向量空间的正确方法_空间向量计算方法

❶ 向量空间怎样理解

维数相同的行向量或列向量组成的集合叫向量组V={ v1,v2,v3......vn}.
向量组中任意选两个向量(v1和v2)进行数乘(如kv1)和加法运算(v1+v2)后仍在向量组V内,则称向量组V是一个向量空间.
如:V={ (x,y) | x \in R, y \in R}是一个向量空间,它符合上面的描述.(\in是属于的意思,我打不出符号)
V={ (x,y,z) | x*x+y*y+z*z<=9}不是向量空间,他不符合上面的描述

❷ 向量的向量空间

研究向量空间一般会涉及一些额外结构。额外结构如下：
一个实数或复数向量空间加上长度概念。就是范数称为赋范向量空间。
一个实数或复数向量空间加上长度和角度的概念，称为内积空间。
一个向量空间加上拓扑学符合运算的（加法及标量乘法是连续映射）称为拓扑向量空间。
一个向量空间加上双线性算子（定义为向量乘法）是个域代数。一个向量空间V的一个非空子集合W在加法及标量乘法中表现密闭性，被称为V的线性子空间。给出一个向量集合B，那么包含它的最小子空间就称为它的扩张，记作span（B）。给出一个向量集合B，若它的扩张就是向量空间V，则称B为V的生成集。一个向量空间V最大的线性独立子集，称为这个空间的基。若V=0，唯一的基是空集。对非零向量空间 V，基是 V 最小的生成集。如果一个向量空间 V 拥有一个元素个数有限的生成集，那么就称V是一个有限维空间。向量空间的所有基拥有相同基数，称为该空间的维度。例如，实数向量空间：R0，R1，R2，R3。。。，R∞，。。。中，Rn 的维度就是n。空间内的每个向量都有唯一的方法表达成基中元素的线性组合。把基中元素排列，向量便可以坐标系统来呈现。
向量的中线公式
若P为线段AB的中点，O为平面内一点，则OP=1/2(OA+OB)

❸ 空间向量法的应用和特点最好举例子

空间向量作为新加入的内容，在处理空间问题中具有相当的优越性，比原来处理空间问题的方法更有灵活性。
如把立体几何中的线面关系问题及求角求距离问题转化为用向量解决，如何取向量或建立空间坐标系，找到所论证的平行垂直等关系，所求的角和距离用向量怎样来表达是问题的关键．
立体几何的计算和证明常常涉及到二大问题：一是位置关系，它主要包括线线垂直，线面垂直，线线平行，线面平行；二是度量问题，它主要包括点到线、点到面的距离，线线、线面所成角，面面所成角等。这里比较多的主要是用向量证明线线、线面垂直及计算线线角，而如何用向量证明线面平行，计算点到平面的距离、线面角及面面角的例题不多，起到一个抛砖引玉的作用。
以下用向量法求解的简单常识：
1、空间一点P位于平面MAB的充要条件是存在唯一的有序实数对x、y，使得或对空间一定点O有
2、对空间任一点O和不共线的三点A，B，C，若：（其中x＋y＋z=1），则四点P、A、B、C共面．
3、利用向量证a‖b，就是分别在a，b上取向量（k∈R）．
4、利用向量证在线a⊥b，就是分别在a，b上取向量．
5、利用向量求两直线a与b的夹角，就是分别在a，b上取，求：的问题．
6、利用向量求距离就是转化成求向量的模问题：．
7、利用坐标法研究线面关系或求角和距离，关键是建立正确的空间直角坐标系，正确表达已知点的坐标．

首先该图形能建坐标系
如果能建
则先要会求面的法向量
求面的法向量的方法是 1。尽量在土中找到垂直与面的向量
2。如果找不到，那么就设n=（x,y,z）
然后因为法向量垂直于面
所以n垂直于面内两相交直线
可列出两个方程
两个方程，三个未知数
然后根据计算方便
取z（或x或y）等于一个数
然后就求出面的一个法向量了

会求法向量后
1。二面角的求法就是求出两个面的法向量
可以求出两个法向量的夹角为两向量的数量积除以两向量模的乘积
如过在两面的同一边可以看到两向量的箭头或箭尾相交
那么二面角就是上面求的两法向量的夹角的补角
如果只能看到其中一个的箭头和另一个的箭尾相交
那么上面两向量的夹角就是所求

2。点到平面的距离就是求出该面的法向量
然后在平面上任取一点（除平面外那点在平面内的射影）
求出平面外那点和你所取的那点所构成的向量记为n1
点到平面的距离就是法向量与n1的数量积的绝对值除以法向量的模即得所求
例题：
一、空间中角的向量求法

