导函数的问题和解决方法

Ⅰ 导数在数学中可以解决哪几类问题

（1）导数 的几何意义就是曲线在点处的切线斜率，其切线方程可以表示为，这里一定不能忽视必须是曲线上的点这一条件，否则就会出错。此外还要注意的是：函数 在点处可导是曲线在点有切线的充分而不必要条件，即函数 在点处可导，则曲线 在点 一定存在切线；但曲线 在点存在切线时，函数在点处不一定可导。
（2）求曲线的切线方程一般步骤是：
①求出函数 在点 处的导数，即曲线 在点 处的切线的斜率；
②在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为：
③特别地，如果曲线 在点 处的切线平行于 轴，这时导数不存，根据切线定义，可得切线方程为 。
3、工具性：高考中对导数考查的第二层次，这一层次包括求函数的极值、最值，求函数的单调区间，证明函数的单调性等。因为导数已经成为分析和解决问题必不可少的“工具”，由于其应用的广泛性，提供了研究函数问题、曲线问题等的一般性方法，运用它可以简捷的解决一些实际问题和传统中学数学方法难以研究的问题。因此，在复习上，要掌握以下几个重要的知识点：
（1）利用导数研究函数单调性的方法，求可导函数 单调区间的一般步骤：
①分析 的定义域；
②求导数 ；
③解不等式 (或 < )；确定递增（或递减）区间，单调区间一定是定义域的子集；
（2）求可导函数 极值的一般步骤：
①求导数 ；
②求方程 的全部实根；
③判断 在实根左、右的符号，由增到减为极大，由减到增为极小。
（3）求可导函数 在闭区间上最值的方法：
①求出函数在给定区间内的所有极值；
②求出函数在闭区间上的两个端点值；
③将极值与端点的函数值作比较，得出最值。
（4）导数与函数的单调性的关系：
① 与 为增函数的关系：
能推出 为增函数，但反之不一定。如函数 在 上单调递增，但 ，∴ 是为增函数的充分不必要条件。
② 时， 与 为增函数的关系：
若将 的根作为分界点，因为规定 ，即抠去了分界点，此时 为增函数，就一定有 。∴当 时， 是 为增函数的充分必要条件。
③ 与 为增函数的关系：
为增函数，一定可以推出 ，但反之不一定，因为 ，即为或。当函数在某个区间内恒有，则为常数，函数不具有单调性。∴ 是 为增函数的必要不充分条件。
④ 与 为减函数的关系类似。
（5）还要特别提示以下几点：
①极值是一个局部概念，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小的，并不意味着它在函数的整个定义域内最大或最小，且极大值不一定比极小值大：
②如果函数在区间内只有一个点使，此时函数在这点有极大（小）值，那么不与端点比较，就可以知道该极大（小）值就是最大（小）值；
③函数在其定义域上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，可能没有。
4、创新性：导数知识点的引入，不仅仅创新了解题的手段，重要的是试题内容和思想方法上的创新。创新是高考对导数考查的第三层次，这一层次是将导数的内容和传统内容中的有关函数、三角、数列、不等式、向量和解析几何等交汇在一起，设计出许多情境新颖、综合性强的试题（包括应用题）。这些问题的求导的过程并不难，它考查的核心在于函数的性质及下列些重要的思想方法：
（1）数形结合思想：根据函数的单调性与极值、最值的情况，可以大致的描绘出函数的图像，以帮助我们直观形象的分析问题；
（2）化归和转化思想：愈来愈新的形式多样的导数问题，通过归纳类比，就可转化为我们熟悉的数学问题。例如，求解恒成立时实数范围时，可以转化为求的最大值问题；不等式的证明可转化为求函数单调性的问题；
（3）分类与整合思想：用导数处理含参数的问题，往往要根据极值点的大小和位置进行分类讨论，然后对各类情形进行整合
（4）综合数学思想：用导数求方程根的个数或根的分布的问题，简捷明了，这类问题可转化为根据的单调区间和极值，来判断的图像与轴的交点问题，这既是数形结合思想的体现，也是函数与方程思想的体现。
在本部分内容复习上，还要在充分认识导数作为工具在研究函数等问题提供了有效的途径和简便方法的基础上，认识导数在解决其他问题上的不可替代的优越性。要做相关的针对性模拟训练，要在老师的带领下总结方法，掌握一定的解题技巧，以拓展解题的空间，开阔解题的视野，培养创新思维能力。
具体说，要关注下列一些问题：
（1）处理生活中的优化问题：
对于实际生活中的优化问题，如果其目标函数为高次多项式函数，简单的分式函数，简单的无理函数，简单的指数函数、对数函数，或它们的复合型函数，用过去的知识求其最值往往没有一般方法，即使能求出，也要涉及到较高的技能技巧，而用导数法求其最值，其优越性则更为突出。
（2）证明不等式：
利用函数单调性证明不等式，关键在于构造好相应的函数，然后在相应的区间上用导数知识判断其单调性，再得到所证的不等式。
中学范围内利用导数解证不等式主要有两种方法：一是借助函数的单调性，二是借助函数的最大（小）值。无论哪种方法，解题过程变得简洁的关键是利用了导数。
（3）处理含参数的恒成立不等式问题：
求恒成立的无理不等式中参数的取值范围问题，往往在短时间内往往难以很快寻得正确的解题思路。本题从导数知识入手，解题思路清晰，令人耳目一新，体现了导数较高的工具应用价值。
5、思辩性
考查导数内容的第四个层次，是对相关概念的辨析。这部分内容的复习要关注下列几个问题：
（1）“过某点的切线”与“在某点的切线”是不同的，“过某点的切线”中的某点可以不在切线上，而“在某点的切线”中的某点一定在这条曲线上；过某点的切线可能不止一条，但在某点的切线条数一定是唯一；
（2） 是函数 为增函数的充分而不必要条件，不要误认为是充要条件；
（3）若可导函数 在点 处连续且两侧的导数异号，则点 是函数的极值点，但是函数 在极值点处的不一定可导；
（4）可导函数的极值点一定是导数为0的点，但是导数为0的点不一定是极值点；
（5）函数 在 处连续是函数 在 处可导的必要条件而非充分条件，即是说非连续函数是不能求导的。
6、求导之前，如果可以的话，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简，然后进行求导，有时可以避免使用商的求导法则，减少运算量。
7、定积分与微积分基本定理：
（1）定积分的定义过程包括“分割、近似求和、取极限”这几个步骤，这里包含着很重要的数学思想方法，只有对定积分的定义过程了解了，才能掌握定积分的应用。
（2）微积分基本定理：
（3）在不定积分中，由于 ，∴原函数不是唯一的， 但∵ ， ∴ 也是 的原函数，因此在求定积分时，只需要一个原函数 即可。
（4）利用定积分来求面积时，要特别注意位于轴两侧的图形的面积的计算，分两部分进行计算，然后求两部分的代数和，其结果可正可负。

