二次函数解析简便方法

‘壹’ 急！现在等。求二次函数解析式的简便方法！！！

首先，求二次函数解析式有三种方法，分别是
①一般式，即已知题设给出三个点的坐标，则设y=ax²+bx+c然后列一个三元一次方程求解即可
②顶点式，即已知题设给出二次函数的顶点坐标（h，k）和一个任意点的坐标，设y=a（x-h）²+k，再将任意点坐标带入求解即可
③两根式（又叫交点式），即已知题设给出二次函数与x轴的两个交点（x1，0）和（x2，0），再给一个任意点坐标即可求解，设y=a（x-x1）（x-x2），在将任意点坐标带入即可求解（注：此种方法必须在二次函数与X轴有交点才可使用）

‘贰’ 求二次函数解析式有几种方法

二次函数
二次函数解析析常用的有两种存在形式：一般式和顶点式.
（1）一般式：由二次函数的定义可知：任何二次函数都可表示为y=ax2+bx+c(a≠0),这也是二次函数的常用表现形式，我们称之为一般式.
(2)顶点式：二次函数的一般式通过配方法可进行如下变形：
y=ax2+bx+c=a(x2+
)=a[x2+
]=(a+
)
由二次函数图象性质可知：（－
）为抛物线的顶点坐标，若设
－
=h,
=k，二次函数的解析式变为：y=a(x－h)2+k(a≠0),其中（h,k）为抛物线的顶点坐标，所以，称y=a(x－h)2+k(a≠0)为二次函数的顶点式.特别地，当顶点在y轴上时，h=0，顶点式为y=ax2+k；当顶点在x轴上时，k=0，顶点式为y=a(x－h)2；当顶点在原点时，h=k=0，顶点式为y=ax2.
求二次函数解析式时，有时也用到二次函数的第三种存在形式——两根式，现对有关两根式的内容补充如下：
先对二次函数的一般式y=ax2+bx+c(a≠0)的右边进行因式分解如下：
y=ax2+bx+c=a(
)
=a[
]
=a[
]
=a[(x+
)2－(
)(b2－4ac>0)
=
a(x+
－
)(
2
=a(x－
其中
（b2－4ac>0）是ax2+bx+c=0的两根，若设x1=
,x2=
,则y=ax2+bx+c(a≠0)可化为y=a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，因为x1、x2为方程ax2+bx+c=0的两根，所以我们称y=a(x－x1)(x－x2)为二次函数的两根式.
当已知二次函数的抛物线与x轴交点坐标时，选用两根式y=a(x－x1)•(x－x2)求解比较简单，可先把两点坐标代入解析式，再由第三个条件求出a，即可得出解析式.
综合前面所述，在确定抛物线的解

‘叁’ 求`快速列二次函数解析式方法！

如何快速求二次函数解析式
天津四中
周钧
二次函数这部分知识是中考的重要考点，题目综合性强。要正确迅速地解决一些问题就需要有扎实的基本功。下面就从两个方面给大家介绍一些基本方法：一、二次函数解析式的三种表达式1、一般式y=ax2+bx+c(a≠0)2、顶点式y=a(x-h)2+k(a≠0)
顶点(h，k)3、交点式y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)(x1、x2是抛物线与x轴两交点的横坐标)下面以题为例，请同学们体会如何准确、迅速地求出二次函数的解析式。例1、已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)满足下列条件求函数的解析式：（1）图象过A（0，1）、B（1，2）、C（2，-1）三点（2）图象顶点是（-2，3）且过（-1，5）点（3）当x=-1时取最大值4，在x轴上截得弦长为6（4）过A（1，3）、B（2，3）、C（3，7）三点分析：（1）抛物线过三个无规律的点则用一般式解：把A（0，1）、B（1，2）、C（2，-1）分别代入y=ax2+bx+c(a≠0)，求得y=-2x2+3x+1（2）应用顶点式，设二次函数的解析式为y=a(x+2)2+3，再把（-1，5）代入，求得解析式y=2(x+2)2+3，即y=2x2+8x+11（3）顶点（-1，4），对称轴x=-1，抛物线与x轴交点（-4，0）、（2，0），用交点式的解析式为y=a(x+4)(x-2)再代入(-1，4)，得y=-■x2-■x+■（4）利用平移法，得A'（1，0）、B'（2，0）、C'（3，4），用交点式求出y=2x2-6x+4，横坐标不变，再把图象上移3个单位，得y=2x2-6x+4+3，即y=2x2-6x+7。二、充分利用数形结合思想快速解题观察抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的开口方向、对称轴位置、抛物线与y轴交点位置、抛物线与x轴交点个数。例2、（1）抛物线y=bx-ax2，若a0，开口向上，b0，与y=ax2+bx+c中a>0、b0、b>0、c>0②a-b+c0④(a+c)2
A、1
B、2
C、3
D、4分析：当x=1时，y1=a+b+c当x=-1时，y2=a-b+c当x=2时，y3=4a+2b+c由图象知：y1>0，y2二次函数解析析常用的有两种存在形式：一般式和顶点式.
（1）一般式：由二次函数的定义可知：任何二次函数都可表示为y=ax2+bx+c(a≠0),这也是二次函数的常用表现形式，我们称之为一般式.
(2)顶点式：二次函数的一般式通过配方法可进行如下变形：
y=ax2+bx+c=a(x2+
)=a[x2+
]=(a+
)
由二次函数图象性质可知：（－
）为抛物线的顶点坐标，若设
－
=h,
=k，二次函数的解析式变为：y=a(x－h)2+k(a≠0),其中（h,k）为抛物线的顶点坐标，所以，称y=a(x－h)2+k(a≠0)为二次函数的顶点式.特别地，当顶点在y轴上时，h=0，顶点式为y=ax2+k；当顶点在x轴上时，k=0，顶点式为y=a(x－h)2；当顶点在原点时，h=k=0，顶点式为y=ax2.
求二次函数解析式时，有时也用到二次函数的第三种存在形式——两根式，现对有关两根式的内容补充如下：
先对二次函数的一般式y=ax2+bx+c(a≠0)的右边进行因式分解如下：
y=ax2+bx+c=a(
)
=a[
]
=a[
]
=a[(x+
)2－(
)(b2－4ac>0)
=
a(x+
－
)(
2
=a(x－
其中
（b2－4ac>0）是ax2+bx+c=0的两根，若设x1=
,x2=
,则y=ax2+bx+c(a≠0)可化为y=a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，因为x1、x2为方程ax2+bx+c=0的两根，所以我们称y=a(x－x1)(x－x2)为二次函数的两根式.
当已知二次函数的抛物线与x轴交点坐标时，选用两根式y=a(x－x1)??(x－x2)求解比较简单，可先把两点坐标代入解析式，再由第三个条件求出a，即可得出解析式.
综合前面所述，在确定抛物线的解
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‘肆’ 怎样求二次函数解析式

