科学的数集扩充方法有哪些

㈠ 高等代数中数集是怎样扩充的

设子空间上的一组基为{e1,e2,,er}任取一组整个空间上的基举哗{f1,f2,,fn}把fi依次一个一个地亏岁放入子空间的基，比如{e1,e2,,er,f1},如果这组向量线性相关，则拿掉f1，如正空行果线性无关，则留在里面，扩充了一个，记f1=e_(r+1)再把f2放进去{e1,e2,,er,e_(r+1),f2}同上述过程一样。最终得到一组线性无关的向量{e1,e2,es}容易看出{f1,f2,,fn}能与{e1,e2,es}互相线性表示得出{e1,e2,es}的极大无关组个数为n又因为{e1,e2,es}线性无关，所以s=n所以{e1,e2,en}就是扩充后的一组基。

㈡ 从自然数集N扩充到实数集R经历了哪几次扩充,扩充后各加入了何种新数

第一节 自然数和数的扩充

1．数的两种扩充

数顷兆的扩充，有两种不同的体系．一种是自然的、历史的体系，它反映了人类认识数的历史过程．茄庆一种是理论的、逻辑的体系，是数学家人为的构造，它反映了现代数学思想和数学方法．

(1)数的自然扩充表

(2)数的逻辑扩颤乎握充表

㈢ 仿照整数集的扩充方式,将整数集扩充为有理数集,并给出其运算、顺序和绝对值等概念。

自然数集到整数集，使得减法运算（加法的逆)得以完备，任意两个整数相减仍然是整数；整数集到有理数集，使得除法运算(乘法的逆)得以完备，任意两个有理数相除（除数非0）仍然是有理数；有理数集到实数集，使得正数的开方橘带运算(乘方的逆)得以完备，任意正数的开方都为实数；实数集到复数集， 使得任意数的开方的运算漏手得以完备，任意复数的开方仍然为复数，这同时圆搜芦扩展到对数运算，指数运算，三角运算等等在复数范围内也是完备。

㈣ 数的发展 急用!

上面那位不行

你说的是中国的"数学"并且不是"数"