空间中各种角的计算一直以来是立体几何教学中的重点也是难点，借助于向量的夹角公式可以很方便的避开寻找角的过程，而是通过对向量夹角的计算来实现。

夹角公式：设

则

现以近几年的高考题来分析这个公式在求解异面直线所成角及二角的平面角问题中的应用。

⒈异面直线所成角的计算问题

求异面直线所成角一般可以通过在异面直线上选取两个非零向量和，通过求这两个向量的夹角得出异面直线所成角

例1 （2006广东卷）如图5所示，AF、DE分别是⊙O、⊙O1的直径.AD与两圆所在的平面均垂直，AD＝8,BC是⊙O的直径，AB＝AC＝6，OE//AD.

⑴ 求直线BD与EF所成的角

解：以O为原点，BC、AF、OE所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系（如图所示），则O（0，0，0），A（0，，0），B（，0，0）,D（0，，8），E（0，0，8），F（0，，0）

所以，

设异面直线BD与EF所成角为，则

直线BD与EF所成的角为

方法小结：空间向量在解决异面直线所成角的计算时，通常要先建立空间直角坐标系，然后利用计算出两个向量的坐标在带入夹角公式中计算，特别注意的是由于向量夹角的范围是，而异面直线所成角的范围确是，所以一定要注意最后计算的结果应该取正值。

⒉关于二面角的二面角的计算

二面角的计算可以采用平面的法向量间的夹角来实现，进而转化为对平面法向量的求解。最后要注意法向量如果同向的话，其夹角就是二面角平面角的补角，异向的话就是二面角的平面角。

例2 在正三棱柱ABC-A1B1C1中，E∈BB1，截面A1EC⊥侧面AC1。若 AA1=A1B1，求平面A1EC与平面A1B1C1所成的二面角的度数α。

解：以A1为原点，构造空间直角坐标系，如图8，设△A1B1C1边长为1，则A1（0，0，0），B1（，，0），C1（0，1，0），A（0，0，1），B（，，1），显然是平面A1B1C1的法向量，

又AA1=A1B1，所以 ⊥ ，从而是平面A1EC的法向量， =（0，0，1）， =（0，1，－1），设此两法向量的夹角为θ，

则 cosθ= ，

从而 coa(π－θ)=cosα= ，

∴所求二面角的度数为α=arcos = 450

方法小结：借助平面的法向量求解二面角的平面角时，一定要注意判断法向量间的方向。

二、空间中距离的计算

借助向量求解距离主要有两种方法，通过距离公式或者向来能够的正投影。

⑴设，则

⑵如图，点A到平面a的距离等于a的斜线段AB在a的法向量上的正射影长，即：d＝A1B1＝；

⑶a、b为异面直线，，若bÌa，a∥a，为a的向量，A1、B1分别为a、b上两点在上的正射影，则a、b的距离d＝A1B1＝

例3 已知: 平面α，直线l上有两点A，B到平面α的距离分别为m，n，C为直线l上任意一点(不与A，B重合)，且AC∶CB=λ，求点C到平面α的距离。

分析：此题通过化归为平面几何问题，结合向量共线充要条件，使得问题的解决顺其自然，而无需死记坐标公式。

解: 以直线l在平面α的射影为x轴，以直线l与的交点O为原点建立直角坐标系，如图，设A(xA，m)，B(xB，n)，C(xC，yC)，设各点在上的射影分别为A1，B1，C1，

=（xC－xA，yC－m）， =(xB－xC，n－yC)。

已知AC∶CB=λ，且A、B、C三点共线，则向量 =±λ ，

即（xC－xA，yC－m）=±λ(xB－xC，n－yC)，

yC－m=±λ(n－yC)，

得 (取正号)，yC= (取负号)，

有两个结果是由于A，B或在平面同侧或在平面异侧，

当A、B同侧，C到平面距离为，异侧， yC= 。

(说明，此题通过化归为平面几何问题，结合向量共线充要条件，使得问题的解决顺其自然，而无需死记坐标公式。)

三．空间中的证明

用平面的法向量和直线的方向向量来证明空间几何问题，简单快捷。解题的关键是先确定与问题相关的平面及其法向量.如果图中的法向量没有直接给出，那么必须先创设法向量.

