归纳方法怎么解题

‘壹’ 高中数学要怎么总结解题方法

高中数学解题思路与技巧总结
（1）函数
函数题目，先直接思考后建立三者的联系。首先考虑定义域，其次使用“三合一定理”。
（2）方程或不等式
如果在方程或是不等式中出现超越式，优先选择数形结合的思想方法；
（3）初等函数
面对含有参数的初等函数来说，在研究的时候应该抓住参数没有影响到的不变的性质。如所过的定点，二次函数的对称轴或是……；
(4)选择与填空中的不等式
选择与填空中出现不等式的题目，优选特殊值法；
(5)参数的取值范围
求参数的取值范围，应该建立关于参数的等式或是不等式，用函数的定义域或是值域或是解不等式完成，在对式子变形的过程中，优先选择分离参数的方法；
(6)恒成立问题
恒成立问题或是它的反面，可以转化为最值问题，注意二次函数的应用，灵活使用闭区间上的最值，分类讨论的思想，分类讨论应该不重复不遗漏；
(7)圆锥曲线问题
圆锥曲线的题目优先选择它们的定义完成，直线与圆锥曲线相交问题，若与弦的中点有关，选择设而不求点差法，与弦的中点无关，选择韦达定理公式法；使用韦达定理必须先考虑是否为二次及根的判别式；
(8)曲线方程
求曲线方程的题目，如果知道曲线的形状，则可选择待定系数法，如果不知道曲线的形状，则所用的步骤为建系、设点、列式、化简（注意去掉不符合条件的特殊点）；
(9)离心率
求椭圆或是双曲线的离心率，建立关于a、b、c之间的关系等式即可；
(10)三角函数
三角函数求周期、单调区间或是最值，优先考虑化为一次同角弦函数，然后使用辅助角公式解答；解三角形的题目，重视内角和定理的使用；与向量联系的题目，注意向量角的范围；
(11)数列问题
数列的题目与和有关，优选和通公式，优选作差的方法；注意归纳、猜想之后证明；猜想的方向是两种特殊数列；解答的时候注意使用通项公式及前n项和公式，体会方程的思想；
（12）立体几何问题
立体几何第一问如果是为建系服务的，一定用传统做法完成，如果不是，可以从第一问开始就建系完成；注意向量角与线线角、线面角、面面角都不相同，熟练掌握它们之间的三角函数值的转化；锥体体积的计算注意系数1/3，而三角形面积的计算注意系数1/2 ；与球有关的题目也不得不防，注意连接“心心距”创造直角三角形解题；
（13）导数
导数的题目常规的一般不难，但要注意解题的层次与步骤，如果要用构造函数证明不等式，可从已知或是前问中找到突破口，必要时应该放弃；重视几何意义的应用，注意点是否在曲线上；
（14）概率
概率的题目如果出解答题，应该先设事件，然后写出使用公式的理由，当然要注意步骤的多少决定解答的详略；如果有分布列，则概率和为1是检验正确与否的重要途径；
（15）换元法
遇到复杂的式子可以用换元法，使用换元法必须注意新元的取值范围，有勾股定理型的已知，可使用三角换元来完成；
（16）二项分布
注意概率分布中的二项分布，二项式定理中的通项公式的使用与赋值的方法，排列组合中的枚举法，全称与特称命题的否定写法，取值范或是不等式的解的端点能否取到需单独验证，用点斜式或斜截式方程的时候考虑斜率是否存在等；
（17）绝对值问题
绝对值问题优先选择去绝对值，去绝对值优先选择使用定义；
（18）平移
与平移有关的，注意口诀“左加右减，上加下减”只用于函数，沿向量平移一定要使用平移公式完成；
（19）中心对称
关于中心对称问题，只需使用中点坐标公式就可以，关于轴对称问题，注意两个等式的运用：一是垂直，一是中点在对称轴上。
六种解题思路：
1.函数与方程思想
函数与方程的思想是中学数学最基本的思想。所谓函数的思想是指用运动变化的观点去分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，再运用函数的图像与性质去分析、解决相关的问题。而所谓方程的思想是分析数学中的等量关系，去构建方程或方程组，通过求解或利用方程的性质去分析解决问题。
2.数形结合思想
数与形在一定的条件下可以转化。如某些代数问题、三角问题往往有几何背景，可以借助几何特征去解决相关的代数三角问题；而某些几何问题也往往可以通过数量的结构特征用代数的方法去解决。因此数形结合的思想对问题的解决有举足轻重的作用。
