrt(b/a)的时候（sqrt表示求二次方根）。同时它是奇函数，就可以推导出x<0时的性质。令k=sqrt(b/a)，那么，增区间：{x|x≤-k}∪{x|x≥k}；减区间：{x|-k≤x<0}∪{x|0<x≤k}。由单调区间可见，它的变化趋势是：在y轴左边，增减，在y轴右边，减增，是两个勾。

对勾函数实际是反比例函数的一个延伸，至于它是不是双曲线还众说不一。

3. 对号函数

对号函数又称“对勾函数”、“双勾函数”、“勾函数”
一、表达式：y=x+p/x
当函数表达式为y=qx+p/x,我们可以提取出 q ,使它成为y=q(x+p/qx),这样依旧可以由性质上去观察函数。
二、函数性质:
1.奇偶性：当p>0时,它的图象是分布在一、三象限的两条抛物线,都不能与X轴、Y轴相交,为奇函数。当p<0时,它的图象是分布在二、四象限的两条抛物线,都不能与X轴、Y轴相交,也为奇函数
2.单调性：对于第一象限的情况：以(√p,2√p)为顶点,在(0,√p]上是减函数,在[√p,+∞)上是增函数,开口向上；第三象限内以(-√p,-2√p)为顶点,在(－∞,-√p],是增函数,在[-√p,0)是减函数,开口向下。其中顶点的纵坐标是由对函数使用均值不等式后得到的。
值得注意的是：在第一象限的图像,当x越小,即越接近于0时,图像左侧就越趋向Y轴+∞,但不相交;当x越大,即越趋向+∞时,图像右侧就越接近直线y=x正半支,但不相交。同理,在第三象限的图像,当x越大,即越接近于0时,图像右侧就越趋向Y轴－∞,但不相交; 当x越小,即越趋向－∞时,图像左侧就越接近直线y=x负半支,但不相交。即渐近线有Y轴,和直线y=x。
3.最值：最值的求法一是利用函数的单调性,二是均值不等式,三是特殊的单调性如求函数Y=(X²+5)/√(X²+4)的最值。实际上用的就是单调性。

4. 对号函数怎么用谢谢！

利用对号函数的图象及均值不等式，当x>0时，（当且仅当即时取等号），由此可得函数（a>0,b>0,x∈R+）的性质: 当时，函数（a>0,b>0,x∈R+）有最小值，特别地，当a=b=1时函数有最小值2。函数（a>0,b>0）在区间（0，）上是减函数，在区间（，+∞）上是增函数。 因为函数（a>0,b>0）是奇函数，所以可得函数（a>0,b>0,x∈R-）的性质： 当时，函数（a>0,b>0,x∈R-）有最大值-，特别地，当a=b=1时函数有最大值-2。函数（a>0,b>0）在区间（-∞，-）上是增函数，在区间（-，0）上是减函数。 利用对号函数以上性质，在解某些数学题时很简便。 补充 ： 耐克函数 顶点坐标公式 ：( ｜√(b/a) ｜,｜2√ab ｜) , 象限确定符号 。

5. 什么是对勾函数怎么用对勾函数解答均值不等式不能解决的问题

1.概念：对勾函数的一般形式为f(x)=x+a²/x(a>0).

2.奇偶性与单调性：容易得出，对勾函数是奇函数。

对勾函数的单调性可由求导的方法或直接利用定义判断得到，它有四个单调区间。

在(-∞，-a]和[a，+∞)上是增函数；在[-a，0)和(0，a]上是减函数。

3.图像：①由于是奇函数，所以图像关于原点对称，再根据单调性，可以得到函数的图像。

②对勾函数的图像有两个顶点，它们关于原点对称，分别是A(a，2a)和B(-a，-2a)。

③对勾函数的图像有两条渐近线，分别是y轴和直线y=x，对勾函数的图像夹在渐近线之间，形状两个对称的“勾”。

4.解决均值不等式不能直接解决的问题举例：

例：求函数f(x)=(x²+5)/√(x²+4)的最小值。注：√(x²+4)表示根号下(x²+4)

①错解：(x²+5)/√(x²+4)=(x²+4+1)/√(x²+4)

=√(x²+4)+1/√(x²+4)

≥2√(x²+4)•1/√(x²+4)]=2

所以f(x)的最小值为2。

②错因分析：由于√(x²+4)的最小值是2，所以它不可能等于1/√(x²+4)，上面的不等式不能取“=”。直接用公式肯定是不行的。

③对勾函数的应用

令t=√(x²+4)，t≥2，则t²=x²+4，

g(t)=f(x)=(x²+5)/√(x²+4)=(t²+1)/t=t+1/t，t≥2

由于f(x)=g(t)=t+1/t在[2，+∞)上是增函数注：实际上一个增区间是[1，+∞）

从而，当t=2时，有最小值，为5/2.