例4 四棱锥P-ABCD的底面是边长为a的正方形，PB⊥平面ABCD，E、F分别为PA、PC上的中点。

(1) 求证：四棱锥的高取任意值（不为0），平面PAD与平面PCD所成的二面角恒大于900；

(2) 当四棱锥的高为何值时，PD⊥平面EFB。

证明（1）：以B为原点，BC所在直线为x轴，BA所在直线为y轴，BP所在直线为z轴建立空间直角坐标系，如图。

设四棱锥高为h，则各点坐标为A（0，a，0），C（a，0，0），P（0，0，h）。过点B作BB1⊥AP交AP于点B1，则B1（0，y，z），（显然z≠0），

∵ ⊥平面ABCD，

∴平面PAD⊥平面PAB，平面PCD⊥平面PBC，

∴ =（0，－y，－z）是平面PAD的法向量，

同理可得平面PCD的法向量 =（－x，0，－z）,

设此两法向量夹角为θ，

则cosθ= ＞0 ，

从而所求二面角的余弦值 cos(π－θ)＜0。

∴平面PAD与平面PCD所成的二面角恒大于900 。

解（2）：E(0，， )，F( ，0， )，D(a，a，0)，

若 ⊥平面EFB，则 · =(a，a，－h)·(0，－，－ )=0，

即－ + =0 ，

化简得 a=h，∴当h=a时，PD⊥平面EFB。

❹ 空间向量的学习方法

如果确定是用空间向量的话，
你可以先建立空间直角坐标系，然后把所有需要的点的坐标写出。结合问题，看看是求什么

把向量的坐标写出来，用坐标可以求夹角、距离、长度等等
其实用空间向量是最容易的，只要计算不出错就行了。
不用太多的思考。

用的公式可以是：
cos&=(a*b)/(|a|*|b|)

用上面的的角度，再加上一条边的长度可以求距离。。。。。

❺ 空间向量的定义与运算知识要点

空间向量（space vector）是空间中具有大小和方向的量。向量的大小叫做向量的长度或模（molus)。规定，长度为0的向量叫做零向量，记为 0. 模为1的向量称为单位向量。与向量 a长度相等而方向相反的向量，称为 a的相反向量。记为- a 方向相等且模相等的向量称为相等向量。

中文名
空间向量
外文名
space vector
基本定理
1共线向量定理

两个空间向量a,b向量(b向量不等于0），a∥b的充要条件是存在唯一的实数λ，使a=λb

2共面向量定理

如果两个向量a,b不共线，则向量c与向量a,b共面的充要条件是：存在唯一的一对实数x,y,使c=ax+by

3 空间向量分解定理

如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使p=xa+yb+zc。

任意不共面的三个向量都可作为空间的一个基底，零向量的表示唯一。

卦限

三个坐标面把空间分成八个部分，每个部分叫做一个卦限。含有x轴正半轴、y轴正半轴、z轴正半轴的卦限称为第一卦限，其他第二、三、四卦限，在xoy面的上方，按逆时针方向确定。在第一、二、三、四卦限下面的部分分别称为第五、六、七、八卦限。[1]

空间向量的八个卦限的符号

Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
Ⅳ
Ⅴ
Ⅵ
Ⅶ
Ⅷ
x
+
-
-
+
+
-
-
+
y
+
+
-
-
+
+
-
-
z
+
+
+
+
-
-
-
-
问题
立体几何的计算和证明常常涉及到二大问题：一是位置关系，它主要包括线线垂直，线面垂直，线线平行，线面平行；二是度量问题，它主要包括点到线、点到面的距离，线线、线面所成角，面面所成角等。这里比较多的主要是用向量证明线线、线面垂直及计算线线角，而如何用向量证明线面平行，计算点到平面的距离、线面角及面面角的例题不多，起到一个抛砖引玉的作用。

常识
以下用向量法求解的简单常识：

1、空间一点P位于平面MAB的充要条件是存在唯一的有序实数对x、y，使得PM=xPA+yPB

2、对空间任一点O和不共线的三点A，B，C，若：OP=xOA+yOB+zOC（其中x+y+z=1），则四点P、A、B、C共面．

3、利用向量证a∥b，就是分别在a，b上取向量a=λb（λ∈R）．

4、利用向量证a⊥b，就是分别在a，b上取向量a·b=0 ．

5、利用向量求两直线a与b的夹角，就是分别在a，b上取a,b，求：<a,b>的问题．

6、利用向量求距离即求向量的模问题．

7、利用坐标法研究线面关系或求角和距离，关键是建立正确的空间直角坐标系，正确表达已知点的坐标．

计算
第一步：

按照图形建立三维坐标系O-xyz

空间向量
之后，将点的坐标带进去，求出所需向量的坐标。

第二步：

求平面的法向量：

令法向量n=（x,y,z）

因为法向量垂直于此平面

所以n垂直于此面内两相交直线（其方向向量为a，b)

可列出两个方程n·a=0,n·b=0

两个方程，三个未知数

然后根据计算方便

取z（或x或y）等于一个数（如：1，√2等）

代入即可求出面的一个法向量n的坐标了.