解题类型
(1)“由形化数”：就是借助所给的图形，仔细观察研究，提示出图形中蕴含的数量关系，反映几何图形内在的属性。
(2)“由数化形” ：就是根据题设条件正确绘制相应的图形，使图形能充分反映出它们相应的数量关系，提示出数与式的本质特征。
(3)“数形转换” ：就是根据“数”与“形”既对立，又统一的特征，观察图形的形状，分析数与式的结构，引起联想，适时将它们相互转换，化抽象为直观并提示隐含的数量关系。
3.分类讨论思想
分类讨论的思想之所以重要，原因一是因为它的逻辑性较强，原因二是因为它的知识点的涵盖比较广，原因三是因为它可培养学生的分析和解决问题的能力。原因四是实际问题中常常需要分类讨论各种可能性。
解决分类讨论问题的关键是化整为零，在局部讨论降低难度。
常见的类型
类型1：由数学概念引起的的讨论，如实数、有理数、绝对值、点（直线、圆）与圆的位置关系等概念的分类讨论；
类型2：由数学运算引起的讨论，如不等式两边同乘一个正数还是负数的问题；
类型3 ：由性质、定理、公式的限制条件引起的讨论，如一元二次方程求根公式的应用引起的讨论；
类型4：由图形位置的不确定性引起的讨论，如直角、锐角、钝角三角形中的相关问题引起的讨论。
类型5：由某些字母系数对方程的影响造成的分类讨论，如二次函数中字母系数对图象的影响，二次项系数对图象开口方向的影响，一次项系数对顶点坐标的影响，常数项对截距的影响等。
分类讨论思想是对数学对象进行分类寻求解答的一种思想方法，其作用在于克服思维的片面性，全面考虑问题。分类的原则：分类不重不漏。
4.转化与化归思想
转化与化归是中学数学最基本的数学思想之一，是一切数学思想方法的核心。数形结合的思想体现了数与形的转化；函数与方程的思想体现了函数、方程、不等式之间的相互转化；分类讨论思想体现了局部与整体的相互转化，所以以上三种思想也是转化与化归思想的具体呈现。
转化包括等价转化和非等价转化，等价转化要求在转化的过程中前因和后果是充分的也是必要的；不等价转化就只有一种情况，因此结论要注意检验、调整和补充。转化的原则是将不熟悉和难解的问题转为熟知的、易解的和已经解决的问题，将抽象的问题转为具体的和直观的问题；将复杂的转为简单的问题；将一般的转为特殊的问题；将实际的问题转为数学的问题等等使问题易于解决。
常见的转化方法
(1)直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题；
(2)换元法：运用“换元”把式子转化为有理式或使整式降幂等，把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基本问题；
(3)数形结合法：研究原问题中数量关系（解析式）与空间形式（图形）关系，通过互相变换获得转化途径；
(4)等价转化法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，达到化归的目的；
(5)特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的问题，使结论适合原问题；
(6)构造法：“构造”一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题；
(7)坐标法：以坐标系为工具，用计算方法解决几何问题也是转化方法的一个重要途径。
5.特殊与一般思想
用这种思想解选择题有时特别有效，这是因为一个命题在普遍意义上成立时，在其特殊情况下也必然成立，根据这一点，同学们可以直接确定选择题中的正确选项。不仅如此，用这种思想方法去探求主观题的求解策略，也同样有用。
6.极限思想
极限思想解决问题的一般步骤为：
一、对于所求的未知量，先设法构思一个与它有关的变量
二、确认这变量通过无限过程的结果就是所求的未知量
三、构造函数(数列)并利用极限计算法则得出结果或利用图形的极限位置直接计算结果。
掌握数学解题思想是解答数学题时不可缺少的一步，建议同学们在做题型训练之前先了解数学解题思想，掌握解题技巧，并将做过的题目加以归纳总结，以便在考试中游刃有余。

