圆锥曲线有哪些简算方法

‘壹’ 高中数学 圆锥曲线部分有四种解题方法 求这四种方法 具体点 求学霸指点

1、牢记核心知识

核心的知识点是基础，好多同学在做圆锥曲线题时，特别是小题，比如椭圆，双曲线离心率公式和范围记不清，焦点分别在x轴，y轴上的双曲线的渐近线方程也傻傻分不清，在做题时自然做不对。

2、计算能力与速度

计算能力强的同学学圆锥曲线相对轻松一些，计算能力是可以通过多做题来提升的。后期可以尝试训练自己口算得到联立后的二次方程，然后得到判别式，两根之和，两根之积的整式。

当然也要掌握一些解题的小技巧，加快运算速度。

3、思维套路

拿到圆锥曲线的题，很多同学说无从下手，从表面感觉很难。老师建议：山重水复疑无路，没事你就算两步。大部分的圆锥曲线大题，都有共同的三部曲：一设二联立三韦达定理。

一设：设直线与圆锥曲线 的两个交点，坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），直线方程为y=kx+b。

二联立：通过快速计算或者口算得到联立的二次方程。

三韦达定理：得到二次方程后立马得出判别式，两根之和，两根之积。

走完三部曲之后，在看题目给出了什么条件，要求什么。例如涉及弦长问题，常用“根与系数的关系”设而不求计算弦长(即应用弦长公式)；涉及弦的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的 斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化．总结起来：找值列等量关系，找范围列不等关系，通常结合判别式，基本不等式求解。

4、圆锥曲线解题方法技巧归纳

‘贰’ 高中数学圆锥曲线解题技巧

解答数学圆锥曲线试题，需要较强的代数运算能力和图形认识能力，要能准确地进行数与形的语言转换和运算，推理转换，并在运算过程中注意思维的严密性，以保证结果的完整。下面我给你分享高中数学圆锥曲线解题技巧，欢迎阅读。

高中数学圆锥曲线解题技巧

1.充分利用几何图形的策略

解析几何的研究对象就是几何图形及其性质，所以在处理解析几何问题时，除了运用代数方程外，充分挖掘几何条件，并结合平面几何知识，往往能减少计算量。

例：设直线3x+4y+m=0与圆x+y+x-2y=0相交于P、Q两点，O为坐标原点，若OP⊥OQ，求m的值。

2.充分利用韦达定理的策略

我们经常设出弦的端点坐标但不求它，而是结合韦达定理求解，这种方法在有关斜率、中点等问题中常常用到。

例：已知中心在原点O，焦点在y轴上的椭圆与直线y=x+1相交于P、Q两点，且OP⊥OQ，|PQ|=，求此椭圆方程。

3.充分利用曲线方程的策略

例：求经过两已知圆C:x+y-4x+2y=0和C:x+y-2y-4=0的交点，且圆心在直线l：2x+4y-1=0上的圆的方程。

4.充分利用椭圆的参数方程的策略

椭圆的参数方程涉及正、余弦，利用正、余弦的有界性，可以解决相关的求最值的问题。这也就是我们常说的三角代换法。

例：P为椭圆+=1上一动点，A为长轴的右端点，B为短轴的上端瞎庆点，求四边形OAPB面积的最大值及此时点P的坐标。

5.线段长的几种简便计算策略

(1)充分利用现成结果，减少运算过程。

求直线与圆锥曲线相交的弦AB长：把直线方程y=kx+b代入圆锥曲线方程中，得到型如ax+bx+c=0的方程，方兆枯程的两根设为x，x，判别式为△，则|AB|=•|x-x|=•，若直接用结论，能减少配方、开方等运算过程。