我来个你矫正

人类是动物进化的产物，最初也完全没有数量的概念。但人类发达的大脑对客观世界的认识已经达到更加理性和抽象的地步。这样，在漫长的生活实践中，由于记事和分配生活用品等方面的需要，才逐渐产生了数的概念。比如捕获了一头野兽，就用1块石子代表。捕获了3头，就放3块石子。“结绳记事”也是地球上许多相隔很近的古代人类共同做过的事（图6）。我国古书《易经》中有“结绳而治”的记载。传说古代波斯王打仗时也常用绳子打结来计算天数。用利器在树皮上或兽皮上刻痕，或用小棍摆在地上计数也都是古人常用的办法。这些办法用得多了，就逐渐形成数的概念和记数的符号。
数的概念最初不论在哪个地区都是1、2、3、4……这样的自然数开始的，但是记数的符号却大小相同。比如古代埃及的记数符号是（图7），用古埃及的记数符号表示345，就要写成古罗马的数字相当进步，现在许多老式挂钟上还常常使用。
你能从这些数字的实例中找出罗马数字写法的规律吗？实际上，罗马数字的符号一共只有7个：I（代表1）、V（代表5）、X（代表10）、L（代旦岩兆表50）、C代表100）、D（代表500）、M（代表1,000）。这7个符号位置上不论怎样变化，它所代表的数字都是不变的。它们按照下列规律组合起来，就能表示任何数：
1．重复次数：一个罗马数字符号重复几次，就表示这个数的几倍。如：“III”表示“3”；“XXX”表示“30”。
2．右加左减：一模租个代表大数字的符号右边附一个代表小数字的符号，就表示大数字加小数字，如“VI”表示“6”，“DC”表示“600”。一个代表大数字的符号左边附一个代表小数字的符号，就表示大数字减去小数字的数目，如“IV”表示“4”，“XL”表示“40”，“VD”表示“495”。
3．上加横线：在罗马数字上加一横线，表示这个数字的一千倍。如：“ ”表示 “15,000”，“ ”表示“165,000”。
我国古代也很重视记数符号，最古老的甲骨文和钟鼎中都有记数的符号，不过难写难认，后人没有沿用。到春秋战国时期，生产迅速发展，适应这一需要，我们的祖先创造了一种十分重要的计算方法––筹算。筹算用的算筹是竹制的小棍，也有骨制的（图9）。按规定的横竖长短顺序摆好，就可用来记数和进行运算。随着筹算的普及，算筹的摆法也就成为记数的符号了。算筹摆法有横纵两式，都能表示同样的数字.
如果要表示1971，就可以摆成如图11的样子。
从算筹数码中没有“10”这个数可以清楚地看出，筹算从一开始就严格遵循十位枣指进制。9位以上的数就要进一位。同一个数字放在百位上就是几百，放在万位上就是几万。这样的计算法在当时是很先进的。因为在世界的其他地方真正使用十进位制时已到了公元6世纪末。但筹算数码中开始没有“零”，遇到“零”就空位。比如“6708”，就可以表示为“┴ ╥ ”。数字中没有“零”，是很容易发生错误的。所以后来有人把铜钱摆在空位上，以免弄错，这或许与“零”的出现有关。不过多数人认为，“0”这一数学符号的发明应归功于公元6世纪的印度人。他们最早用黑点（•）表示零，后来逐渐变成了“0”。
说起“0”的出现，应该指出，我国古代文字中，“零”字出现很早。不过那时它不表示“空无所有”，而只表示“零碎”、“不多”的意思。如“零头”、“零星”、“零丁”。“一百零五”的意思是：在一百之外，还有一个零头五。随着阿拉数字的引进。“105”恰恰读作“一百零五”，“零”字与“0”恰好对应，“零”也就具有了“0”的含义。
如果你细心观察的话，会发现罗马数字中没有“0”。其实在公元5世纪时，“0”已经传入罗马。但罗马教皇凶残而且守旧。他不允许任何使用“0”。有一位罗马学者在笔记中记载了关于使用“0”的一些好处和说明，就被教皇召去，施行了拶（zǎn）刑，使他再也不能握笔写字。
但“0”的出现，谁也阻挡不住。现在，“0”已经成为含义最丰富的数字符号。“0”可以表示没有，也可以表示有。如：气温 ，并不是说没有气温；“0”是正负数之间唯一的中性数；任何数（0除外）的0次幂等于1；0！="1（零的阶乘等于1） 除了十进制以外，在数学萌芽的早期，还出现过五进制、二进制、三进制、七进制、八进制、十进制、十六进制、二十进制、六十进制等多种数字进制法。在长期实际生活的应用中，十进制最终占了上风。
现在世界通用的数码1、2、3、4、5、6、7、8、9、0，人们称之为阿拉伯数字。实际上它们是古代印度人最早使用的。后来阿拉伯人把古希腊的数学融进了自己的数学中去，又把这一简便易写的十进制位值记数法传遍了欧洲，逐渐演变成今天的阿拉伯数字。
数的概念、数码的写法和十进制的形成都是人类长期实践活动的结果。
随着生产、生活的需要，人们发现，仅仅能表示自然数是远远不行的。如果分配猎获物时，5个人分4件东西，每个人人该得多少呢？于是分数就产生了。中国对分数的研究比欧洲早1400多年！自然数、分数和零，通称为算术数。自然数也称为正整数。
随着社会的发展，人们又发现很多数量具有相反的意义，比如增加和减少、前进和后退、上升和下降、向东和向西。为了表示这样的量，又产生了负数。正整数、负整数和零，统称为整数。如果再加上正分数和负分数，就统称为有理数。有了这些数字表示法，人们计算起来感到方便多了。
但是，在数字的发展过程中，一件不愉快的事发生了。让我们回到大经贸部2500年前的希腊，那里有一个毕达哥拉斯学派，是一个研究数学、科学和哲学的团体。他们认为“数”是万物的本源，支配整个自然界和人类社会。因此世间一切事物都可归结为数或数的比例，这是世界所以美好和谐的源泉。他们所说的数是指整数。分数的出现，使“数”不那样完整了。但分数都可以写成两个整数之比，所以他们的信仰没有动摇。但是学派中一个叫希帕索斯的学生在研究1与2的比例中项时，发现没有一个能用整数比例写成的数可以表示它。如果设这个数为X，既然 ，推导的结果即 。他画了一个边长为1的正方形，设对角线为 ，根据勾股定理 ，可见边长为1的正方形的对角线的长度即是所要找的那个数，这个数肯定是存在的。可它是多少？又该怎样表示它呢？希帕索斯等人百思不得其解，最后认定这是一个从未见过的新数（图14）。这个新数的出现使毕达哥拉斯学派感到震惊，动摇了他们哲学思想的核心。为了保持支撑世界的数学大厦不要坍塌，他们规定对新数的发现要严守秘密。而希帕索斯还是忍不住将这个秘密泄露了出去。据说他后来被扔进大海喂了鲨鱼。然而真理是藏不住的。人们后来又发现了很多不能用两整数之比写出来的数，如圆周率 就是最重要的一个。人们把它们写成π、 、 、 等形式，称它们为无理数。
有理数和无理数一起统称为实数。在实数范围内对各种数的研究使数学理论达到了相当高深和丰富的程度。这时人类的历史已进入19世纪。许多人认为数学成就已经登峰造极，数字的形式也不会有什么新的发现了。但在解方程的时候常常需要开平方如果被开方数负数，这道题还有解吗？如果没有解，那数学运算就像走在死胡同中那样处处碰壁。于是数学家们就规定用符号“ ”表示“-1”的平方根，即 ，虚数就这样诞生了。“ ”成了虚数的单位（图15）。后人将实数和虚数结合起来，写成 的形式（a、b均为实数），这就是复数。在很长一段时间里，人们在实际生活中找不到用虚数和复数表示的量，所以虚数总让人感到虚无缥缈。随着科学的发展，虚数现在在水力学、地图学和航空学上已经有了广泛的应用，在掌握和会使用虚数的科学家眼中，虚数一点也不“虚”了。
数的概念发展到虚和复数以后，在很长一段时间内，连某些数学家也认为数的概念已经十分完善了，数学家族的成员已经都到齐了。可是1843年10月16日，英国数学家哈密尔顿又提出了“四元数”的概念。所谓四元数，就是一种形如的数。它是由一个标量 （实数和一个向量
（其中 、 、 为实数）组成的。四元数的数论、群论、量子理论以及相对论等方面有广泛的应用。与此同时，人们还开展了对“多元数”理论的研究。多元数已超出了复数的范畴，人们称其为超复数。
由于科学技术发展的需要，向量、张量、矩阵、群、环、域等概念不断产生，把数学研究推向新的高峰。这些概念也都应列入数字计算的范畴，但若归入超复数中不太合适，所以，人们将复数和超复数称为狭义数，把向量、张量、矩阿等概念称为广义数。尽管人们对数的归类法还有某些分歧，但在承认数的概念还会不断发展这一点上意见是一致的。到目前为止，数的家庭已发展得十分庞大。