1、条件为已知抛物线过三个已知点，用一般式：Y=aX^2+bX+c , 分别代入成为一个三元一次方程组，解得a、bc的值，从而得到解析式。

2、已知顶点坐标及另外一点，用顶点式：Y=a(X-h)^2+K , 点坐标代入后，成为关于a的一元一次方程，得a的值，从而得到 解析式。

3、已知抛物线过三个点中，其中两点在X轴上，可用交点式(两根式)：Y=a(X-X1)(X-X2) , 第三点坐标代入求a，得抛物线解析式。

(4)二次函数解析简便方法扩展阅读：

y=a(x-h)²+k(a≠0,a、h、k为常数)。顶点坐标为（h,k)；对称轴为直线x=h；顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax²的图像相同，当x=h时，y最值=k.有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。

例：已知二次函数y的顶点(1,2)和另一任意点(3,10)，求y的解析式。

解：设y=a(x-1)²+2，把(3,10)代入上式，解得y=2(x-1)²+2。

注意：与点在平面直角坐标系中的平移不同，二次函数平移后的顶点式中，h>0时，h越大，图像的对称轴离y轴越远，且在x轴正方向上，不能因h前是负号就简单地认为是向左平移。

二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。|a|越大，则抛物线的开口越小；|a|越小，则抛物线的开口越大。

一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。当a与b同号时（即ab>0），对称轴在y轴左侧；当a与b异号时（即ab<0），对称轴在y轴右侧。（可巧记为：左同右异）

常数项c决定抛物线与y轴交点。抛物线与y轴交于(0, c）。

‘伍’ 求二次函数解析式的方法

函数内容的学习一直是很多学生的重难点，甚至一些学生与理想的学校失之交臂，就是因为函数内容没学好，无法取得中考数学高分。

初中数学要学到函数一般有三种：一次函数（包含正比函数）、反比例函数、二次函数。其中二次函数作为初中数学当中最重要内容之一，一直受到中考数学命题老师的青睐。

任何与函数有关的数学问题，都需要先求出函数解析式，再结合函数的图象与性质进行解决。因此，一个人是否能熟练地求出二次函数的解析式是成功解决与二次函数相关问题的重要保障。

今天我们就一起来简单讲讲如何求二次函数的解析式，在初中数学教材里，二次函数的解析式一般有以下三种基本形式：

1、一般式：y=ax2+bx+c(a≠0)。

2、顶点式：y=a(x－m)2+k(a≠0)，其中顶点坐标为(m,k)，对称轴为直线x=m。

3、交点式：y=a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中x1,x2是抛物线与x轴的交点的横坐标。

那么这三种形式有什么区别呢？在解决实际问题过程中，该如何选择呢？求二次函数的解析式的方法我们一般采用待定系数法，即将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式，这样就得到一个恒等式。然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组，其后通过解方程或方程组便可求出待定的系数，或找出某些系数所满足的关系式，这种解决问题的方法叫做待定系数法。