例：求直线x-y+1=0被椭圆x+4y=16所截得的线段AB的长。

(2)结合图形的特殊位置关系，减少运算。

在求过圆锥曲线焦点的弦长时，由于圆锥曲线的定义都涉及焦点，结合图形运用圆锥曲线的定义，可回避复杂运算。

例：F、F是椭圆+=1的两个焦点，AB是经过F的弦，若|AB|=8，求|FA|+|FB|的值。

(3)利用圆锥曲线的定义，把到焦点的距离转化为到准线的距离。

例：点A(3，2)为定点，点F是抛物线y=4x的焦点，点P在抛物线y=4x上移动，若|PA|+|PF|取得最小值，求点P的坐标。

高中数学圆锥曲线题型

1.中点弦问题

具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法(点差法)：设曲线上两点为(x，y)，(x，y)，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式，消去四个参数。

例：给定双曲线x-=1，过A(2，1)的直线与双曲线交于两点P和P，求线段PP的中点P的轨迹方程。

2.焦点三角形问题

椭圆或双曲线上一点P，与两个焦点F、F构成的三角形问题，常用正、余弦定理。

例：设P(x，y)为椭圆+=1上任一点，F(-c，0)，F(c，0)为焦点，∠PFF=α，∠PFF=β。

(1)求证：离心率e=;

(2)求|PF|+|PF|的最值。

3.直线与圆锥曲线位置关系问题

直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判别式，应特别注意数形结合的办法。

例：抛物线方程y=p(x+1)(p>0)，直线x+y=t与x轴的交点在抛物线准线的右边。

(1)求证：直线与抛物线总有两个不同交点。

(2)设直线与抛物线的交点为A、B，且OA⊥OB，求p关于t的函数f(t)的表达式。

族神洞4.圆锥曲线的有关最值问题

圆锥曲线中的有关最值问题，常用代数法和几何法解决。若命题的条件和结论具有明显的几何意义，一般可用图像性质来解决。若命题的条件和结论体现明确的函数关系式，则可建立目标函数(通常利用二次函数，三角函数，均值不等式)求最值。下题中的(1)，可先设法得到关于a的不等式，通过解不等式求出a的范围，即：“求范围，找不等式”。或者将a表示为另一个变量的函数，利用求函数的值域求出a的范围。对于(2)，首先要把△NAB的面积表示为一个变量的函数，然后再求它的最大值，即“最值问题，函数思想”。

例：已知抛物线y=2px(p>0)，过M(a，0)且斜率为1的直线L与抛物线交于不同的两点A、B，|AB|≤2p，(1)求a的取值范围;(2)若线段AB的垂直平分线交x轴于点N，求△NAB面积的最大值。

5.求曲线的方程问题

(1)曲线的形状已知，这类问题一般可用待定系数法解决。

例：已知直线L过原点，抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴正半轴上。若点A(-1，0)和点B(0，8)关于L的对称点都在C上，求直线L和抛物线C的方程。