㈤ 一点小问题

数是数学最基本的研究对象，也是在一切科学技术和社会领域中必不可少的工具．本讲主要讨论数的概念的形成与扩展，数的运算与性质等内容．这些知识，对于掌握、驾驭中学代数教材，都是十分必要的.

一、数的发展简史

数是各种具体的量的抽象．从历史上看,人类对于数的认识,大体上是按照以下的逻辑顺序进行的:

自然数(添正分数)-→正有理数(添零)-→非负有理数(添负数)

-→有理数(添无理数)-→实数(添虚数)-→复数

自然数的产生，起源于人类在生产和生活中计数的需要．开始只有很少几个自然数，后来随着生产力的发展和记数方法的改进，逐步认识越来越多的自然数．这个过程大致可以分为三个阶段．在第一阶段，物体集合的性质，是由物体间的直接比较确定的．我国古代传说的结绳记数便属于这一阶段.在第二阶段,出现了数词，如三头牛、五只羊等等．这时，还没能把单个的数从具体物体的集合中分离出来．在第三阶段，认识到每一个单个的数,是物体集合的一种性质，把数从具体物体的集合中分离出来，形成了抽象的自然数(正整数)概念，并有了代表它的符号．从某种意义上说，幼儿认识自然数的过程，就是人类祖先认识自然数的过程的再现．

随着生产的发展，在土地测量、天文观测、土木建筑、水利工程等活动中，都需要进行测量．在测量过程中，常常会发生度量不尽的情况，如果要更精确地度量下去，就必然产生自然数不够用的矛盾．这样，正分数就应运而生．据数学史书记载，三千多年前埃及纸草书中已经记有关于正分数的问题．引进正分数,这是数的概念的第一次扩展．

最初人们在记数时，没有“零”的概念．后来，在生产实践中,需要记录和计算的东西越来越多，逐渐产生了位值制记数法．有了这种记数法，零的产生就不可避免的了．我国古代筹算中，利用“空位”表示零.公元6世纪，印度数学家开始用符号“0”表示零. 但是，把“0”作为一个数是很迟的事．引进数0，这是数的概念的第二次扩充．

以后,为了表示具有相反意义的量,负数概念就出现了．我国是认识正、负数最早的国家，《九章算术》中就有了正、负数的记载．在欧洲，直到17世纪才对负数有一个完整的认识．引进 负数，这是数的概念的第三次扩充．

数的概念的又一次扩充渊源于古希腊。公元前5世纪，古希腊毕达哥拉斯(Pythagqras，约公元前580～前500)学派发现了单位正方形的边长与对角线是不可公度的，为了得到不可公度线段比的精确数值，导致了无理数的产生．当时只是用几何的形象来说明无理数的存在，至于严格的实数理论，直到19世纪70年代才建立起来．引进无理数，形成实数系，这是数的概念的第四次扩充．

数的概念的再一次扩充，是为了解决数学自身的矛盾．16世纪前半叶，意大利数学家塔尔塔利亚发现了三次方程的求根公式，大胆地引用了负数开平方的运算，得到了正确答案．由此，虚数作为一种合乎逻辑的假设得以引进，并在进一步的发展中加以运用,成功地经受了理论和实践的检验，最后于18世纪末至19世纪初确立了虚数在数学中的地位．引进虚数，形成复数系，这是数的概念的第五次扩充．

上面,我们简要地回顾了数的发展过程．必须指出，数的概念的产生，实际上是交错进行的．例如，在人们还没有完全认识负数之前，早就知道了无理数的存在；在实数理论还未完全建立之前,经运用虚数解三次方程了．

直到19世纪初，从自然数到复数的理论基础，并未被认真考虑过．后来，由于数学严密性的需要以及公理化倾向的影响，促使人们开始认真研究整个数系的逻辑结构．从19世纪中叶起，经过皮亚诺(G．Peano，1855～1939)、康托尔(G．Cantor，1845～1918)、戴德金(R．Dedekind，1831～1916)、外尔斯特拉斯(K.Weierstrass，1815～1897)等数学家的努力，完成了建立整个数系的逻辑工作．