6. 对号函数是什么

对号函数就是形如y=ax+b/x（a、b不等于0）的函数，有如下特点：

1.对号函数是双曲线旋转得到的，所以也有渐近线、焦点、顶点等等

2.对号函数是永远是奇函数，关于原点呈中心对称

3.对号函数的两条渐进线永远是y轴和y=ax

4.当a、b>0时，图象分布在第一、三象限两条渐近线的锐角之间部分，由于其对称性，只讨论第一象限中的情形。利用重要不等式可知最小值是2根号ab，在x=根号下b/a的时候取得，所以在（0，根号下b/a）上单调递减，在（根号下b/a，正无穷）上单调递增

5.当a>0,b<0时，图象分布在四个象限、两条渐近线的钝角之间部分，且两条分支都是单调递增的，无极值

6.a、b其他情况可以由4、5变换得到

总之，作对号函数的图象是非常容易的，记住它是双曲线，那么作出渐近线，再找一个特殊点，就可以把整个图象作出来。

至于对号函数的单调性如何判断，可以用定义法证明，也可以利用导数判断正负号，后者更简单

7. 对勾函数窍门

f(x)=x+1/x
首先你要知道他的定义域是x不等于0

当x>0,
由均值不等式有：
f(x)=x+1/x>=2根号（x*1/x)=2
当x=1/x取等
x=1,有最小值是：2，没有最大值。

当x<0,-x>0
f(x)=-(-x-1/x)
<=-2
当－x=-1/x取等。
x=-1,有最大值，没有最小值。

值域是：（负无穷，0）并（0，正无穷）
－－－－－－－－－－－－－－
重点（窍门）：

其实对勾函数的一般形式是：
f(x)=x+k/x(k>0)
定义域是:{x|x不等于0}
值域是：{y|y不等于0}
当x>0,有x=根号k,有最小值是2根号k
当x<0,有x=-根号k,有最大值是：－2根号k
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平时要记住！

8. 如何用对勾函数解题

其实对勾函数的一般形式是：f(x)=x+a/x(a0)定义域是:{x|x不等于0}值域是：{y|y∈(-∞,-2根号a)∪(2根号a,+∞)}当x0,有x=根号a,有最小值是2根号a当x<0,有x=-根号a,有最大值是：－2根号a对钩函数的解析式为y=x+a/x(其中a0),它的单调性讨论如下：设x1<x2,则f(x1)-f(x2)=x1+a/x1-(x2+a/x2)=(x1-x2)+a(x2-x1)/(x1x2)=(x1-x2)(x1x2-a)/(x1x2)下面分情况讨论(1)当x1<x2<-根号a时，x1-x2<0,x1x2-a0,x1x20,所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2)，所以函数在(-∞,-根号a)上是增函数(2)当-根号a<x1<x2<0时，x1-x2<0,x1x2-a<0,x1x20,所以f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2)，所以函数在(-根号a,0)上是减函数(3)当0<x1<x2<根号a时，x1-x2<0,x1x2-a<0,x1x20,所以f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2)，所以函数在(0，根号a)上是减函数

9. 对勾函数是什么样的怎么求最值

对勾函数的图像如下图：

对勾函数是一种类似于反比例函数的一般双曲函数，是形如f(x)=ax+b/x（a>0,b>0）的函数。

由图像得名，又被称为“双勾函数”、“勾函数”、"对号函数"、“双飞燕函数”等。因函数图像和耐克商标相似，也被形象称为“耐克函数”或“耐克曲线”。

当x>0，有x=√b/√a，有最小值是2√ab

当x<0，有x=-√b/√a，有最大值是：－2√ab

(9)对号函数的正确使用方法扩展阅读：

f(x)=ax+b/x(a>0) 在高中文科数学中a多半仅为1，b值不定，理科数学变化更为复杂。

定义域为（-∞，0）∪（0,+∞）

值域为（-∞，-2√ab]∪[2√ab,+∞）

对勾函数的图像是分别以y轴和y=ax为渐近线的两支曲线，且图像上任意一点到两条渐近线的距离之积恰为渐近线夹角(0-180°)的正弦值与|b|的乘积。

注：对勾函数的图像是双曲线。实际上该图像是轴对称的，并可以通过双曲线的标准方程通过旋转角度得到。

10. 求亲给我讲解 对号函数

对号函数双曲线的一种
形如y=ax+
(b/x)（a*b＞0)的函数
特点如下：
1.对号函数是双曲线旋转得到的，所以也有渐近线、焦点、顶点等等
2.对号函数永远是奇函数，关于原点呈中心对称
3.对号函数的两条渐进线永远是y轴和y=ax
4.当a、b>0时，图像分布在第一、三象限两条渐近线的锐角之间部分，由于其对称性，只讨论第一象限中的情形。利用平均值不等式（a>0，b>0且ab的值为定值时，a+b≥2√ab）可知最小值是2根号ab，在x=根号下b/a的时候取得，所以在（0，根号下b/a）上单调递减，在（根号下b/a，正无穷）上单调递增
5.当a>0,b<0时，图像分布在四个象限、两条渐近线的钝角之间部分，且两条分支都是单调递增的，无极值
6.a、b其他情况可以由4、5变换得到
7.对号函数常用于研究函数的最值和恒成立问题
8.对号函数极值在ax=b/x时取得，同特点4，此时x=根号（b/a)。在ax=b/x时取得极值可用导数证明，设y(x)=ax+b/x，则y'(x)=(ax)'+(b*x^-1)'=a-b*x^-2=a-b/(x^2)，取y'(x)=0，则a-b/(x^2)=0，所以a=b/(x^2)，方程两边同时乘以x得ax=b/x，即在ax=b/x时对号函数取得极值。
详情请参考http://ke..com/view/1082255.htm