‘贰’ 归纳法证明怎么去做题

数学上证明与自然数n有关的命题的一种方法。必须包括两步：(1)验证当n取第一个自然数值n 0(如1，2等)时，命题正确；(2)假设当n取某一自然数k时命题正确，以此推出当n=k+1时这个命题也正确。从而就可断定命题对于从n 0开始的所有自然数都成立。 数学归纳法是一种数学证明方法，典型地用于确定一个表达式在所有自然数范围内是成立的或者用于确定一个其他的形式在一个无穷序列是成立的。有一种用于数理逻辑和计算机科学广义的形式的观点指出能被求出值的表达式是等价表达式；这就是着名的结构归纳法。 已知最早的使用数学归纳法的证明出现于 Francesco Maurolico 的 Arithmeticorum libri o (1575年)。Maurolico 证明了前 n 个奇数的总和是 n^2。 最简单和常见的数学归纳法证明方法是证明当n属于所有自然数时一个表达式成，这种方法是由下面两步组成: 递推的基础: 证明当n = 1时表达式成立。 递推的依据: 证明如果当n = m时成立，那么当n = m + 1时同样成立。(递推的依据中的“如果”被定义为归纳假设。 不要把整个第二步称为归纳假设。) 这个方法的原理在于第一步证明起始值在表达式中是成立的，然后证明一个值到下一个值的证明过程是有效的。如果这两步都被证明了，那么任何一个值的证明都可以被包含在重复不断进行的过程中。或许想成多米诺效应更容易理解一些；如果你有一排很长的直立着的多米诺骨牌那么如果你可以确定： 第一张骨牌将要倒下。 只要某一个骨牌倒了,与他相临的下一个骨牌也要倒。 那么你就可以推断所有的的骨牌都将要倒。 数学归纳法的原理作为自然数公理，通常是被规定了的(参见皮亚诺公理第五条)。但是它可以用一些逻辑方法证明；比如，如果下面的公理： 自然数集是有序的 被使用。 注意到有些其他的公理确实的是数学归纳法原理中的二者择一的公式化。更确切地说，两个都是等价的。 用数学归纳法进行证明的步骤： （1）（归纳奠基）证明当 取第一个值 时命题成立；证明了第一步，就获得了递推的基础，但仅靠这一步还不能说明结论的普遍性.在第一步中，考察结论成立的最小正整数就足够了，没有必要再考察几个正整数，即使命题对这几个正整数都成立，也不能保证命题对其他正整数也成立； （2）（归纳递推）假设 时命题成立，证明当 时命题也成立；证明了第二步，就获得了递推的依据，但没有第一步就失去了递推的基础.只有把第一步和第二步结合在一起，才能获得普遍性的结论； （3）下结论：命题对从 开始的所有正整数 都成立。 注： （1）用数学归纳法进行证明时，“归纳奠基”和“归纳递推”两个步骤缺一不可； （2）在第二步中，在递推之前， 时结论是否成立是不确定的，因此用假设二字，这一步的实质是证明命题对 的正确性可以传递到 时的情况.有了这一步，联系第一步的结论（命题对 成立），就可以知道命题对 也成立，进而再由第二步可知 即 也成立，…，这样递推下去就可以知道对于所有不小于 的正整数都成立.在这一步中， 时命题成立，可以作为条件加以运用，而 时的情况则有待利用归纳假设、已知的定义、公式、定理加以证明，不能直接将 代入命题.

‘叁’ 数学归纳法的主要解题步骤是什么要详解.

（1）先证明当n取第一个值n.时,命题正确
（2）假设当n=k（k是正整数且k〉=n.）时,命题正确,证明当n=k+1时命题也正确
在完成了这两个步骤以后,就可以断定命题对于从n.开始的所有自然数n都正确

‘肆’ 求数学归纳法标准解题格式

分为第一类归纳法和第二类归纳法第一类归纳法：第一步，先证明对于n=1(如果条件要求n≥2, 那就先证明n=2)，结论成立第二步，假设对于n=k结论成立，证明对于n=k+1结论成立最后，总结上述，得出结论对于所有n都成立 第二类归纳法：第一步，同第一类的第一步第二步，假设对于n≤k结论成立，证明对于n=k+1结论成立最后，总结

