怎么判断矩阵是低秩的方法

① 矩阵的低秩近似 证明

1-范数应该改成2-范数，否则结论不对

至于证明，可以用反证法
假定存在B使得rank(B)<=k且||E||_2<σ_{k+1}，其中E=A-B
把B的奇异值从大到小排序，记成μ_1,...,μ_N，其中N=min{m,n}
由Weyl不等式得|μ_{k+1}-σ_{k+1}| <= ||E||_2 < σ_{k+1}，必有μ_{k+1}>0，与rank(B)<=r矛盾
最后取B=A_k可以验证最小值能取到

对于F范数也类似，记号同上，假定||E||_F^2<σ_{k+1}^2+...+σ_r^2=σ_{k+1}^2+...+σ_N^2
由Hoffman–Wielandt不等式得
|μ_1-σ_1|^2 + ... + |μ_N-σ_N|^2 <= ||E||_F^2 < σ_{k+1}^2+...+σ_N^2
由于μ_{k+1}=...=μ_N=0，不等式左端不可能小于右端，矛盾

② 什么是矩阵低秩逼近

矩阵低秩逼近就是对一个一般来说很大规模的矩阵，希望用一个秩比较低的矩阵。
矩阵：构成动态平衡的循环体系。
例子：可以把能量循环体系视为矩阵。聚能/平衡效应。人体可以视为矩阵，地球可以比喻视为矩阵，宇宙也比喻的视为矩阵。
在数学中，矩阵（Matrix）是指纵横排列的二维数据表格，最早来自于方程组的系数及常数所构成的方阵。这一概念由19世纪英国数学家凯利首先提出。
矩阵是高等代数学中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中。在物理学中，矩阵于电路学、力学、光学和量子物理中都有应用；计算机科学中，三维动画制作也需要用到矩阵。 矩阵的运算是数值分析领域的重要问题。将矩阵分解为简单矩阵的组合可以在理论和实际应用上简化矩阵的运算。对一些应用广泛而形式特殊的矩阵，例如稀疏矩阵和准对角矩阵，有特定的快速运算算法。关于矩阵相关理论的发展和应用，请参考矩阵理论。在天体物理、量子力学等领域，也会出现无穷维的矩阵，是矩阵的一种推广。

③ 矩阵的秩怎么判断

看出矩阵的秩是将矩阵化成行阶梯形后，看它非零行的个数就是它的秩了。在数学中，矩阵是一个按照长方阵列排列的复数或实数集合，最早来自于方程组的系数及常数所构成的方阵。这一概念由19世纪英国数学家凯利首先提出。

矩阵是高等代数学中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中。在物理学中，矩阵于电路学、力学、光学和量子物理中都有应用；计算机科学中，三维动画制作也需要用到矩阵。矩阵的运算是数值分析领域的重要问题。将矩阵分解为简单矩阵的组合可以在理论和实际应用上简化矩阵的运算。

④ 如何判断矩阵的秩 我在网上看说经过初等变换后非零行数就是秩，但这个题3个非0行，为什么秩是2跟后

你说的和答案是两个不同的求秩的方法
你说的是对的，但前提是要把矩阵通过初等变换化到阶梯形，再来看非零行的个数，就是矩阵的秩。
答案是通过矩阵的秩与行列式的关系以及秩的定义来做的。因为有个二阶子式不为0，所以秩要么为2，要么为3.又因为行列式为0，所以秩小于3.所以秩为2.

⑤ 请问一下怎么看矩阵的秩

AX=B

对增广矩阵(A，B) 做初等行变换

先化成梯矩阵

非零行数即增广矩阵的秩，不算最后一列的非零行数即系数矩阵的秩

比如 (A，B) 化为

1 2 3 4 5

0 0 6 7 8

0 0 0 0 0

则 r(A，B)=2，r(A)=2

方程组有解的充分必要条件是 r(A)=r(A，B)

且 r(A)=r(A，B)=n (未知量的个数或A的列数) 时，方程组有唯一解

r(A)=r(A，B)

(5)怎么判断矩阵是低秩的方法扩展阅读

矩阵的秩

定理：矩阵的行秩，列秩，秩都相等。

定理：初等变换不改变矩阵的秩。

定理：如果A可逆，则r(AB)=r(B),r(BA)=r(B)。

定理：矩阵的乘积的秩Rab<=min{Ra,Rb};

引理：设矩阵A=(aij)sxn的列秩等于A的列数n，则A的列秩，秩都等于n。

当r(A)<=n-2时，最高阶非零子式的阶数<=n-2，任何n-1阶子式均为零，而伴随阵中的各元素就是n-1阶子式再加上个正负号，所以伴随阵为0矩阵。

⑥ 想问下矩阵的低秩的性质和稀疏的性质之间有什么联系和区别么

稀疏矩阵不一定低秩(考虑单位阵), 低秩矩阵也不一定稀疏(考虑所有元素全为1的矩阵)

参考网页链接

⑦ 矩阵低秩的意义

我知道在线性代数中要学习有一个是矩阵低秩，在这个公式中一个矩阵A的列秩是A的线性独立的纵列的极大数。通常表示为r(A)，rk(A)或rankA。

矩阵的秩

先来看下线性代数中的“秩”的概念，有如下方程：

考虑到同一人脸的多幅图像，我们将每幅图像编码为列向量，然后将这些列排列成矩阵。这个矩阵应该是低秩矩阵，因为每个图像在同一位置（x，y）上的像素值应该相似。当噪声发生时，矩阵变得充满秩。在这一点上，我们可以通过低秩分解得到低秩矩阵和噪声矩阵。

总结：这样的应用在某些恢复方面有很大帮助。

⑧ 怎么快速判断一个矩阵的秩

将它化成行阶梯形后 看它非零行的个数就行了 这就是它的秩了