近代数学关于数的理论，是在总结数的历史发展的基础上，用代数结构的观点和比较严格的公理系统加以整理而建立起来的.作为数的理论系统的基础，首先要建立自然数系，然后逐步加以扩展．一般采用的扩展过程是

N--------→Z--------→Q--------→R--------→C

(自然数集) (整数集) (有理数集) (实数集) (复数集)

科学的数集扩充，通常采用两种方法：一是添加元素法，即把新元素添加到已建立的数集中去；二是构造法,即从理论上构造一个集合，然后指出这个集合的某个真子集与先前的数集是同构的．

中、小学数学教学中，为了适应学生的年龄特征和接受能力,关于数系的扩充，主要是渗透近代数学观点，采用添加元素并强调运算的方法来进行的．其扩充过程是:

自然数集(添零)→扩大的自然数集(添正分数)→算术数集(添负有理数)

→有理数集(添无理数)→实数集(添虚数)→复数集

数系的每一次扩充，都解决了一定的矛盾，从而扩大了数的应用范围．但是，数系的每一次扩充也会失去某些性质．例如，从自然数系 N 扩充到整数系 Z 后，Z 对减法具有封闭性，但失去N 的良序性质，即N 中任何非空子集都有最小元素．又如，由实数系R 扩充到复数系C 后，C 是代数闭域，即任何代数方程必有根,但失去了R的顺序性，C 中元素已无大小可言．

数系扩充到复数系后，能否继续扩充?这个问题的答案是有条件的．如果要求完全满足复数系的全部运算性质,那么任何扩充都是难以成功的．如果放弃某些要求，那么进一步的扩充是可能的．比如，放弃乘法交换律，复数系C可以扩充为四元数系H,如果再适当改变对乘法结合律的要求，四元数系H 又可扩充为八元数系Ca 等等．当然,在现代数学中，通常总是把“数”理解为复数或实数，只有在个别情况，经特别指出，才用到四元数．至于八元数的使用就更罕见了．

