可以用哪些矩阵方法证明不等式

❶ 关于矩阵的秩的问题 不等式r(A)+r(B)=>r（A+B） 如何证明啊谢谢 大一刚学老师没讲 做题的时候要用

证明方法有很多，这里用一个方程的思想
R(A)=r1,R(B)=r2 r(A+B)=r3
作分块阵(A,B),设这个分块阵为秩为r4
显然 r1+r2>=r4
列方程
(A,B)X=0
及 (A+B)X=0
可以知道，第一个方程的解必然是第2个方程的解。说明解空间中，第一个方程的解空间的维度
n-r4不会大于第个方程解空间的维度n-r3

即n-r4<=n-r3 r4>=r3
r1+r2>=r4>=r3
证毕

❷ 矩阵不等式的推论有哪些

原因如下：

设 A是 m×n 的矩阵，可以通过证明 Ax=0 和A'Ax=0 两个n元齐次方程同解证得 r(A'A)=r(A)。

1、Ax=0 肯定是 A'Ax=0 的解，好理解。

2、A'Ax=0 → x'A'Ax=0 → (Ax)' Ax=0 →Ax=0。

故两个方程是同解的。

同理可得 r(AA')=r(A')。

另外 有 r(A)=r(A')。

所以综上 r(A)=r(A')=r(AA')=r(A'A)。

矩阵的秩不等式

(1)矩阵A的秩等于矩阵A的转置的秩，也即矩阵的行秩=列秩。

证明思路：一个矩阵经过一系列初等变换，都可以对应到一个标准型，而标准型的非零行数就是矩阵的秩。又因为矩阵的标准型是唯一的，所以矩阵的行秩与矩阵的列秩一定相等。

(2)矩阵A的秩等于矩阵A转置乘矩阵A的秩。

证明思路：分别构造构造齐次的线性方程组，Ax=0与A转置乘Ax=0同解。因为可以使用前面一个方程式子推到后面一个方程式，反之，倒过来也成立。两个方程组同解，故秩相等，即得到证明。

❸ 不等式证明都有哪几种方法

不等式的证明方法
（1）比较法：作差比较：.
作差比较的步骤：
①作差：对要比较大小的两个数（或式）作差.
②变形：对差进行因式分解或配方成几个数（或式）的完全平方和.
③判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号.
注意：若两个正数作差比较有困难，可以通过它们的平方差来比较大小.
（2）综合法：由因导果.
（3）分析法：执果索因.基本步骤：要证……只需证……，只需证……
①“分析法”证题的理论依据：寻找结论成立的充分条件或者是充要条件.
②“分析法”证题是一个非常好的方法，但是书写不是太方便，所以我们可以利用分析法寻找证题的途径，然后用“综合法”进行表达.
（4）反证法：正难则反.
（5）放缩法：将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的.
放缩法的方法有：
①添加或舍去一些项，如：；；
②将分子或分母放大（或缩小）；
③利用基本不等式，如：；；
（6）换元法：换元的目的就是减少不等式中变量，以使问题化难为易，化繁为简，常用的换元有三角换元和代数换元.
如：已知，可设；
已知，可设()；
已知，可设；
已知，可设；
（7）构造法：通过构造函数、方程、数列、向量或不等式来证明不等式；
证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法和数学归纳法仍是证明不等式的最基本方法．要依据题设、题断的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点．
⑻数学归纳法法：数学归纳法法证明不等式在数学归纳法中专门研究.

❹ 高数，证明不等式都有哪些方法

一：假设证明fx<gx
解：令Fx=fx-gx，对Fx求导，得到Fx的单调性，再求一次极限得到Fx的符号，就证明完毕了。（如果一阶导看不出来，就求二阶导，然后得到一阶导的单调性，通过极限得知一阶导的符号。）