我们结合待定系数法和三种二次函数基本形式来确定函数关系式，一定要根据不同条件，设出恰当的解析式，具体如下：

1、若给出抛物线上任意三点，通常可设一般式y=ax2+bx+c(a≠0)来求解。

2、若给出抛物线的顶点坐标或对称轴或最值，通常可设顶点式y=a(x－m)2+k(a≠0)来求解。

3、若给出抛物线与x轴的交点或对称轴或与x轴的交点距离，通常可设交点式y=a(x－x1)(x－x2)(a≠0)来求解。

值得注意的是，用交点式来求二次函数的解析式，前提条件是二次函数与x轴有交点坐标。

求解二次函数解析式，典型例题分析1：

已知一个二次函数图象经过（-1，-3）、（2，12）和（1，1）三点，那么这个函数的解析式是_______。

解：将点（-1，-3）、（2，12）和（1，1）坐标代入y=ax2+bx+c，可得：

-3=a（-1）2+b（-1）+c

12=a·22+b·2+c

1=a·12+b·1+c

解得a=3

‘陆’ 怎样求二次函数解析式

就一般式y=ax2＋bx＋c（其中a，b，c为常数，且a≠0）而言，其中含有三个待定的系数a ，b ，c．求二次函数的一般式时，必须要有三个独立的定量条件，来建立关于a ，b ，c 的方程，联立求解，再把求出的a ，b ，c 的值反代回原函数解析式，即可得到所求的二次函数解析式．

巧取交点式法

知识归纳：二次函数交点式：y＝a(x－x1)(x－x2) （a≠0）x1，x2

分别是抛物线与x轴两个交点的横坐标．已知抛物线与x轴两个交点的横坐标求二次函数解析式时，用交点式比较简便．

典型例题一：告诉抛物线与x轴的两个交点的横坐标，和第三个点，可求出函数的交点式．

例1已知抛物线与x轴交点的横坐标为-2和1 ，且通过点（2，8），求二次函数的解析式．

析解设函数的解析式为y＝a(x+2)(x－1)，∵过点（2，8），∴8＝a(2+2)(2－1)．解得a=2，∴抛物线的解析式为y＝2(x+2)(x－1)，

即y＝2x2+2x－4. 典型例题二：告诉抛物线与x轴的两个交

点之间的距离和对称轴，可利用抛物线的对称性求解. 例2已知二次函数的顶点坐标为（3，－2），并且图象与x轴两交点间的距离为4

．求二次函数的解析式. 思路启迪在已知抛物线与x轴两交点的距离和顶点坐标的情况下，问题比较容易解决．由顶点坐标为（3，－2）的条件，易知其对称轴为x＝3，再利用抛物线的对称性，可知图象与x轴两交点的坐标分别为（1，0）和（5，0）．此时，可使用二次函数的交点式，得出函数解析式．

顶点式的妙处

顶点式y=a(x－h)2+k（a≠0），其中（h，k）是抛物线的顶点．当已知抛物线顶点坐标或对称轴，或能够先求出抛物线顶点时，设顶点式解题十分简洁，因为其中只有一个未知数a．在此类问题中，常和对称轴，最大值或最小值结合起来命题．在应用题中，涉及到桥拱、隧道、弹道曲线、投篮等问题时，一般用顶点式方便．

典型例题一：告诉顶点坐标和另一个点的坐标，直接可以解出函数

顶点式. 例3已知抛物线的顶点坐标为（-1，-2），且通过点（

1，10），求此二次函数的解析式. 析解∵顶点坐标为（-1，-2），

故设二次函数解析式为y=a(x+1)2-2 （a≠0）．把点（1，10）代入上式，得10=a(1+1)2-2．∴a=3．∴二次函数的解析式为y=3(x+1)2-2，即y=3x2+6x+1．典型例题二：如果a>0，那么当x= -b2a时，y有最小

值且y最小=4ac-b24a；如果a<0，那么，当x=-b2a时，y有最大值，且y最大=4ac-b24a．告诉最大值或最小值，实际上也是告诉了顶点坐标

，同样也可以求出顶点式. 例4 已知二次函数当x＝4时有最小值－3，且它的图象与x轴两交点间的距离为6，求这个二次函数的解析

式. 析解∵二次函数当x＝4时有最小值－3，∴顶点坐标为（4，

－3），对称轴为直线x＝4，抛物线开口向上. 由于图象与x轴两交点间的距离为6，根据图象的对称性就可以得到图象与x轴两交点的坐标是（1，0）和（7，0）．

∴抛物线的顶点为（4，－3）且过点（1，0）．故可设函数解析式为y＝a(x－4)2－3．将（1，0）代入得0＝a(1－4)2－3, 解得a＝13．

∴y＝13(x－4)2－3，即y＝13x2－83x＋73. 典型例题三：告诉对称轴，相当于告诉了顶点的横坐标，综合其他条件，也可解出．

例如（1）已知二次函数的图象经过点A（3，-2）和B（1，0），且对称轴是直线x＝3．求这个二次函数的解析式. （2）已知关于x的二次函数图象的对称轴是直线x=1，图象交y轴于点（0，2），且过点（-1，0），求这个二次函数的解析式. （3）已知抛物线的对称轴为直线x=2，且通过点（1，4）和点（5，0），求此抛物线的解析式. （4）二次函数的图象的对称轴x=-4，且过原点，它的顶点到x轴的距离为4，求此函数的解析式．（此cc四dd题ee同ff学gg们hh自ii己jj尝kk试ll解[[出mm）