㈥ “数”的发展过程

人类是动物进化的产物，最初也完全没有数量的概念。但人类发达的大脑对客观世界的认识已经达到更加理性和抽象的地步。这样，在漫长的生活实践中，由于记事和分配生活用品等方面的需要，才逐渐产生了数的概念。比如捕获了一头野兽，就用1块石子代表。捕获了3头，就放3块石子。"结绳哗宽迅记事"也是地球上许多相隔很近的古代人类共同做过的事。我国古书《易经》中有"结绳而治"的记载。传说古代波斯王打仗时也常用绳子打结来计算天数。用利器在树皮上或兽皮上刻痕，或用小棍摆在地上计数也都是古人常用的办法。这些办法用得多了，就逐渐形成数的概念和记数的乱此符号。
数的概念最初不论在哪个地区都是1、2、3、4……这样的自然数开始的，但是记数的符号却大小相同。
古罗马的数字相当进步，现在许多老式挂钟上还常常使用。
实际上，罗马数字的符号一共只有7个：I（代表1）、V（代表5）、X（代表10）、L（代表50）、C代表100）、D（代表500）、M（代表1,000）。这7个符号位置上不论怎样变化，它所代表的数字都是不变的。它们按照下列规律组合起来，就能表示任何数：
1．重复次数：一个罗马数字符号重复几次，就表示这个数的几倍。如："III"表示"3"；"XXX"表示"30"。
2．右加左减：一个代表大数字的符号右边附一个代表小数字的符号，就表示大数字加小数字，如"VI"表示"6"，"DC"表示"600"。一个代表大数字的符号左边附一个代表小数字的符号，就表示大数字减去小数字的数目，如"IV"表示"4"，"XL"表示"40"，"VD"表示"495"。
3．上加横线：在罗马数字上加一横线，表示这个数字的一千倍。如：""表示 "15,000"，""表示"165,000"。
我国古代也很重视记数符号，最古老的甲骨文和钟鼎中都有记数的符号，不过难写难认，后人没有沿用。到春秋战国时期，生产迅速发展，适应这一需要，我们的祖先创造了一种十分重要的计算方法--筹算。筹算用的算筹是竹制的小棍，也有骨制的。按规定的横竖长短顺序摆好，就可用来记数和进行运算。随着筹算的普及，算筹的摆法也就成为记数的符号了。算筹摆法有横纵两式，都能表示同样的数字。
从算筹数码中没有"10"这个数可以清楚地看出，筹算从一开始就严格遵循十位进制。9位以上的数就要进一位。同一个数字放在百位上就是几百，放在万位上就是几万。这样的计算法在当时是很先进的。因为在世界的其他地方真正使用十进位制时已到了公元6世纪末。但筹算数码中开始没有"零"，遇到"零"就空位。比如"6708"，就可以表示为"┴ ╥ "。数字中没有"零"，是很容易发生错误的。所以后来有人把铜钱摆在空位上，以免弄错，这或许与"零"的出现有关。不过多数人认为，"0"这一数学符号的发明应归功于公元6世纪的印度人。他们最早用黑点（·）表示零，后来逐渐变成了"0"。
说起"0"的出现，应该指出，我国古代文字中，"零"字出现很早。不过那时它不表示"空无所有"，而只表示"零碎"、"不多"的意思。如"零头"、"零星"、"零丁"。"一百零五"的意思是：在一百之外，还有一个零头五。随着阿拉数字的引进。"105"恰恰读作"一百零五"，"零"字与"0"恰好对应，"零"也就具有了"0"的含义。
如果你细心观察的话，会发现罗马数字中没有"0"。其实在公元5世纪时，"0"已经传入罗马。但罗马教皇凶残而且守旧。他不允许任何使用"0"。有一位罗马学者在笔记中记载了关于使用"0"的一些好处和说明，就被教皇召去，施行了拶（zǎn）刑，使他再也不能握笔写字。
但"0"的出现，谁也阻挡不住。现在，"0"已经成为含义最丰富的数字符号。"0"可以表示没有，也可以表示有。如：气温0℃，并不是说没有气温；"0"是正负数之间唯一的中性数；任何数（0除外）的0次幂等于1；0！=1（零的阶乘等于1）。
除了十进制以外，在数学萌芽的早期，还出现过五进制、二进制、三进制、七进制、八进制、十进制、十六进制、二十进制、六十进制等多种数字进制法。在长期实际生活的应用中，十进制最终占了上风。
现在世界通用的数码1、2、3、4、5、6、7、8、9、0，人们称之为阿拉伯数字。实际上它们是古代印度人最早使用的。后来阿拉伯人把古希腊的数学融进了自己的数学中去，又把这一简便易写的十进巧罩制位值记数法传遍了欧洲，逐渐演变成今天的阿拉伯数字。
数的概念、数码的写法和十进制的形成都是人类长期实践活动的结果。
随着生产、生活的需要，人们发现，仅仅能表示自然数是远远不行的。如果分配猎获物时，5个人分4件东西，每个人人该得多少呢？于是分数就产生了。中国对分数的研究比欧洲早1400多年！自然数、分数和零，通称为算术数。自然数也称为正整数。
随着社会的发展，人们又发现很多数量具有相反的意义，比如增加和减少、前进和后退、上升和下降、向东和向西。为了表示这样的量，又产生了负数。正整数、负整数和零，统称为整数。如果再加上正分数和负分数，就统称为有理数。有了这些数字表示法，人们计算起来感到方便多了。
但是，在数字的发展过程中，一件不愉快的事发生了。让我们回到大经贸部2500年前的希腊，那里有一个毕达哥拉斯学派，是一个研究数学、科学和哲学的团体。他们认为"数"是万物的本源，支配整个自然界和人类社会。因此世间一切事物都可归结为数或数的比例，这是世界所以美好和谐的源泉。他们所说的数是指整数。分数的出现，使"数"不那样完整了。但分数都可以写成两个整数之比，所以他们的信仰没有动摇。但是学派中一个叫希帕索斯的学生在研究1与2的比例中项时，发现没有一个能用整数比例写成的数可以表示它。如果设这个数为X，既然，推导的结果即x2=2。他画了一个边长为1的正方形，设对角线为x ，根据勾股定理x2=12+12=2，可见边长为1的正方形的对角线的长度即是所要找的那个数，这个数肯定是存在的。可它是多少？又该怎样表示它呢？希帕索斯等人百思不得其解，最后认定这是一个从未见过的新数。这个新数的出现使毕达哥拉斯学派感到震惊，动摇了他们哲学思想的核心。为了保持支撑世界的数学大厦不要坍塌，他们规定对新数的发现要严守秘密。而希帕索斯还是忍不住将这个秘密泄露了出去。据说他后来被扔进大海喂了鲨鱼。然而真理是藏不住的。人们后来又发现了很多不能用两整数之比写出来的数，如圆周率 就是最重要的一个。人们把它们写成 π、等形式，称它们为无理数。
有理数和无理数一起统称为实数。在实数范围内对各种数的研究使数学理论达到了相当高深和丰富的程度。这时人类的历史已进入19世纪。许多人认为数学成就已经登峰造极，数字的形式也不会有什么新的发现了。但在解方程的时候常常需要开平方如果被开方数负数，这道题还有解吗？如果没有解，那数学运算就像走在死胡同中那样处处碰壁。于是数学家们就规定用符号"i "表示"-1"的平方根，即i＝，虚数就这样诞生了。"i "成了虚数的单位。后人将实数和虚数结合起来，写成 a＋bi的形式（a、b均为实数），这就是复数。在很长一段时间里，人们在实际生活中找不到用虚数和复数表示的量，所以虚数总让人感到虚无缥缈。随着科学的发展，虚数现在在水力学、地图学和航空学上已经有了广泛的应用，在掌握和会使用虚数的科学家眼中，虚数一点也不"虚"了。
数的概念发展到虚和复数以后，在很长一段时间内，连某些数学家也认为数的概念已经十分完善了，数学家族的成员已经都到齐了。可是1843年10月16日，英国数学家哈密尔顿又提出了"四元数"的概念。所谓四元数，就是一种形如的数。它是由一个标量 （实数）和一个向量（其中x 、y 、z 为实数）组成的。四元数的数论、群论、量子理论以及相对论等方面有广泛的应用。与此同时，人们还开展了对"多元数"理论的研究。多元数已超出了复数的范畴，人们称其为超复数。
由于科学技术发展的需要，向量、张量、矩阵、群、环、域等概念不断产生，把数学研究推向新的高峰。这些概念也都应列入数字计算的范畴，但若归入超复数中不太合适，所以，人们将复数和超复数称为狭义数，把向量、张量、矩阿等概念称为广义数。尽管人们对数的归类法还有某些分歧，但在承认数的概念还会不断发展这一点上意见是一致的。到目前为止，数的家庭已发展得十分庞大。