(2)曲线的形状未知，求轨迹方程。

例：已知直角坐标平面上点Q(2，0)和圆C：x+y=1，动点M到圆C的切线长与|MQ|的比等于常数λ(λ>0)，求动点M的轨迹方程，并说明它是什么曲线。

6.存在两点关于直线对称问题

在曲线上两点关于某直线对称问题，可按如下方法解题：求两点所在的直线，求这两直线的交点，使这交点在圆锥曲线形内。当然也可利用韦达定理并结合判别式来解决。

例：已知椭圆C的方程+=1，试确定m的取值范围，使得对于直线y=4x+m，椭圆C上有不同两点关于直线对称。

7.两线段垂直问题

圆锥曲线两焦半径互相垂直问题，常用k•k==-1来处理或用向量的坐标运算来处理。

‘叁’ 圆锥曲线有哪些公式

圆锥曲线的公式主要有以下：

1、椭圆∶焦半径∶a+ex(左焦点),a-ex(右焦点),x=a²/c

2、双曲线∶焦半径∶|a+ex|(左焦点)|a-ex|(右焦点),准线x=a²/c

3、抛物线(y²=2px)∶焦半径∶x+p/2准线∶x=-p/2

弦长=√k²+1*√(x1+x2)²-4x1x2以上是焦点在x轴的,y轴只需将x换成y即可。

二.双曲线

1.通径悉滚长 = 2b²/a

2.焦半径公式（有8个，很难打符号的，不过可以根据极坐标方程来直接解答，比焦半径公式还快一些）

3.焦点三角形面积公式

S⊿PF1F2 =b²cot（θ/2）

三.抛物线

y²=2px （p＞0）过焦点的直线交它于A(X1,Y1),B(X2,Y2)两点

1.│AB│=X1 + X2 + p =2p/sin²θ （θ为直线AB的倾斜角）

2. Y1*Y2 = -p² ， X1*X2 = p²/4

3.1/│FA│ + 1/│FB│ = 2/p

4.结论：以AB 为直径的圆与抛物线的准线线切

5.焦半径公式： │FA│= X1 + p/2 = p/（1-cosθ）

(3)圆锥曲线有哪些简算方法扩展阅读

①圆锥曲线（conic section），又称圆锥截痕、圆锥截面、二次曲线，是数学、几何学中通过平切圆锥（严格为一个正圆锥面和一个平面完整相切）得到的一些曲线。

②阿波罗尼曾把椭圆叫“亏曲线”，把双曲线叫做“超曲线”，把抛物线叫做“齐曲线”。事实上，阿波罗尼在其着哗凯作中乱陆唤使用纯几何方法已经取得了今天高中数学中关于圆锥曲线的全部性质和结果。

参考资料:

网络“圆锥曲线”

‘肆’ 圆锥曲线解题技巧归纳

圆锥曲线作为高中数学解析几何的重要知识点，其中蕴含着重要丰富的数学思想方法，解析几何基本思想是使用几何方法解决问题，也就是数形结合思想，所有的数学试题都不能离开形只谈抽象数或者是研究图。要求学生具备较扎实基础知识及较强综合能力.本文将重点分析下直线与圆锥曲线中常见题型，并给出相应解题技巧，使学生更好地备战高考数学。

圆锥曲线解题技巧归纳

直线与圆锥曲线常见解题思想方法有两种：几何法与代数法，下面将具体分析下这两种解题思想方法.

(一)几何法

几何法解决数学问题主要运用了数形结合思想，结合圆锥曲线定义、图形、性质等题目中已知条件转化成平面几何图形，并使用平面几何有关基本知识例如两点间线段最短、点到直线垂线段最短等来巧妙地解题.

(二)代数法

代数法主要是依据已知条件来构建目标函数，将其转化成函数最值问题，再结合使用配方法、不等式法、函数单调性法及参数法等等来求最值.

直线与圆锥曲线的常见题型及解题技巧实例分析

(一)题型一：弦的垂直平分线问题

解题技巧及规律：题干中给出直线与曲线M过点S(-1，0)相交于A，B两点，分析直线存在斜率并且不等于0，然后设直线方程，列出方程组，消元，对一元二次方程进行分析，分析判别式，并使用韦达定理，得出弦中点坐标，再结合垂直及中点，列出垂直平分线方程，求出N点坐标，最后结合正三角形性质：中芦野线长是边长的32倍，使用弦长公式求出弦长.

(二)题型二：动弦过定点问题

解题技巧及规律：第一问是使用待定系数陪搏喊法求轨迹方程银散;第二问中，已知点A1、A2的坐标，因此可以设直线PA1、PA2方程，直线PA1与椭圆交点是A1(-2，0)和M，结合韦达定理，能求出点M坐标，同理求出点N坐标.动点P在直线L：x=t(t>2)上，这样就能知道点P横坐标，根据直线PA1，PA2方程求出点P纵坐标，得出两条直线斜率关系，通过计算出M，N点坐标，求出直线MN方程，代入交点坐标，如果解出是t>2，就可以了，否则不存在。

圆锥曲线解题技巧归纳

一、考查目标：

1、熟练掌握三大曲线的定义和性质;

2、能够处理圆锥曲线的相关轨迹问题;

3、能够处理圆锥曲线的相关定值、最值问题。

二、相关知识考查：

1、准确理解基本概念(如直线的倾斜角、斜率、距离等，也要注意斜率的存在与否)