‘伍’ 数学归纳法的三个步骤是什么

1、当n=1时，显然成立。

2、假设当n=k时（把式中n换成k，写出来）成立，

则当n=k+1时，（这步比较困难，化简步骤往往繁琐，考试时可以直接写结果)该式也成立。

3、由（1）（2）得，原命题对任意正整数均成立。

(5)归纳方法怎么解题扩展阅读：

解题要点

数学归纳法对解题的形式要求严格，数学归纳法解题过程中，

第一步：验证n取第一个自然数时成立

第二步：假设n=k时成立，然后以验证的条件和假设的条件作为论证的依据进行推导，在接下来的推导过程中不能直接将n=k+1代入假设的原式中去。

最后一步总结表述。

‘陆’ 高中数学归纳法解题过程

数学上证明与
自然数
n有关的命题的一种特殊方法，它主要用来研究与
正整数
有关的数学问题，在高中数学中常用来证明等式成立和数列通项公式成立。
（一）第一数学归纳法：
一般地，证明一个与自然数n有关的命题p(n)，有如下步骤：
（1）证明当n取第一个值n0时命题成立。n0对于一般数列取值为0或1，但也有特殊情况；
（2）假设当n=k（
k≥n0，k为自然数
）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。
综合（1）（2），对一切自然数n（≥n0），命题p(n)都成立。
（二）第二数学归纳法：
对于某个与自然数有关的命题p(n)，
（1）验证n=n0时p(n)成立；
（2）假设n0≤n<k时p(n)成立，并在此基础上，推出p(k+1)成立。
综合（1）（2），对一切自然数n（≥n0），命题p(n)都成立。
（三）倒推归纳法（反向归纳法）：
（1）验证对于无穷多个自然数n命题p(n)成立（无穷多个自然数可以是一个无穷数列中的数，如对于算术几何不等式的证明，可以是2^k，k≥1）；
（2）假设p(k+1)（k≥n0）成立，并在此基础上，推出p(k)成立，
综合（1）（2），对一切自然数n（≥n0），命题p(n)都成立；
（四）螺旋式归纳法
对两个与自然数有关的命题p(n)，q(n)，
（1）验证n=n0时p(n)成立；
（2）假设p(k)（k>n0）成立，能推出q(k)成立，假设
q(k)成立，能推出
p(k+1)成立；
综合（1）（2），对一切自然数n（≥n0），p(n)，q(n)都成立。
数学归纳法的变体在应用，数学归纳法常常需要采取一些变化来适应实际的需求。下面介绍一些常见的数学归纳法变体。
从0以外的数字开始
如果我们想证明的命题并不是针对全部自然数，而只是针对所有大于等于某个数字b的自然数，那么证明的步骤需要做如下修改：
第一步，证明当n=b时命题成立。
第二步，证明如果n=m(m≥b)成立，那么可以推导出n=m+1也成立。
用这个方法可以证明诸如“当n≥3时，n2>2n”这一类命题。
只针对偶数或只针对奇数
如果我们想证明的命题并不是针对全部自然数，而只是针对所有奇数或偶数，那么证明的步骤需要做如下修改：
奇数方面：
第一步，证明当n=1时命题成立。
第二步，证明如果n=m成立，那么可以推导出n=m+2也成立。
偶数方面：
第一步，证明当n=0或2时命题成立。
第二步，证明如果n=m成立，那么可以推导出n=m+2也成立。
递降归纳法
数学归纳法并不是只能应用于形如“对任意的n”这样的命题。对于形如“对任意的n=0,1,2,...,m”这样的命题，如果对一般的n比较复杂，而n=m比较容易验证，并且我们可以实现从k到k-1的递推，k=1,...,m的话，我们就能应用归纳法得到对于任意的n=0,1,2,...,m，原命题均成立。

‘柒’ 题型归纳法是什么

这是按照高考题型对相关知识进行归纳的一种方法。有助于提高解题速率和成功率，对高考复习至关重要。如：对无机框图题的解题策略归纳出：

①以特征反应为突破口。具有特殊的物理或化学性质的物质，往往具有特征反应或在反应中表现特殊的现象。如颜色反应呈黄色是钠元素的特征；有臭鸡蛋气味的气体是硫化氢；遇碘变蓝色是淀粉的特性；使品红溶液褪色的无色气体是二氧化硫；一氧化氮遇氧气变为红棕色；使酚酞试液变红的气体是氨气；白色沉淀在空气中由白色——灰绿色——红棕色是氢氧化亚铁转变为氢氧化铁的特征反应现象等等。这些特征反应或现象可以作为框图题解题的突破口。

②根据转化关系求解。由反应的转化关系推断物质，通过读图、思考，在常见的元素及化合物转化关系中通过筛选、甄别，确认物质。

③以框图中反复出现的信息为突破口。

④换位思考巧推断。换位思考即在解题时随问题和情景的不同，随时调整自己的思维方式，如变常规思维为跳跃思维，变求同思维为求异思维，变正向思维为反向思维，以达到解题时柳岸花明又一村之功效。

⑤运用课本知识和新信息细心推断。

‘捌’ 数学归纳法的主要解题步骤是什么要详解。

（1）先证明当n取第一个值n。时，命题正确
（2）假设当n=k（k是正整数且k〉=n。）时，命题正确，证明当n=k+1时命题也正确
在完成了这两个步骤以后，就可以断定命题对于从n。开始的所有自然数n都正确