㈦ 数系的扩充和复数的概念是什么

数系的扩充不仅仅是增加一种新的数，它还涉及数的运算．因此，数系的扩充还需保留原来的基本运算，用今天的话来讲，就是要向前“兼容”，不能推倒小楼建大楼．具体运亏悔来讲，就是空友加、减、乘、除、乘方和开方的运算律应得到继承．比如要满足加法、乘法的交换率和结合律以及乘法对加法的分配律。

复数的引入，体现了数系扩充的必要性及现实意义；给出的相关规定体现了数系扩充后运算的封闭性，同时体现了规定的合理性。

(7)科学的数集扩充方法有哪些扩展阅读：

在每一次数系扩充中，人们都遵守了如下几条原则：

1、扩充的目的：在原数集中某种运算不封闭，在扩充后的新数集中该运算封闭；

2、扩充后的集合要扩大：进行的每一次扩充都是从一个较小的原数集扩充到一个较大的新数集，且使得原数集是新数集的一部分；

3、保持原有的运算：进行扩充时,要使原数集中所能够进行的运算在新的数集中有意义，并且当把原数集中的数看成新数集中的数进行运算时，其结果应与它们在原数集中所得到的结果完全相同；

4、扩充的最小性与唯一性：要使扩充后的新数旁正集是原数集满足以上的①、②、③原则的最小扩充，并且该扩充是唯一的。

㈧ 简述数系的五次扩充的过程

浅谈数系与数系的扩充
郭民
(东北师范大学长春130024)