二：构造函数 ，例如证明a的b次<b的a次
解：原式=b*lna<a*lnb=a/lna<b/lnb，构造函数fx=lnx/x

❺ 不等式的证明方法有哪些

1.比较法比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法之一，它是两个实数大小顺序和运算性质的直接应用，比较法可分为差值比较法(简称为求差法)和商值比较法(简称为求商法)。 (1)差值比较法的理论依据是不等式的基本性质：“a-b≥0a≥b；a-b≤0a≤b”。其一般步骤为：①作差：考察不等式左右两边构成的差式，将其看作一个整体；②变形：把不等式两边的差进行变形，或变形为一个常数，或变形为若干个因式的积，或变形为一个或几个平方的和等等，其中变形是求差法的关键，配方和因式分解是经常使用的变形手段；③判断：根据已知条件与上述变形结果，判断不等式两边差的正负号，最后肯定所求证不等式成立的结论。应用范围：当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时一般使用差值比较法。 (2)商值比较法的理论依据是：“若a，b∈R+，a/b≥1a≥b；a/b≤1a≤b”。其一般步骤为：①作商：将左右两端作商；②变形：化简商式到最简形式；③判断商与1的大小关系，就是判定商大于1或小于1。应用范围：当被证的不等式两端含有幂、指数式时，一般使用商值比较法。 2.综合法利用已知事实(已知条件、重要不等式或已证明的不等式)作为基础，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后推出所要证明的不等式，其特点和思路是“由因导果”，从“已知”看“需知”，逐步推出“结论”。其逻辑关系为：AB1 B2 B3… BnB，即从已知A逐步推演不等式成立的必要条件从而得出结论B。 3.分析法分析法是指从需证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件，进而转化为判定那个条件是否具备，其特点和思路是“执果索因”，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”。用分析法证明AB的逻辑关系为：BB1B1 B3 … BnA，书写的模式是：为了证明命题B成立，只需证明命题B1为真，从而有…，这只需证明B2为真，从而又有…，……这只需证明A为真，而已知A为真，故B必为真。这种证题模式告诉我们，分析法证题是步步寻求上一步成立的充分条件。 4.反证法有些不等式的证明，从正面证不好说清楚，可以从正难则反的角度考虑，即要证明不等式A>B，先假设A≤B，由题设及其它性质，推出矛盾，从而肯定A>B。凡涉及到的证明不等式为否定命题、惟一性命题或含有“至多”、“至少”、“不存在”、“不可能”等词语时，可以考虑用反证法。 5.换元法换元法是对一些结构比较复杂，变量较多，变量之间的关系不甚明了的不等式可引入一个或多个变量进行代换，以便简化原有的结构或实现某种转化与变通，给证明带来新的启迪和方法。主要有两种换元形式。(1)三角代换法：多用于条件不等式的证明，当所给条件较复杂，一个变量不易用另一个变量表示，这时可考虑三角代换，将两个变量都有同一个参数表示。此法如果运用恰当，可沟通三角与代数的联系，将复杂的代数问题转化为三角问题根据具体问题，实施的三角代换方法有：①若x2+y2=1，可设x=cosθ，y=sinθ；②若x2+y2≤1，可设x=rcosθ，y=rsinθ(0≤r≤1)；③对于含有的不等式，由于|x|≤1，可设x=cosθ；④若x+y+z=xyz，由tanA+tanB+tanC=tanAtan-BtanC知，可设x=taaA，y=tanB，z=tanC，其中A+B+C=π。(2)增量换元法：在对称式(任意交换两个字母，代数式不变)和给定字母顺序(如a>b>c等)的不等式，考虑用增量法进行换元，其目的是通过换元达到减元，使问题化难为易，化繁为简。如a+b=1，可以用a=1-t，b=t或a=1/2+t，b=1/2-t进行换元。 6.放缩法放缩法是要证明不等式A<B成立不容易，而借助一个或多个中间变量通过适当的放大或缩小达到证明不等式的方法。放缩法证明不等式的理论依据主要有：(1)不等式的传递性；(2)等量加不等量为不等量；(3)同分子(分母)异分母(分子)的两个分式大小的比较。常用的放缩技巧有：①舍掉(或加进)一些项；②在分式中放大或缩小分子或分母；③应用均值不等式进行放缩。 1、比较法（作差法） 在比较两个实数 和 的大小时，可借助 的符号来判断。步骤一般为：作差——变形——判断（正号、负号、零）。变形时常用的方法有：配方、通分、因式分解、和差化积、应用已知定理、公式等。 例1、已知： ， ，求证： 。 证明： ，故得 。 2、分析法（逆推法） 从要证明的结论出发，一步一步地推导，最后达到命题的已知条件（可明显成立的不等式、已知不等式等），其每一步的推导过程都必须可逆。 例2、求证： 。 证明：要证 ，即证 ，即，，，， ，由此逆推即得 。 3、综合法 证题时，从已知条件入手，经过逐步的逻辑推导，运用已知的定义、定理、公式等，最终达到要证结论，这是一种常用的方法。 例3、已知： ， 同号，求证： 。 证明：因为 ， 同号，所以 ， ，则 ，即。 4、作商法（作比法） 在证题时，一般在 ， 均为正数时，借助 或 来判断其大小，步骤一般为：作商——变形——判断（大于1或小于1）。 例4、设 ，求证： 。 证明：因为 ，所以 ， 。而 ，故。 5、反证法 先假设要证明的结论不对，由此经过合理的逻辑推导得出矛盾，从而否定假设，导出结论的正确性，达到证题的目的。 例5、已知 ， 是大于1的整数，求证： 。 证明：假设 ，则 ，即 ，故 ，这与已知矛盾，所以 。 6、迭合法（降元法） 把所要证明的结论先分解为几个较简单部分，分别证明其各部分成立，再利用同向不等式相加或相乘的性质，使原不等式获证。 例6、已知： ， ，求证： 。 证明：因为 ，， 所以， 。 由柯西不等式 ，所以原不等式获证。 7、放缩法（增减法、加强不等式法） 在证题过程中，根据不等式的传递性，常采用舍去一些正项（或负项）而使不等式的各项之和变小（或变大），或把和（或积）里的各项换以较大（或较小）的数，或在分式中扩大（或缩小）分式中的分子（或分母），从而达到证明的目的。值得注意的是“放”、“缩”得当，不要过头。常用方法为：改变分子（分母）放缩法、拆补放缩法、编组放缩法、寻找“中介量”放缩法。 例7、求证： 。 证明：令 ，则 ， 所以。 8、数学归纳法 对于含有 的不等式，当 取第一个值时不等式成立，如果使不等式在 时成立的假设下，还能证明不等式在 时也成立，那么肯定这个不等式对 取第一个值以后的自然数都能成立。 例8、已知： ，， ，求证： 。 证明：（1）当时， ，不等式成立； （2）若时， 成立，则 =， 即 成立。 根据（1）、（2）， 对于大于1的自然数 都成立。 9、换元法 在证题过程中，以变量代换的方法，选择适当的辅助未知数，使问题的证明达到简化。 例9、已知： ，求证： 。 证明：设， ，则， （因为 ，）， 所以。