典型例题四：利用函数的顶点式，解图像的平移等问题非常方便.

例5把抛物线y=ax2+bx+c的图像向右平移3 个单位, 再向下平移2 个单位, 所得图像的解析式是y=x2-3x+5, 则函数的解析式为_______.

析解先将y=x2-3x+5化为y=(x-32)2+5-94, 即y=(x-32)2+114．∵它是由抛物线的图像向右平移3 个单位, 再向下平移2 个单位得到的，∴原抛物线的解析式是y=(x-32+3)2+114+2=(x+32)2+194=x2+3x+7.

须掌握二次函数的三种表达形式：一般式y=ax2+bx+c，交点式y=a(x-x1)(x-x2)，顶点式y=a(x-h)2+k．能灵活运用这三种方式求二次函数的解析式；能熟练地运用二次函数在几何领域中的应用；能熟练地运用二次函数解决实际问题.

‘柒’ 如何求二次函数解析式

二次函数解析式的求法是二次函数知识的重点，也是中考必考内容。本文试以2006年中考题为例，说明求二次函数解析式的常用方法，以期对同学们学习有所帮助。二次函数常见的表达形式有： http://360e.com/xxff/200611/chushu/2.htm（1）一般式： ；（2）顶点式： ，其中点（m,h）为该二次函数的顶点；（3）交点式： ，其中点 为该二次函数与x轴的交点。例1. （南通市）已知抛物线 经过A，B，C三点，当 时，其图象如图1所示。求抛物线的解析式，写出顶点坐标。图1分析：由图象可知，抛物线经过A（0，2），B（4，0），C（5，-3）三点，因此，可以借助二次函数一般式求出其解析式，再转化为顶点式，求出顶点坐标。解：设所求抛物线的解析式为 （ ）。由图象可知A，B，C的坐标分别为（0，2），（4，0），（5，-3）。解之，得 抛物线的解析式为 该抛物线的顶点坐标为 。点评：这道题的一个特点是题中没有直接给出所求抛物线经过的点的坐标，需要从图象中获取信息。已知图象上三个点时，通常应用二次函数的一般式列方程求解析式。要特别注意：如果这道题是求“图象所表示的函数解析式”，那就必须加上自变量的取值范围 。例2. （泰州市）如图2，有一横截面是抛物线的水渠，水渠管理员将一根长1.5m的标杆一端放在水渠底部的A点，另一端露出水面并靠在水渠边缘的B点，标杆有1m浸没在水中，露出水面的部分与水面成 的夹角（标杆与抛物线的横截面在同一平面内）。以水面所在直线为x轴，过点A垂直于水面的直线为y轴，建立如图2所示的直角坐标系，求该水渠横截面抛物线的解析式（结果保留根号）。图2分析：要求解析式，必须知道抛物线上交点的坐标。显然，由已知条件可以求出点A与点B的坐标。由于点A是所在抛物线的顶点，因此可以用抛物线的顶点式 。解：设AB与x轴交于点C，可知 。过点B作 轴于点D设所求水渠横截面抛物线的解析式为 。将点B的坐标代入，有 。解之，得 。因此，该水渠横截面抛物线的解析式为 。点评：解答此类问题的关键在于将实际问题的条件转化成点的坐标，再根据点的特征选择适当的函数表达式。例3. （江西省）一条抛物线 经过点 与 。求这条抛物线的解析式。分析：解析式中的a值已经知道，只需求出 的值。已知条件给出了两个点，因此，可以从二次函数的一般式入手列方程组解答。还可以从所给两点 的特征入手：这两点关于抛物线的对称轴对称，因此可知对称轴是直线 ，这样又可以从抛物线的顶点式入手。解： 抛物线 经过点（ ）和 ，这条抛物线的对称轴是直线 。设所求抛物线的解析式为 。将点 代入，得 ，解得 。这条抛物线的解析式为 ，即 。点评：当点M（ ）和N（ ）都是抛物线上的点时，若 ，则对称轴方程为 ，这一点很重要也很有用。例4. （常德市）如图3，在直角坐标系中，以点A 为圆心，以 为半径的圆与x轴相交于点B，C，与y轴相交于点D，E。若抛物线 经过B，C两点，求抛物线的解析式，并判断点D是否在抛物线上。图3分析：解题的关键在于求出点B和点C的坐标，因此需要求出线段OB，OC的长，这可根据圆的性质解决。由于点B与点C都在x轴上，因而可以根据二次函数的交点式 求出其解析式。解：由 ，易得 在 ，。所以点D的坐标为（0，-3）。设解析式为 ，由条件知 ，抛物线的解析式为 即 当 时， ，所以点D（0，-3）在抛物线上。点评：解这类题将点的坐标与线段的长互相转化至关重要，但要注意坐标的符号。最后，留两道题给同学们练习。1. （2006年长春市）二次函数 的图象经过点M（1，-2），N（-1，6）。求二次函数 的关系式。 （答案： ）2. （2006年攀枝花市）已知抛物线 与y轴的交点为C，顶点为M，直线CM的解析式为 ，线段CM的长为 。求这条抛物线的解析式。（答案： ）