Ⅱ 关于导函数的问题，紧急。

1、从几何意义上来理解，某一个x点对应的导数相当于函数曲线在此点处的斜率，即在此点处，与函数曲线相切的那条直线的斜率。只有在区间上的每一个x点，所对应的函数曲线上都存在斜率，才能说，在此区间上，原函数存在导函数。

某些情况下，函数在某点处是不存在斜率的，也就没有导数。

如：分段函数y=|x|，除了x=0以外，在第一象限的斜率都是1，第二象限的斜率都是-1。但在x=0处，不存在斜率（但此函数在x=0处是有定义的）。再如反比例函数y=1/x，在x=0处无定义，所以在此点处也不存在斜率。

以上例子说明，函数图像不连续，在“断裂”处肯定没导数。另一方面，即使函数图像连续，在某些特殊点处也可能没有导数。

“每一个可导的点，只有一个导数”，这个理解可以成立。但如果“函数”只有一个定义点，这还叫函数么？在这个唯一的定义点上，没有左右连续点，如何确定此点处的斜率？自然，不会有导数的。

2、导数与导函数概念也是有区别的。导数仅仅是某一个x点上的斜率。而导函数是许多连续的x点上的导数与自变量x形成的一一对应的函数关系的表达式。

如：y=x²这个函数，在x=0处的导数是0，在x=1处的导数是2，在x=2处的导数是4，……。y=x²的导函数是y=2x。

3、导函数与原函数是有依存关系的。没有原函数，哪来的导函数？导函数可以根据一些计算公式求出来的。
要计算某点处的导数，可以直接将此点x值代入导函数计算；当然，也可以在原函数上计算此x点处的斜率，即△y／△x的极限。