2、熟练掌握基本公式(如两点间距离公式、点到直线的距离公式、斜率公式、定比分点的坐标公式、到角公式、夹角公式等)

3、熟练掌握求直线方程的方法(如根据条件灵活选用各种形式、讨论斜率存在和不存在的各种情况等等)

4、在解决直线与圆的位置关系问题中，要善于运用圆的几何性质以减少运算

5、了解线性规划的意义及简单应用

6、熟悉圆锥曲线中基本量的计算

7、掌握与圆锥曲线有关的'轨迹方程的求解方法(如：定义法、直接法、相关点法、参数法、交轨法、几何法、待定系数法等)

8、掌握直线与圆锥曲线的位置关系的常见判定方法，能应用直线与圆锥曲线的位置关系解决一些常见问题。

‘伍’ 圆锥曲线解题技巧归纳(2)

三、常规七大题型：

(1)中点弦问题

具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法(点差法)：设曲线上两点为，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式(当然在这里也要注意斜率不存在的请款讨论)，消去四个参数。

如：(1)与直线相交于A、B，设弦AB中点为，则有。

(2)与直线相交于A、B，设弦AB中点为,则有

(3)与直线相交于A、B设弦AB中点为,则有,即.

(2)焦点三角形问题

椭圆或双曲线上一点P，与两个焦点构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥。

(3)直线与圆锥曲线位置关系问题

直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判别式、根与系数的关系、求根公式等来处理，应特别注意数形结合的思想，通过图形的直观性帮助分析解决问题，如果直线过椭圆的焦点，结合三大曲线的定义去解。

(4)圆锥曲线的相关最值(范围)问题

圆锥曲线中的有关最值(范围)问题，常用代数法和几何法解决。

<1>若命题的条件和结论具有明显的几何意义，一般可用图形性质来解决。

<2>若命题的条件和结论体现明确的函数关系式，则可建立目标函数(通常利用二次函数，三角函数，均值不等式)求最值。

<1>可以设法得到关于a的不等式，通过解不等式求出a的范围，即：“求范围，找不等式”。或者将a表示为另一个变量的函数，利用求函数的值域求出a的范围;对于<2>首先要把△NAB的面积表示为一个变量的函数，然汪告后再求它的最大值,即：“最值问题，函数思想”。

最值问题的处理思路：

1、建立目标函数。用坐标表示距离，用方程消参转化为一元二次函数的最值问题，关键是由方程求x、y的范围;

2、数形结合，用化曲为直的转化思想;

3、利用判别式，对于二次函数求最值，往往由条件建立二次方程，用判别式求最值;

4、借助均值不等式求最值。

(5)求曲线的方程问题

1.曲线的形状已知--------这类问题一般可用待定系数法解决。

2.曲线的形状未知-----求轨迹方程

(6)存在两点关于直线对称问题

在曲线上两点关于某直线对称问题，可以按如下方式分三步解决：求两点所在的直线，求这两直线的交点，使这交点在圆锥曲线形内。(当然也可以利用韦达定理并结合判别式来解决)

(7)两线段垂直问题

圆锥曲线两焦半径互相垂猛绝直问题，常用来处理或用向量的坐标运算来处理。

四、解题的技巧方面：

在教学中，学生普遍觉得解析几何问题的计算量较大。事实上，如果我们能够充分利用几何图形、韦达定理、曲线系方程，以及运用“设而不求”的策略，往往能够减少计算量。下面举例说明：