❻ 不等式的证明的好例题

三角形内角的嵌入不等式
三角形内角的嵌入不等式，在不至于引起歧义的情况下简称嵌入不等式。该不等式指出，若A、B、C是一个三角形的三个内角，则对任意实数 x、y、z，有：

算术-几何平均值不等式
在数学中，算术-几何平均值不等式是一个常见而基本的不等式，表现了两类平均数：算术平均数和几何平均数之间恒定的不等关系。设为 n 个正实数，它们的算术平均数是，它们的几何平均数是 。算术-几何平均值不等式表明，对任意的正实数，总有：

等号成立当且仅当 。
算术-几何平均值不等式仅适用于正实数，是对数函数之凹性的体现，在数学、自然科学、工程科学以及经济学等其它学科都有应用。
算术-几何平均值不等式经常被简称为平均值不等式（或均值不等式），尽管后者是一组包括它的不等式的合称。

例子
在 n = 4 的情况，设: ， 那么
.
可见。
历史上的证明
历史上，算术-几何平均值不等式拥有众多证明。n = 2的情况很早就为人所知，但对于一般的 n，不等式并不容易证明。1729年，英国数学家麦克劳林最早给出了一般情况的证明，用的是调整法，然而这个证明并不严谨，是错误的。
柯西的证明
1821年，法国数学家柯西在他的着作《分析教程》中给出了一个使用逆向归纳法的证明[1]：
命题Pn：对任意的 n 个正实数，
1. 当 n=2 时，P2 显然成立。
2. 假设 Pn 成立，那么 P2n 成立。证明：对于2n 个正实数，