1数的起源与数系的发展
i.i自然数的产生
远古人类如何创造了数已不可考，今天只能进行一些猜测:人类的祖先在起初时，也许只会用物物逐
一比较的办法来分别多少，以后又学会了物与第三者(如人的手指，墙上的刻痕或悬挂的绳索等)来进行
间接的比较，从而逐渐产生了不依附于具体对象的“个数”概念。随着生产和交换活动的不断扩大，桐桥这种
“个数”概念也就逐渐被赋予了某种记号或语音，这就产生了最早的数。人类最初掌握的数是很少的，在近
代残存的原始部落中，人们发现他们所掌握的数均未超过二十，这大概与人的手指和脚趾的总数是二十
有关。随着人类社会的进步，数也不断地发展完善，其中应当提一下的是进位记数法的产生。进位记数法，
就是运用少量的符号，通过它们不同个数的排列，去表示不同的数(如现在运用的十进位法)。进位记数法
的产生，使得记数的范围得到无限的扩大，也使复杂的算术运算有了实施的可能。这标志着人类掌握的数
的语言，已从少量的文字个体，发展到了一个具有完善运算规则的数系。人类第一个认识的这个数系，就
是常说的自然数系。当然，自然数系远远不是完美无缺的。由于自然数系是一个离散的数系，因此它只限
于去表示一个单位，为了创造一个既符合实际又满足于理论上的需要的强有力的工具，我们必须把数的
原始概念，即只把自然数当作数的这种概念，大大推广。在一个漫长而曲折的发展过局纳猛程中，零、负整数、分
数逐渐取得了和正整数同样的地位;而且今天这些数的运算规则已为普通中、小学校的学生所掌握。
1.2作为度f工具的有理数
自然数是从计算有限集合的元素的个数的过程中抽象出来的。但在日常生活中，我们不仅要数单个
的对象，而且也需要度量像长度、面积、重量和时间这样的量。如果我们要能够自如地度量这种能任意细
分的量，就必须把算术的范围扩展到自然数的范围之外，第一步是把度量的问题变为计数的问题。首先我
们任意地选择一个度量单位，比如英尺、英寸、磅、克或秒等等，当然我们选择哪一个度量单位根据实际情
况而定，并规定此度量单位为1，然后我们数一数被度量的那个量包含了多少个单位，例如某一块金属可
能恰好是37英磅，但是一般说来，算单位的个数的过程中，某结果不一定是“正好算完”，即给定的量不一
定恰好是我们所选择的单位的整数倍。可以茄乎说，在大多数情况下它是介于这个单位的两个相邻倍数之间，
例如36磅和37磅之间。遇到这种情况时，我们可以通过把原单位分成n等分，引进一个新的小单位。即
在数学的符号体系中，把原来一个单位分为。等分而得到的小单位，用符号上来表示;如果一个给定的量
恰好包含m个小单位，它的度量将用符号m来表示。这个符号称为分数或比，人类在长期的社会生产实
践中才认识到符号m脱离了它同测量过程及被测量的量的具体关系，而被看作是一种纯粹的数，它本身
作为一个实体与自然数有同样的地位，当和是自然数时，我们称符号m称为有理数。引进有理数，除了
n
有其“实际”的原因而外，还有一个更内在的，从某些方面来看甚至是更为迫切的理由就是运算的封闭性。
在通常的自然数的算术中，我们总能进行两个基本运算:加法和乘法，但是“逆运算”减法和除法并不总是
可行的。两个整数a,6的差6-a是一个使得a+c=6的整数。，即方程a+x=6有解。但在自然数的范围内，符
号b-a仅限于6>a时才有意义，因为只有这时方程a+x=b才有一个自然数的解x，通过引进了符号一1,-2,
-3 } ..，以及对6 <a的情况，定义6-a=一(a-的这就保证了减法能在正整数和负整数范围内无限制地进行。
为了在一个扩大了的既包括正整数，又包括负整数的算术中引进新的符号一1,-2,-3,}}}，当然我们必须定
义它们的运算，使得算术运算原来的规律保持不变。因为在这种扩大了的数的范围内，不仅形式上的结合
律、交换律和分配律成立，而且方程a+x=6和。=6不受限制地总有解二二6-。和鱼(a}0)。通过引进新的
a
符号，扩充一个范围，使得在原来范围内成立的规律，在这更大的范围内继续成立，这是数系扩充的一个
特征。从自然数扩充到有理数，既满足去掉减法和除法的限制这一理论上的需要，也满足用数学来表示度
量结果这一实际上的需要。也正是由于有理数适应了这两方面的需要，这就使得有理数有了它真正的重
大意义。
I .3不可公度线段，无理数的引入
在比较两个线段a和6的长度时，可能6恰好是a的正整数倍，在这种情况下，我们可以用a来表示
线段b的度量，即b=ar(;为整数)，也可能出现a的整数倍不等于6的情况，这时我们把a分为n等分，每
一个单位长为生，使得线段生的某个整数m倍等于6。即b='"-,a-当形如此式的等式成立时，我们说两个
线段a和b是可公度的，因为它们有一公共度量线段生，它的n倍等于a，而它的m倍等于6。就度量的实
n
际目的来说，有理数完全够了，即使从理论上讲，由于全体有理点稠密地布满整个直线，似乎直线上的所
有点都是有理点。如果这是真的，则任何一条线段将和单位长线段可公度。但是情况的解决并不是这么简
单，这就是早期希腊数学最惊的发现之一。存在着不可公度线段，或者说，如果我们认为每一线段都对应
着借助于单位长度而给出的一个数，则存在着无理数。
例如，一个正方形的对角线与它的边是不可公度的，我们可以假设，给定的正方形的边是选定的单位
长，而对角线的长为:。则根据勾股定理有xz=I z+Iz=2，如果:与I是可公度的，我们就能找到两个整数P
和“，使得x=令 }P ,9“互质’。则”x=29z,由于等式右边为偶数，所以Pz为偶数，故“本身是偶数，故代人，二
2r上式得4r} _匆z}9 z_2t}9为偶数，与P,9互质矛盾!因而xz=1z+1’不成立，x不能是有理数。由此我们
得出结论:没有等于V丁的有理数。我们很容易作出许多与单位长不可公度的线段，如果在数轴上以0
为起点把这些线段标出来，则它们的端点称为无理点。用数来度量长度时我们引进了分数，现在我们要用
同样的办法来处理与单位长不可公度的线段时，即我们要将数与直线上的点之间建立对应关系，就必须