‘捌’ 二次函数解析式的求法

关于二次函数的解析式，我没有什么长篇大论，精炼而扎实基础才能有利于提高阿
二次函数一般形式：y=ax2+bx+c
（已知任意三点）
顶点式：y=a(x+d)2+h
(已知顶点和任意除顶点以外的点）
有的版本教材也注
原理相同
例：已知某二次函数图像顶点（-2，1）且经过（1,0)，求二次函数解析式
解：设y=a(x+2)2+1
注意：y=a(x-d)2+h中d是顶点横坐标，h是顶点纵坐标
由于
二次函数图像过点（1，0）
因此
a*3的平方+1=0
解得a=-1/9
所以所求作二次函数解析式为
y=-1/9(x+2)2+1
(此题是样题，所以就不进一步化简成一般形式）
两根式：已知函数图像与x轴两交点与另外一点
首先必须有交点(b2-4ac>0)
y=a(x-x1)(x-x2)
其中x1,x2是图像与x轴两交点
并且是ax2+bx+c=0的两根
如果已知二次函数一般形式和与x轴的一个交点，则可以求出另一个交点
利用根与系数的关系
例：y=x2+4x+3与x轴的一个交点是（-1,0)，求其与x轴的另一交点坐标
解：由根与系数的关系得：
x1+x2=-b/a=-4
则x2=-4-x1=-4-(-1)=-3
所以与x轴的另一交点坐标为（-3,0)
另外将y=ax2+bx+c向右平移2个单位可得
y=a(x-2)2+b(x-2)+c
再向下平移2个单位得：y=a(x-2)2+b(x-2)+c-2

‘玖’ 求`快速列二次函数解析式方法!

如何快速求二次函数解析式
天津四中 周钧 二次函数这部分知识是中考的重要考点,题目综合性强.要正确迅速地解决一些问题就需要有扎实的基本功.下面就从两个方面给大家介绍一些基本方法：一、二次函数解析式的三种表达式1、一般式y=ax2+bx+c(a≠0)2、顶点式y=a(x-h)2+k(a≠0) 顶点(h,k)3、交点式y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)(x1、x2是抛物线与x轴两交点的横坐标)下面以题为例,请同学们体会如何准确、迅速地求出二次函数的解析式.例1、已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)满足下列条件求函数的解析式：（1）图象过A（0,1）、B（1,2）、C（2,-1）三点（2）图象顶点是（-2,3）且过（-1,5）点（3）当x=-1时取最大值4,在x轴上截得弦长为6（4）过A（1,3）、B（2,3）、C（3,7）三点分析：（1）抛物线过三个无规律的点则用一般式把A（0,1）、B（1,2）、C（2,-1）分别代入y=ax2+bx+c(a≠0),求得y=-2x2+3x+1（2）应用顶点式,设二次函数的解析式为y=a(x+2)2+3,再把（-1,5）代入,求得解析式y=2(x+2)2+3,即y=2x2+8x+11（3）顶点（-1,4）,对称轴x=-1,抛物线与x轴交点（-4,0）、（2,0）,用交点式的解析式为y=a(x+4)(x-2)再代入(-1,4),得y=-■x2-■x+■（4）利用平移法,得A'（1,0）、B'（2,0）、C'（3,4）,用交点式求出y=2x2-6x+4,横坐标不变,再把图象上移3个单位,得y=2x2-6x+4+3,即y=2x2-6x+7.二、充分利用数形结合思想快速解题观察抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的开口方向、对称轴位置、抛物线与y轴交点位置、抛物线与x轴交点个数.例2、（1）抛物线y=bx-ax2,若a0,y2

‘拾’ 怎么解二次函数。

一、理解二次函数的内涵及本质 .

二次函数 y=ax2 ＋ bx ＋ c （ a ≠ 0 ， a 、 b 、 c 是常数）中含有两个变量 x 、 y ，我们只要先确定其中一个变量，就可利用解析式求出另一个变量，即得到一组解；而一组解就是一个点的坐标，实际上二次函数的图象就是由无数个这样的点构成的图形 .