3. 假设Pn成立，那么Pn − 1成立。证明：对于n - 1 个正实数，设，，那么由于Pn成立， 。
但是 ， ，因此上式正好变成

综合以上三点，就可以得到结论：对任意的自然数 ，命题 Pn 都成立。这是因为由前两条可以得到：对任意的自然数 k，命题 都成立。因此对任意的 ，可以先找 k 使得 ，再结合第三条就可以得到命题 Pn 成立了。
归纳法的证明
使用常规数学归纳法的证明则有乔治·克里斯托（George Chrystal）在其着作《代数论》（algebra）的第二卷中给出的[2]：
由对称性不妨设 xn + 1 是 中最大的，由于 ，设 ，则 ，并且有 。
根据二项式定理，

于是完成了从 n 到 n + 1 的证明。
此外还有更简洁的归纳法证明[3]：
在 n 的情况下有不等式 和 成立，于是：

所以 ，从而有。
基于琴生不等式的证明
注意到几何平均数 实际上等于 ，因此算术-几何平均不等式等价于：
。
由于对数函数是一个凹函数，由琴生不等式可知上式成立。

此外还有基于排序不等式、伯努利不等式或借助调整法、辅助函数求导和加强命题的证明。
推广
算术-几何平均不等式有很多不同形式的推广。
加权算术-几何平均不等式
不仅“均匀”的算术平均数和几何平均数之间有不等式，加权的算术平均数和几何平均数之间也有不等式。设 和 为正实数，并且 ，那么：
。
加权算术-几何平均不等式可以由琴生不等式得到。
矩阵形式
算术-几何平均不等式可以看成是一维向量的系数的平均数不等式。对于二维的矩阵，一样有类似的不等式： 对于系数都是正实数的矩阵

设 ，，那么有：

也就是说：对 k 个纵列取算术平均数，它们的几何平均大于等于对 n 个横行取的 n 个几何平均数的算术平均。
极限形式
也称为积分形式：对任意在区间[0,1]上可积的正值函数 f，都有

这实际上是在算术-几何平均值不等式取成 后，将两边的黎曼和中的 n 趋于无穷大后得到的形式。
伯努利不等式
数学中的伯努利不等式是说：对任意整数，和任意实数，
；
如果是偶数，则不等式对任意实数x成立。
可以看到在n = 0,1，或x = 0时等号成立，而对任意正整数和任意实数，，有严格不等式：
。
伯努利不等式经常用作证明其他不等式的关键步骤。
[编辑] 证明和推广
伯努利不等式可以用数学归纳法证明：当n = 0,1，不等式明显成立。假设不等式对正整数n，实数时成立，那么

。
下面是推广到实数幂的版本：如果x > − 1，那么：
若或，有；
若，有。
这不等式可以用导数比较来证明：
当r = 0,1时，等式显然成立。
在上定义f(x) = (1 + x)r − (1 + rx)，其中， 对x微分得f'(x) = r(1 + x)r − 1 − r， 则f'(x) = 0当且仅当x = 0。分情况讨论：
0 < r < 1，则对x > 0，f'(x) < 0；对 − 1 < x < 0，f'(x) > 0。因此f(x)在x = 0时取最大值0，故得。
r < 0或r > 1，则对x > 0，f'(x) > 0；对 − 1 < x < 0，f'(x) < 0。因此f(x)在x = 0时取最小值0，故得。
在这两种情况，等号成立当且仅当x = 0。
[编辑] 相关不等式
下述不等式从另一边估计(1 + x)r：对任意x, r > 0，都有
。
佩多不等式
几何学的佩多不等式，是关连两个三角形的不等式，以唐·佩多(Don Pedoe)命名。这不等式指出：如果第一个三角形的边长为a,b,c，面积为f，第二个三角形的边长为A,B,C，面积为F，那么：
，
等式成立当且仅当两个三角形为一对相似三角形，对应边成比例；也就是a / A = b / B = c / C。
[编辑] 证明
由海伦公式，两个三角形的面积可用边长表示为
16f2 = (a + b + c)(a + b − c)(a − b + c)(b + c − a) = (a2 + b2 + c2)2 − 2(a4 + b4 + c4)
16F2 = (A + B + C)(A + B − C)(A − B + C)(B + C − A) = (A2 + B2 + C2)2 − 2(A4 + B4 + C4),
再由柯西不等式，
16Ff + 2a2A2 + 2b2B2 + 2c2C2

= (a2 + b2 + c2)(A2 + B2 + C2)
于是，

= A2(b2 + c2 − a2) + B2(a2 + c2 − b2) + C2(a2 + b2 − c2) ，命题得证。
等号成立当且仅当,也就是说两个三角形相似。