引进无理数。因此我们可以说一个无理数表示一个与单位长不可公度的线段的长度。
1.4虚数的起源与引入
人们在长期的社会实践中认识到，在数学发展史上，在数学思想的发展过程中，数学的发展以及数学
中的发明创造决不是个别人努力的结果，它们是具有继承性的逐步演化的过程的产物，而不能把主要功
劳归于某个人，为了便于作形式计算，需要用到负数和有理数，它们并不象自然数那样直观具体，直到中
世纪末，数学家们在用到这些概念时才开始失去不舒适的感觉，直到十九世纪中叶，数学家们才完全认识
到，在一个扩充的数域中的运算，其逻辑和哲学基础本质上是形式主义的;这扩充的数域必须通过定义来
创造，这些定义是随意的，但是如果不能在更大的范围内保持在原来范围内通行的规则和性质，它是毫无
用处的。这些扩充有时可以和“实际”对象相联系，通过这种方式为新的应用提供工具，这是最重要的，但
是这只能提供一种动力而不是扩充的合理性的逻辑证明。
最早要求应用复数是为了解二次方程，我们知道，线性方程。幼，这里要确定的是未知量x，方程的
解是x=牛，如果要求每一个带有整数系数a}0和6}0的线性方程有唯一解。必须引进有理数。象xZ=2
’一’‘一’一b’‘”’一’一’一‘”一”一一“’一一‘一”’一‘一’一、‘一“一’‘~’“’“一‘~‘’一’‘一一。‘-一一
这样的方程，在有理数域内不存在解x，这促使我们构造一个更广的数域，使得在这个数域中有解，然而即
使实数域也没能足以提供二次方程的完整理论，比如，x}二一1这样一个简单的方程没有实数解，因为任意
实数的平方不可能为负数。我们或者满足于宣称这个简单的方程不可解，或者按照我们所熟悉的扩充数
的概念的途径引进使得这个方程可解的数，当我们用定义i=-1引进新的符号1时，这个方程就可解了。当
然，对于把数作为计数手段这样的概念来说，这个符号1是“虚数单位”是不起作用的。这纯粹是一个符号，
它服从于基本规则i2=-1，而其价值将完全取决于究竟这个引进是否真正有用以及数系的这个扩充能不
能实现。我们通过如下定义对数的系统进行推广:一个形如a+bi的符号，其中a和6是任意两个实数，我
们称a+bi为复数。
2数系的扩充
2.1由自然数集N到整数集Z的扩充
要把自然数集扩充为整数集，需定义新数零和负整数。我们采用对原有集合划分等价类的方法进行。
我们把一个自然数“折成两个”，例如:
2=3-1=4-2=5-3=6一二}_5=g_6=...
所以自然数2对应一系列有序自然数对(3,1),(4,2),(5,3),(6,4),(7,5),(8,6)"""，这些数对有下
列关系:
4+1=3+2;5+2=3+4;6+3=4+5，…
因此，我们可以把一个自然数看作是有序自然数对的集合{(m,n:m>n)}，并且这个集合是一个等价
类，等价关系是:
(m,n)一伽,q )tip+n=q+m,
我们把这个等价类记为.孤下万。去掉限制m>n，我们就得到了负整数和零。
定义4在笛卡尔积NxN中定义一个关系如下:
(m,n)一((p ,q )tip+n=q+m,
则“一”为一等价关系，等价类
(m,n)={(P,q):(P}9)一(m,n)
称为整数商集。
Z=NxNI}={(蔽丽}
称为整数集。
进而可以在Z中定义加法、乘法;可以证明对加法存在零元(记作0),0软不1万，关于加法构成交换群;
还可以证明对乘法存在单位元1=.(2,1)，以及乘法对于加法是双侧分配的，因此，(Z,+,")是一个带单位
元1}0的交换环，注意到Va,6 e Z，从a"b=0可推出二0或6=0，所以(Z,+,)是一个整环。
2.2从整数集到有理数集的扩充
从自然数集扩充到整数集是为了对daeN，使加法有逆元，也即要使减法永远可施行。为了使整数集
中每一非零元关于乘法有逆元，即使除法(除数不为零)永远可施行，需将整数集再扩充为有理数集，方法
仍然是在原有集Z中引人等价关系，划分等价类。因为除数不能为零，所以要对笛卡尔积稍作处理，记Z，=
z-(o )。
在卡氏积ZxZ'中定义一关系如下:设(a,6),(c,d)eZxZ'。则(a,6)一(c,d)t}bc=ad可以证明“一”是一
个等价关系，事实上，我们有:
(1)ab=ab，所以(a,b卜(a}b)，自反性成立。
(2)若(a,6)一(c,d)，则bc=ad，所以da=cb，推出(c,d)一(a,6)，即对称性成立。
(3)若(a,b卜(c,d)且(c,d卜(e刀。则有bc=ad且de=cf}bcde=adef，即(动" (cd)二(be) " (cd)，考虑到
Z是整环，所以be=of，于是((a,6)一((e刃。即传递性成立。
定义5等价类
(a,6)二{(。,d)。ZxZ':(。,d)一(a,6)}
称为有理数，有时为了方便，将丈万两万记为_a6，商集
Q=ZxZ，一{丽或舍一Z,b·‘，}
称有理数集。
进而可在Q中定义加法(+)、乘法(·)，并可证明((Q}+)是一个交换群，(Q，·)是一个带单位元的交换
半群，(Q}+} ")是一个带单位元的交换环，还可以证明(Q’，·)(其中Q}=Q_}0))是交换群。因此(Q}+}')是
一个域，即有理数域。
2.3从有理数集到实数集的扩充
从有理数集到实数集的扩充是为了使开方运算永远可施行只是其一方面。
开方运算结果所得的数，而是有理数叫(1+ n )n} '} n-}+oo时的极限
因为像数。，它并不是一个
而√2也是有理数列:
1,1.4,1.41,1.414,}}}(√2的不足近似值所组成的数列)的极限。因此从有理数集到实数集的扩充是为了
解决极限运算封闭的问题，扩充的思想方法与从自然数集到整数集的扩充、从整数集到有理数的扩充是
类似的，只是具体做法有所不同而已。
参考文献:
[1]胡炳生等.现代数学观点下的中学数学.北京:高等教育出版社，1999.
[2]张楚廷.数学文化.北京:高等教育出版社，2000.
[3]欧阳绛.数学的艺术.北京:农村读物出版社，1997.
[4]刘意竹等.小学数学教材教法.北京:人民教育出版社，1994.