二、熟悉几个特殊型二次函数的图象及性质 .

1 、通过描点，观察 y=ax2 、 y=ax2 ＋ k 、 y=a （ x ＋ h ） 2 图象的形状及位置，熟悉各自图象的基本特征，反之根据抛物线的特征能迅速确定它是哪一种解析式 .

2 、理解图象的平移口诀“加上减下，加左减右” .

y=ax2 → y=a （ x ＋ h ） 2 ＋ k “加上减下”是针对 k 而言的，“加左减右”是针对 h 而言的 .

总之，如果两个二次函数的二次项系数相同，则它们的抛物线形状相同，由于顶点坐标不同，所以位置不同，而抛物线的平移实质上是顶点的平移，如果抛物线是一般形式，应先化为顶点式再平移 .

3 、通过描点画图、图象平移，理解并明确解析式的特征与图象的特征是完全相对应的，我们在解题时要做到胸中有图，看到函数就能在头脑中反映出它的图象的基本特征；

4 、在熟悉函数图象的基础上，通过观察、分析抛物线的特征，来理解二次函数的增减性、极值等性质；利用图象来判别二次函数的系数 a 、 b 、 c 、△以及由系数组成的代数式的符号等问题 .

三、要充分利用抛物线“顶点”的作用 .

1 、要能准确灵活地求出“顶点” . 形如 y=a （ x ＋ h ） 2 ＋ K →顶点（－ h,k ），对于其它形式的二次函数，我们可化为顶点式而求出顶点 .

2 、理解顶点、对称轴、函数最值三者的关系 . 若顶点为（－ h ， k ），则对称轴为 x= － h ， y 最大（小） =k ；反之，若对称轴为 x=m ， y 最值 =n ，则顶点为（ m ， n ）；理解它们之间的关系，在分析、解决问题时，可达到举一反三的效果 .

3 、利用顶点画草图 . 在大多数情况下，我们只需要画出草图能帮助我们分析、解决问题就行了，这时可根据抛物线顶点，结合开口方向，画出抛物线的大致图象 .

四、理解掌握抛物线与坐标轴交点的求法 .

一般地，点的坐标由横坐标和纵坐标组成，我们在求抛物线与坐标轴的交点时，可优先确定其中一个坐标，再利用解析式求出另一个坐标 . 如果方程无实数根，则说明抛物线与 x 轴无交点 .

从以上求交点的过程可以看出，求交点的实质就是解方程，而且与方程的根的判别式联系起来，利用根的判别式判定抛物线与 x 轴的交点个数 .

五、灵活应用待定系数法求二次函数的解析式 .

用待定系数法求二次函数的解析式是我们求解析式时最常规有效的方法，求解析式时往往可选择多种方法，如能综合利用二次函数的图象与性质，灵活应用数形结合的思想，不仅可以简化计算，而且对进一步理解二次函数的本质及数与形的关系大有裨益 .
二次函数y=ax2
学习要求:

1．知道二次函数的意义．

2．会用描点法画出函数y＝ax2的图象，知道抛物线的有关概念．

重点难点解析

1.本节重点是二次函数的概念和二次函数y＝ax2的图象与性质；难点是根据图象概括二次函数y＝ax2的性质.

2.形如＝ax2+bx+c(其中a、b、c是常数，a≠0)的函数都是二次函数.解析式中只能含有两

个变量x、y，且x的二次项的系数不能为0，自变量x的取值范围通常是全体实数，但在实际问题中应使实际量有意义。如圆面积S与圆半径R的关系式S＝πR2中，半径R只能取非负数。

3.抛物线y＝ax2的形状是由a决定的。a的符号决定抛物线的开口方向，当a＞0时，开口向上，抛物线在y轴的上方(顶点在x轴上)，并向上无限延伸；当a＜0时，开口向下，抛物线在x轴下方(顶点在x轴上)，并向下无限延伸。｜a｜越大，开口越小；｜a｜越小，开口越大.

4.画抛物线y＝ax2时，应先列表，再描点，最后连线。列表选取自变量x值时常以0为中心，选取便于计算、描点的整数值，描点连线时一定要用光滑曲线连接，并注意变化趋势。

本节命题主要是考查二次函数的概念，二次函数y＝ax2的图象与性质的应用。

核心知识

规则1

二次函数的概念:

一般地，如果是常数，那么，y叫做x的二次函数．

规则2

抛物线的有关概念:

图13-14

如图13-14，函数y=x2的图象是一条关于y轴对称的曲线，这条曲线叫抛物线．实际上，二次函数的图象都是抛物线．抛物线y=x2是开口向上的,y轴是这条抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点．

规则3

抛物线y=ax2的性质:

一般地，抛物线y=ax2的对称轴是y轴，顶点是原点，当a＞0时，抛物线y=ax2的开口向上，当a＜0时，抛物线y=ax2的开口向下．

规则4

1.二次函数的概念

(1)定义：一般地，如果y＝ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，那么，y叫做x的的二次函数. (2)二次函数y＝ax2+bx+c的结构特征是：等号左边是函数y，右边是自变量x的二次式，x的最高次数是2.其中一次项系数b和常数项c可以是任意实数，而二次项系数a必须是非零实数，即a≠0.