‘玖’ 第一，第二数学归纳法

第一数学归纳法可以概括为以下三步：

(1)归纳奠基：证明n=1时命题成立；

(2)归纳假设：假设n=k时命题成立；

(3)归纳递推：由归纳假设推出n=k+1时命题也成立．

第二数学归纳法原理是设有一个与自然数n有关的命题，如果：

（1）当n＝1时，命题成立；

（2）假设当n≤k时命题成立，由此可推得当n＝k+1时，命题也成立。

那么，命题对于一切自然数n来说都成立。

(9)归纳方法怎么解题扩展阅读：

在数论中，数学归纳法是以一种不同的方式来证明任意一个给定的情形都是正确的（第一个,第二个，第三个，一直下去概不例外）的数学定理。

虽然数学归纳法名字中有“归纳”，但是数学归纳法并非不严谨的归纳推理法，它属于完全严谨的演绎推理法。事实上，所有数学证明都是演绎法。

数学归纳法对解题的形式要求严格，数学归纳法解题过程中，

第一步：验证n取第一个自然数时成立

第二步：假设n=k时成立，然后以验证的条件和假设的条件作为论证的依据进行推导，在接下来的推导过程中不能直接将n=k+1代入假设的原式中去。

最后一步总结表述。

需要强调是数学归纳法的两步都很重要，缺一不可。

数学归纳法的原理，通常被规定作为自然数公理（参见皮亚诺公理）。但是在另一些公理的基础上，它可以用一些逻辑方法证明。数学归纳法原理可以由下面的良序性质（最小自然数原理）公理可以推出：

自然数集是良序的。（每个非空的正整数集合都有一个最小的元素）

比如{1, 2, 3 , 4, 5}这个正整数集合中有最小的数——1.

下面我们将通过这个性质来证明数学归纳法：

对于一个已经完成上述两步证明的数学命题，我们假设它并不是对于所有的正整数都成立。

对于那些不成立的数所构成的集合S，其中必定有一个最小的元素k。（1是不属于集合S的，所以k>1）

k已经是集合S中的最小元素了，所以k-1是不属于S，这意味着k-1对于命题而言是成立的——既然对于k-1成立，那么也对k也应该成立，这与我们完成的第二步骤矛盾。所以这个完成两个步骤的命题能够对所有n都成立。

注意到有些其它的公理确实是数学归纳法原理的可选的公理化形式。更确切地说，两者是等价的。

‘拾’ 数学归纳法的一般步骤

知识梳理
1．数学归纳法
证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：
(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N＋)时命题成立；
(2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N＋)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．
2．数学归纳法的框图表示

考向1用数学归纳法证明等式

[规律方法]1.用数学归纳法证明等式问题，要“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值n0是多少．

3．由n＝k时命题成立，推出n＝k＋1时等式成立，一要找出等式两边的变化(差异)，明确变形目标；二要充分利用归纳假设，进行合理变形，正确写出证明过程，不利用归纳假设的证明，就不是数学归纳法

考向2用数学归纳法证明不等式

[规律方法]1.当遇到与正整数n有关的不等式证明时，若用其他方法不容易证明，则可考虑应用数学归纳法．

2．用数学归纳法证明不等式的关键是由n＝k时命题成立，再证n＝k＋1时命题也成立，在归纳假设使用后可运用比较法、综合法、分析法、放缩法等来加以证明，充分应用基本不等式、不等式的性质等放缩技巧，使问题得以简化．

考向3.归纳——猜想——证明

[规律方法]1.猜想{an}的通项公式时应注意两点：(1)准确计算a1，a2，a3发现规律(必要时可多计算几项)；(2)证明ak＋1时，ak＋1的求解过程与a2，a3的求解过程相似，注意体会特殊与一般的辩证关系．

2．“归纳—猜想—证明”的模式，是不完全归纳法与数学归纳法综合应用的解题模式，这种方法在解决探索性问题、存在性问题时起着重要作用，它的模式是先由合情推理发现结论，然后经逻辑推理证明结论的正确性．

[思想与方法]
1．数学归纳法是一种重要的数学思想方法，主要用于解决与正整数有关的数学命题．证明时步骤(1)和(2)缺一不可，步骤(1)是步骤(2)的基础，步骤(2)是递推的依据．

2．在推证n＝k＋1时，可以通过凑、拆、配项等方法用上归纳假设．此时既要看准目标，又要弄清n＝k与n＝k＋1之间的关系．在推证时，应灵活运用分析法、综合法、反证法等方法．