(1)充分利用几何图形

解析几何的研究对象就是几何图形及其性质，所以在处理解析几何问题时，除了运用代数方程外，充分挖掘几何条件，并结合平面几何知识，这往往能减少计算量。

(2) 充分利用韦达定理及“设而不求”的策略

我们经常设出弦的端点坐标而不求它，而是结合韦达定理求解，这种方法在有关斜率、中点等问题中常常用到。

(3) 充分利用曲线系方程

利用曲线系方程可以避免求曲线的交点，因此也可以减少计算。

(4)充分利用椭圆的参数方程

椭圆的参数方程涉及到正、余弦，利用正、余弦的有界性，可以解决相关的求最值的问题.这也是我们常说的三角代换法。

(5)线段长的几种简便计算方法

① 充分利用现成结果，减少运算过程

一般地，求直线与圆锥曲线相交的弦AB长的方法是：把直线方程代入圆锥曲线方程中，得到型如的方程，方程的两根设为，判别式为△，则，若直接用结论，能减少配方、开方等运算过程。

② 结合图形的特殊位置关系，减少运算

在求过圆锥曲线焦点的弦长时，由于圆锥曲线枝陵姿的定义都涉及焦点，结合图形运用圆锥曲线的定义，可回避复杂运算。

③ 利用圆锥曲线的定义，把到焦点的距离转化为到准线的距离。

‘陆’ 圆锥曲线的解题技巧

圆锥曲线的解题技巧：

①定义和相应参数必须掌握。一些问题死算很花时间，而用定义几乎是秒杀。经常在最值类题目出现。

②注意一些几何关系。在圆锥曲线题目中，经常用到三角形各心的性质，相似三角形以及全等等平面几何知识。这个经常在轨迹类题目出现。

③特别注意直线和圆锥曲线的位置关系这块知识，近几年各地高考考察率几乎是100%。尤其注意相交时的设而不求。这块知识往往是难点，难不是想不到，而是算不出。所以平时必须加强计算能力。常见问题：定值定点，参数范围，中点弦等、

④
在基础的掌握后，必须自学一些课堂上讲不到的一些知识，对付一些题目可以起到事半功倍的效果。推荐这几个：极坐标，参数方程，圆锥曲线硬解定理，隐函数求导，圆锥曲线的极点和极线。极坐标对于过焦点的直线的相关问题可谓是秒杀，参数方程可秒某些范围问题。硬解定理在80%的圆锥曲线题目中可用，但是式子复杂。这个熟悉了之后，常见的一些题目都能在10分钟内解决了。隐函数求导和圆锥曲线的极点极线二选一，作用一
样，都是用来解决中点弦问题，比点差法快。

注：极坐标和硬解定理以及参数方程可在答题卡上作答。其他的谨慎，大题老实点差法，小题偷偷用。

‘柒’ 求圆锥曲线的计算公式，还有简便的公式

一、圆

[圆的方程、圆心与半径]

方程x²+ y²= R²

圆心与半径

圆心 G(0,0)

半径 r = R

(x -a)²+(y - b)²= R²

圆心 G(a, b)

半径 r = R

x²+y²+2mx + 2ny + q = 0

m²+ n²> q

圆心 G(-m,-n)

半径

r2-2rr0cos(j-j0)+r02 = R2 (极坐标方程)

圆心 G(r0,j0)

半径 r = R

x2 + y2 = 2Rx

或r= 2Rcosj

(极坐标方程)

圆心 G(R, 0)

半径 r = R

[圆的切线]

圆 x²+ y²= R²上一点M(x0, y0)的切线方程为

x0x + y0y = R²

圆 x2 + y2 + 2mx + 2ny + q = 0 上一点M(x0, y0)的切线方程为

x0x + y0y + m(x + x0) + n(y + y0) + q = 0

[两个圆的交角、圆束与根轴]

方程与图形

公式与说明

两个圆的交角

C1 x²+y²+2m1x +2n1y +q1 = 0

C2 x²+y²+2m2x +2n2y +q2 = 0

两个圆的交角是指它们在交点的两条切线的夹角

这里OI, OJ为渐近线，MI // OJ

‘捌’ 圆锥曲线的公式总结有哪些啊。急需，THANKS

圆锥体的侧面积公式出现两种茄陆：
S=1/2RL（R为圆锥体底面圆的周长,L为圆锥的颤档顷母线长）
S=πRL（R为圆锥体底面圆的半蠢老径,L为圆锥的母线长）