2.二次函数y＝ax2的图像

图13-1

用描点法画出二次函数y＝x2的图像，如图13-1，它是一条关于y轴对称的曲线，这样的曲线叫做抛物线.

因为抛物线y＝x2关于y轴对称，所以y轴是这条抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，从图上看，抛物线y＝x2的顶点是图象的最低点.因为抛物线y＝x2有最低点.所以函数y＝x2有最小值，它的最小值就是最低点的纵坐标.

3.二次函数y＝ax2的性质

函数
图像

开口方向
顶点坐标
对称轴
函数变化
最大(小)值

y=ax2
a＞0

向上
(0,0)
Y轴
x＞0时，y随x增大而增大；

x＜0时，y随x增大而减小.
当x＝0时，y最小＝0.

y=ax2
a＜0

向下
(0,0)
Y轴
x＞0时，y随x增大而减小；

x＜0时，y随x增大而增大.
当x＝0时，y最大＝0.

4.二次函数y＝ax2的图像的画法

用描点法画二次函数y＝ax2的图像时，应在顶点的左、右两侧对称地选取自变量x的值，然后计算出对应的y值，这样的对应值选取越密集，描出的图像越准确.
二次函数y=ax2+bx+c
学习要求：

1．会用描点法画出二次函数的图象．

2．能利用图象或通过配方确定抛物线的开口方向及对称轴、顶点、的位置．

*3．会由已知图象上三个点的坐标求出二次函数的解析式．

重点难点

1.本节重点是二次函数y＝ax2+bx+c的图象和性质的理解及灵活运用，难点是二次函数y＝ax2+bx+c的性质和通过配方把解析式化成y＝a(x-h)2+k的形式。

2.学习本小节需要仔细观察归纳图象的特点以及不同图象之间的关系。把不同的图象联系起来，找出其共性。

一般地几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口方向、开口大小(即形状)完全相同，只是位置不同.

任意抛物线y＝a(x-h)2+k可以由抛物线y＝ax2经过适当地平移得到，具体平移方法如下图所示：

注意：上述平移的规律是：“h值正、负，右、左移；k值正、负，上、下移”实际上有关抛物线的平移问题，不能死记硬背平移规律，只要先将其解析式化为顶点式，然后根据它们的顶点的位置关系，确定平移方向和平移的距离非常简便.

图13-11

例如，要研究抛物线L1∶y＝x2-2x+3与抛物线L2∶y＝x2的位置关系，可将y＝x2-2x+3通过配方变成顶点式y＝(x-1)2+2，求出其顶点M1(1，2)，因为L2的顶点为M2(0，0)，根据它们的顶点的位置，容易看出：由L2向右平移1个单位，再向上平移2个单位，即得L1；反之，由L1向左平移1个单位，再向下平移2个单位，即得L2.

二次函数y＝ax2+bx+c的图象与y＝ax2的图象形状完全一样，它们的性质也有相似之处。当a＞0时，两条抛物线的开口都向上，并向上无限延伸，抛物线有最低点，y有最小值，当a＜0时，开口都向下，并向下无限延伸，抛物线有最高点，y有最大值.

3.画抛物线时一定要先确定开口方向和对称轴、顶点位置，再利用函数对称性列表，这样描点连线后得到的才是完整的，比较准确的图象。否则画出的图象，往往只是其中一部分。例如画y＝- (x+1)2-1的图象。

列表：

x
-3
-2
-1
0
1
2
3

y
-3
-1.5
-1
-1.5
-3
-5.5
-9

描点，连线成如图13-11所示不能反映其全貌的图象。

正解：由解析式可知，图象开口向下，对称轴是x＝-1,顶点坐标是(-1，-1)

列表：

x
-4
-3
-2
-1
0
1
2

y
-5.5
-3
-1.5
-1
-1.5
-1.5
-5.5

描点连线：如图13-12

图13-12

4.用配方法将二次函数y＝ax2+bx+c化成y＝a(x-h)2+k的形式，首先要提出二次项系数a。常犯的错误只提第一项，后面漏提。如y＝- x2+6x-21 写成y＝- (x2+6x-21)或y＝- (x2-12x-42)把符号弄错，主要原因是没有掌握添括号的规则。

本节命题主要考查二次函数y＝ax2+bx+c的图象和性质及其在实际生活中的运用。既有填空题、选择题，又有解答题，与方程、几何、一次函数的综合题常作为中考压轴题。

核心知识

规则1

抛物线 y=a(x-h)2+k 的性质:

一般地，抛物线 y=a(x-h)2+k 与 y=ax2 形状相同，位置不同．抛物线 y=a(x-h)2+k 有如下特点：

(l) a＞0时，开口向上；a＜0时，开口向下；

(2) 对称轴是直线x＝h；

(3) 顶点坐标是(h，k)．

规则2

二次函数 y=ax2+bx+c 的性质:

y=ax2+bx+c （ a，b，c 是常数，a≠0）是二次函数，图象是抛物线．利用配方，可以把二次函数表示成 y=a(x-h)2+k 的形式，由此可以确定这条抛物线的对称轴是直线 ，顶点坐标是 ，当a＞0时，开口向上；a＜0时，开口向下．

规则3

1.二次函数解析式的几种形式

(1)一般式：y＝ax2+bx+c (a,b,c为常数，a≠0).