会求法向量后

1.斜线与平面所成的角就是求出斜线的方向向量与平面的法向量n的夹角，所求角为上述夹角的余角或者夹角减去π/2.

2.点到平面的距离就是求出该面的法向量n在平面上任取(除被求点在该平面的射影外）一点，

求出平面外那点和你所取的那点所构成的向量，记为a

点到平面的距离就是法向量n与a的数量积的绝对值|n·a|除以法向量的模|n|即得所求.

3.二面角的求法就是求出两个平面的法向量

可以求出两个法向量的夹角为两向量的数量积除以两向量模的乘积：cos<n,m>=|n·m|/(|n||m|)

那么二面角就是上面求的两法向量的夹角或者它的补角。

4.设直线l,m的方向向量分别为a,b，平面α,β的法向量分别为μ,ν则

线线平行 l∥m<=>a∥b<=>a=kb

线面平行 l∥α<=>a⊥μ<=>a·μ=0

面面平行α∥β<=>μ∥ν<=>μ=kν

空间向量
线线垂直 l⊥m<=>a⊥b<=>a·b=0

线面垂直 l⊥α<=>a∥μ<=>a=kμ

面面垂直α⊥β<=>μ⊥ν<=>μ·ν=0

5.向量的坐标运算：设a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，则

1.|a|=√（x1²+y1²)

2.a+b=(x1+x2,y1+y2)

3.a-b=(x1-x2,y1-y2)

4.ka=k(x1,y1)=(kx1,ky1)

5.a·b=x1x2+y1y2

6.a∥b<=>x1y2=x2y1(一般写为：x1y2-x2y1=0)

7.a⊥b<=>a·b=0<=>x1x2+y1y2=0

8.cos<a,b>=（a·b）/（|a|·|b|）=(x1x2+y1y2) / [ √(x1²+y1²)·√(x2²+y2²) ]

注：x1中的1为下标，以此类推

❻ 向量空间是什么意思

1.在V中定义了一种运算，称为加法，即对V中任意两个元素α与β都按某一法则对应于V内惟一确定的一个元素α+β，称为α与β的和。

2.在P与V的元素间定义了一种运算，称为纯量乘法(亦称数量乘法)，即对V中任意元素α和P中任意元素k，都按某一法则对应V内惟一确定的一个元素kα，称为k与α的积。

3.加法与纯量乘法满足以下条件：

1) α+β=β+α，对任意α，β∈V.

2) α+(β+γ)=(α+β)+γ，对任意α，β，γ∈V.

3) 存在一个元素0∈V，对一切α∈V有α+0=α，元素0称为V的零元.

4) 对任一α∈V，都存在β∈V使α+β=0，β称为α的负元素，记为-α.

5) 对P中单位元1，有1α=α(α∈V).

6) 对任意k，l∈P，α∈V有(kl)α=k(lα).

7) 对任意k，l∈P，α∈V有(k+l)α=kα+lα.

8) 对任意k∈P，α，β∈V有k(α+β)=kα+kβ，

则称V为域P上的一个线性空间，或向量空间。

(6)向量空间的正确方法扩展阅读：

若 V 和 W 都是域F上的向量空间，可以设定由V到W的线性变换或“线性映射”。这些由V到W的映射都有共同点，就是它们保持总和及标量商数。这个集合包含所有由V到W的线性映射，以 L(V, W) 来描述，也是一个域F上的向量空间。当 V 及 W 被确定后，线性映射可以用矩阵来表达。

同构是一对一的一张线性映射。如果在V 和W之间存在同构，我们称这两个空间为同构；域F上每一n维向量空间都与向量空间F同构。

研究向量空间很自然涉及一些额外结构。额外结构如下：

1、一个实数或复数向量空间加上长度概念。就是范数称为赋范向量空间。

2、一个实数或复数向量空间加上长度和角度的概念，称为内积空间。

3、一个向量空间加上拓扑学符合运算的（加法及标量乘法是连续映射）称为拓扑向量空间。

4、一个向量空间加上双线性算子（定义为向量乘法）是个域代数。

❼ 空间向量计算方法

❽ 空间向量

❾ 学空间向量有什么方法和技巧

1、牢记平面向量的各种公式和定理
2、与立体几何相结合

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向量空间的正确方法

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