判断正定性的方法有哪些

⑴ 矩阵的正定性怎么判断

其顺序主子式大于0.

所有特征值大于0也能判断其正枯物茄定，而且是对称正没察定（充要条蚂如件）。

⑵ 如何判断二次型的正定性

1、行列式法

对于给定的二次型

⑶ 判定函数的正定性怎么判断

我只知道定义在实（复）线性空间V上对称双线性函数（Hermite共铅猜轭双线性函数）的正定性圆孙
对称双线性函数f(a,b)（定义在实线性空间V上）不仅满足双线性，还满足对称性f(a,b)=f(b,a)
f(a,b)=xTAy,其中x，y分别是a，b在空间V的基{a1,a2......an}的坐标
f(a,b)=f(b,a)等价于A=AT即A是实对称阵

f(a,b)正定当且仅当任意a（a不为0）属于V，f(a,a)>0(一种判定方法),其等价于实对称阵A正定，而实对称阵A正定的判定方法：1.A的特征值全是正数。2.可以找到一个可逆实方阵p使A=pTp。3.A的顺序主子式都大于0（还有其他方法但麻烦）
平行的有
Hermite共轭双线性函数f(a,b)不仅满足双线性，还满足共轭对称性f(a,b)=（f(b,a))'(记a‘为a的共轭)

f(a,b)=x’TAy,其中x，y分别是a，b在空间V的基{a1,a2......an}的坐标

f(a,b)=（f(b,a))'等价于A=A‘T，即橘激链A是Hermite阵

f(a,b)正定当且仅当任意a（a不为0）属于V，f(a,a)>0(一种判定方法),其等价于Hermite阵A正定，而Hermite阵A正定的判定方法：1.A的特征值全是正数。2.可以找到一个可逆复方阵p使A=p’Tp。3.A的顺序主子式都大于0（还有其他方法但麻烦）

⑷ 如何辨别正定和半正定和负定。

一、正定矩阵判定：

1、正定矩阵的任一主子矩阵也是正定矩阵。

2、若A为n阶对称正定矩阵，则存在唯一的主对角线元素都是正数的旅枝渣下三角阵L，使得A=L*L′，此分解式称为 正定矩阵的楚列斯基（Cholesky）分解。

3、若A为n阶正定矩阵，则A为n阶可逆矩阵。

二、判定一个矩阵半正定：

1、对于半正定矩阵来说，相应的条件应改为所有的主子式非负。顺序主子式非负并不能推出矩阵是半正定的。

2、半正定矩阵：设A是实对称矩阵。如果对任意的实非零列矩阵X有XT*A*X≥0，就称A为半正定矩阵。

3、A∈Mn（K）是半正定矩阵的充分条件是：A的拆悄所有主子式大于或等于零。

三、负定矩阵判定：

1、设A是实对称矩阵。如果对任意的实非零列矩阵X有XTAX<0，就称A为负定矩阵。

2、A∈Mn（K）是负定矩阵的充要条件是：-A是正定矩阵。

3、A∈Mn（K）是负定矩阵的充要条件是：$A^{-1}$是负定矩阵。

4、A∈Mn（K）是负定矩阵的充要条件是：A的所有奇数阶顺序主子式小于零，所有偶数阶顺序主子式大于零。

若Q>0就称A为正定矩阵。若 Q<0则A是一个负定矩阵，若Q>=0则A为半正定矩阵，若A既非半正定，也非半负定，则A为不定矩阵 。对称矩阵的正定性与其特征值密切相关。矩阵是正定的当且仅当其特征值都是正数。

实对称矩阵A是负定的，如果二次型f(x1,x2,...,xn)=X'AX负定。矩阵负定的充分必要条件是它的特征值都小于零。若矩阵A是n阶负定矩阵，则A的偶数阶顺序主子式大于 0，奇数阶顺序主子式小于 0。

实对称矩阵A称为半正定的，如果二次型X'AX半正定，即对于任意不为0的实列向量X，有X'AX≥0；

⑸ 矩阵正定性的性质和判别

矩阵正定性的性质：

1、州拆正定矩阵的特征值都是正数。

2、正定矩阵的主元也都是正数。

3、正定矩阵的所有子行列式都是正数。

4、正定矩阵将方阵特征值，主元，行列式融为一体。

正定矩阵的判别方法：

1、 对称矩阵A正定的充分必要条件是A的清郑n个特征值全是正数。

2、对称矩阵A正定的充分必要条件是A合同于单位矩阵E。

3、对称矩阵A正定(半正定)的充分必要条件是存在n阶可逆矩阵U使A=U^TU

4、对称矩阵A正定，则A的主对角线元素均为正数。

5、对称矩阵A正定的充分必要条件是:A的n个顺序主子式全大于零。

(5)判断正定性的方法有哪些扩展阅读：

广义的正定矩阵判断：

设M是n阶方阵，如果对任何答迹颂非零向量z，都有zTMz> 0，其中zT 表示z的转置，就称M正定矩阵。

例如：B为n阶矩阵，E为单位矩阵，a为正实数。aE+B在a充分大时，aE+B为正定矩阵。（B必须为对称阵）

狭义正定矩阵判断：

一个n阶的实对称矩阵M是正定的当且仅当对于所有的非零实系数向量z，都有zTMz> 0。其中zT表示z的转置。

⑹ 正定性的判定

设实对称矩阵A，如果对于任意的实非零向量x≠0有x^TAx>0,则矩阵A称为正定的。正定铅芦矩阵的性质与判别方法 1. 对称矩歼激歼阵A正定的充分必要条件是A的n个特征值全是正数。 2．对称矩阵A正定的充分必要条件是A合同于单位矩阵E。 3．对称矩阵A正定（半正氏冲定）的充分必要条件是存在n阶可逆矩阵U使A=U^TU 4．对称矩阵A正定，则A的主对角线元素均为正数。 5．对称矩阵A正定的充分必要条件是：A的n个顺序主子式全大于零。