ABC是第一个三角形，A'B'C'是取相似后的第二个三角形，BC与B'C'重合
几何证法
三角形的面积与边长的平方成正比，因此在要证的式子两边同乘一个系数λ2，使得λA = a，几何意义是将第二个三角形取相似（如右图）。
设这时A、B、C变成x、y、z，F变成F'。
考虑 AA' 的长度。由余弦公式，

将,代入就变成：

两边化简后同时乘以，并注意到a=x，就可得到原不等式。
等号成立当且仅当A与A'重合，即两个三角形相似。

内斯比特不等式
内斯比特不等式是数学的一条不等式，它说对任何正实数a，b，c，都有：

[编辑] 证明
此不等式证明方法很多，例如从平均数不等式我们有：
，
移项得出：
，
整理左式：
，
。
因而不等式得证。

埃尔德什－莫德尔不等式

如图，埃尔德什-莫德尔不等式说明点O到三个顶点的距离之和（绿色线段）大于到三边距离之和（蓝色线段）的两倍
在几何学中，埃尔德什-莫德尔不等式是一个二十世纪初期发现的不等式。埃尔德什-莫德尔不等式说明了：对于任何三角形ABC和其内部的一点O，点O到三角形三条边的距离之和总是小于或等于点O到三角形的三个顶点的距离之和的一半。
埃尔德什-莫德尔不等式可以认为是几何学中的欧拉定理的一个推广。欧拉定理声称三角形外接圆的半径总是大于等于内切圆半径的两倍。
[编辑] 历史
该不等式最早由埃尔德什在1935年在《美国数学月刊》上提出，作为第3740号问题。两年之后，由路易斯·莫德尔和D.F.巴罗证明。1957年，卡扎里诺夫提出了一个更简捷的证明[1]。之后不断有更简洁、更基本的证明出现。1958年班考夫（Bankoff）给出了运用正交投影和相似三角形的证明，1997年和2004年出现了使用面积不等式的证明，1993年和2001年发现了根据托勒密定理的证明。
[编辑] 证明
如右图，O为三角形ABC中的一个点。O到三角形三边的垂线分别交三条边于D、E、F。设线段OA、OB、OC的长度分别是x、y、z，线段OD、OE、OF的长度分别是p、q、r，那么埃尔德什-莫德尔不等式为：

一个初等的证明方式是使用三角函数以及均值不等式。
首先，由于OF垂直于AF，OE垂直于AE，A、F、O、E四点共圆且OA为直径，因此线段（角A为顶点A对应的内角）。
过点F、E作关于BC的垂线交BC于X、Y。过O作BC的平行线分别交FX、EY于U、V。由于OF垂直于AF，OE垂直于AE，，。于是：

另一方面，注意到在直角梯形中FUVE中，斜腰EF的长度大于等于直角腰UV。因此：

类似地，还有：
，
三式相加，得到：

根据均值不等式，，等等，于是最终得到：

这就是埃尔德什-莫德尔不等式。
外森比克不等式
设三角形的边长为a,b,c，面积为A，则外森比克不等式（Weitzenböck's inequality）成立。当且仅当三角形为等边三角形，等号成立。佩多不等式是外森比克不等式的推广。
[编辑] 证明一
除了“所有平方数非负”以外，这个证明不用到其它任何不等式。

两边取平方根，即得证。
舒尔不等式
舒尔不等式说明，对于所有的非负实数x、y、z和正数t，都有：

当且仅当x = y = z，或其中两个数相等而另外一个为零时，等号“=”成立。当t是正的偶数时，不等式对所有的实数x、y和z都成立。
[编辑] 证明
由于不等式是对称的，我们不妨设。则不等式

显然成立，这是因为左边的每一项都是非负的。把它整理，即得舒尔不等式。
[编辑] 推广
舒尔不等式有一个推广：
假设a、b、c是正的实数。如果（a，b，c）和（x，y，z）是顺序的，则以下的不等式成立：

2007年，罗马尼亚数学家Valentin Vornicu证明了一个更一般的形式：
考虑，其中，而且要么，要么。设，并设要么是凸函数，要么是单调函数。那么：

当x = a、y = b、z = c、k = 1、ƒ(m) = mr时，即化为舒尔不等式。[1]