(2)顶点式：y＝a(x-h)2+k(a,h,k为常数，a≠0).

(3)两根式：y＝a(x-x1)(x-x2)，其中x1,x2是抛物线与x轴的交点的横坐标，即一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根，a≠0.

说明：(1)任何一个二次函数通过配方都可以化为顶点式y＝a(x-h)2+k，抛物线的顶点坐标是(h,k)，h＝0时，抛物线y＝ax2+k的顶点在y轴上；当k＝0时，抛物线a(x-h)2的顶点在x轴上；当h＝0且k＝0时，抛物线y＝ax2的顶点在原点.

(2)当抛物线y＝ax2+bx+c与x轴有交点时，即对应二次方程ax2+bx+c＝0有实数根x1和

x2存在时，根据二次三项式的分解公式ax2+bx+c＝a(x-x1)(x-x2),二次函数y＝ax2+bx+c可转化为两根式y＝a(x-x1)(x-x2).

2.二次函数解析式的确定

确定二次函数解析式，一般仍用待定系数法.由于二次函数解析式有三个待定系数a、b、c(或a、h、k或a、x1、x2)，因而确定二次函数解析式需要已知三个独立的条件.当已知抛物线上任意三个点的坐标时，选用一般式比较方便；当已知抛物线的顶点坐标时，选用顶点式比较方便；当已知抛物线与x轴两个点的坐标(或横坐标x1,x2)时，选用两根式较为方便.

注意：当选用顶点式或两根式求二次函数解析式时，最后一般都要化一般式.

3.二次函数y＝ax2+bx+c的图像

二次函数y＝ax2+bx+c的图像是对称轴平行于(包括重合)y轴的抛物线.

4.二次函数的性质

根据二次函数y＝ax2+bx+c的图像可归纳其性质如下表：

函数
二次函数y＝ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)

图

像
a＞0
a＜0

(1)抛物线开口向上，并向上无限延伸.

(2)对称轴是x＝- ，顶点坐标是(- , ).

(3)当x＜- 时，y随x的增大而减小；当x＞- 时，y随x的增大而增大.

(4)抛物线有最低点，当x＝- 时，y有最小值，y最小值＝ .
(1) )抛物线开口向下，并向下无限延伸.

(2)对称轴是x＝- ，顶点坐标是(- , ).

(3)当x＜- 时，y随x的增大而增大；当x＞- 时，y随x的增大而减小.

(4)抛物线有最高点，当x＝- 时，y有最大值，y最大值＝ .

5.求抛物线的顶点、对称轴、最值的方法

①配方法：将解析式化为y＝a(x-h)2+k的形式，顶点坐标(h,k)，对称轴为直线x＝h，若a＞0，y有最小值，当x＝h时，y最小值＝k，若a＜0，y有最大值，当x＝h时，y最大值＝k.

②公式法：直接利用顶点坐标公式(- , ),求其顶点；对称轴是直线x＝- ,若a＞0，y有最小值，当x＝- 时，y最小值＝ ，若a＜0，y有最大值，当x＝- 时，y最大值＝ .

6.二次函数y＝ax2+bx+c的图像的画法

因为二次函数的图像是抛物线，是轴对称图形，所以作图时常用简化的描点法和五点法，其步骤是：

(1)先找出顶点坐标，画出对称轴；

(2)找出抛物线上关于对称轴的四个点(如与坐标轴的交点等)；

(3)把上述五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来.

7.二次函数y＝ax2+bx+c的图像的位置与a、b、c及Δ符号有密切的关系(见下表)：

项

目

字

母

字母的符号
图像的位置

a
a＞0

a＜0
开口向上 开口向下

b
b=0 ab＞0 ab＜0
对称轴为y轴 对称轴在y轴左侧 对称轴在y轴右侧

c
c=0 c＞0 c＜0
经过原点 与y轴正半轴相交 与y轴负半轴相交

8.二次函数与一元二次方程的关系

二次函数y＝ax2+bx+c的图像(抛物线)与x轴的两个交点的横坐标x1、x2，是对应的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：

Δ＞0 抛物线与x轴有2个交点；

Δ＝0 抛物线与x轴有1个交点；

Δ＜0 物线与x轴有0个交点(没有交点).