Ⅲ 含参导函数零点问题的几种处理方法

导数进入中学数学教材之后,给传统的中学数学内容注入了生机与活力,它具有深刻的内涵与丰富的外延。以函数为载体,以导数为工具,是近年高考中函数与导数交汇试题的显着特点和命题趋向。导数在求函数的单调性及极、最值等方面有着重要的应用,而这些问题都离不开一个基本点——导函数的零点,因为导函数的零点既是原函数单调区间的分界点,也可能是原函数的极值点或最值点。可以说,如果能把握导数的零点,就可以抓住原函数的性质要点。因此,导函数的零点问题对研究函数与导数的综合问题意义重大。但引入导数之后,高中阶段可处理的函数类型大大增加,特别是含有参数的函数问题,导函数的零点也变得更为复杂,有些函数的零点甚至是不易求出的。基于此,本文就含参数的导函数的零点问题,谈谈几种基本的处理方法。方法一:直接求出,代入应用对于导函数为二次函数的问题,可以用二次函数零点的基本方法来求。

Ⅳ 导数问题！！

（x/2-1/2）'=1/2
求导是数学计算中的一个计算方法，导数定义为：当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之商的极限。在一个函数存在导数时，称这个函数可导或者可微分。可导的函数一定连续。不连续的函数一定不可导。 物理学、几何学、经济学等学科中的一些重要概念都可以用导数来表示。如，导数可以表示运动物体的瞬时速度和加速度、可以表示曲线在一点的斜率、还可以表示经济学中的边际和弹性。 数学中的名词，即对函数进行求导，用f'(x）表示。
⑴求函数y=f(x)在x处导数的步骤：
① 求函数的增量Δy=f(x+Δx)-f(x)
② 求平均变化率
③ 取极限，得导数。
⑵基本初等函数的导数公式：
1.C'=0(C为常数）；
2.(X)'=nX (n∈Q）；
3.(sinX)'=cosX；
4.(cosX)'=-sinX；
5.(a)'=aIna （ln为自然对数）
特别地，(e)'=e
6.(logX)'=（1/X)loge=1/(Xlna) (a>0，且a≠1)
特别地，(ln x)'=1/x
7.(tanX)'=1/(cosX)=(secX)
8.(cotX)'=-1/(sinX)=-(cscX)
9.(secX)'=tanX secX
10.(cscX)'=-cotX cscX
⑶导数的四则运算法则：
①（u±v)'=u'±v'
②（uv)'=u'v+uv'
③（u/v)'=(u'v-uv')/ v
④复合函数的导数
[u(v)]'=[u'(v)]*v'，（u(v）为复合函数f[g(x)]）
复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数--称为链式法则。
导数是微积分的基础，同时也是微积分计算的一个重要的支柱。
重要极限
当 x 趋于0时 sin x=tan x=x
当 x 趋于0时 (1+x)=e
上式等价于 当 x 趋于正无穷时，(1+1/x)=e

Ⅳ 导函数解题技巧 求解。

1．了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念．
2．熟记基本导数公式；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则．了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数．
3．理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数在极值点两侧异号）；会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值

Ⅵ 导数问题，基础的，这个题怎么解，就解法

导数（Derivative），也叫导函数值。又名微商，是微积分中的重要基础概念。当函数y=f（x）的自变量x在一点x0上产生一个增量Δx时，函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx的比值在Δx趋于0时的极限a如果存在，a即为在x0处的导数，记作f'（x0）或df（x0）/dx。

导数是函数的局部性质。一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。如果函数的自变量和取值都是实数的话，函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的切线斜率。导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。例如在运动学中，物体的位移对于时间的导数就是物体的瞬时速度。

不是所有的函数都有导数，一个函数也不一定在所有的点上都有导数。若某函数在某一点导数存在，则称其在这一点可导，否则称为不可导。然而，可导的函数一定连续；不连续的函数一定不可导。

对于可导的函数f(x)，x↦f'(x)也是一个函数，称作f(x)的导函数（简称导数）。寻找已知的函数在某点的导数或其导函数的过程称为求导。实质上，求导就是一个求极限的过程，导数的四则运算法则也来源于极限的四则运算法则。反之，已知导函数也可以倒过来求原来的函数，即不定积分。微积分基本定理说明了求原函数与积分是等价的。求导和积分是一对互逆的操作，它们都是微积分学中最为基础的概念。

设函数y=f（x）在点x0的某个邻域内有定义，当自变量x在x0处有增量Δx，（x0+Δx）也在该邻域内时，相应地函数取得增量Δy=f（x0+Δx）-f（x0）；如果Δy与Δx之比当Δx→0时极限存在，则称函数y=f（x）在点x0处可导，并称这个极限为函数y=f（x）在点x0处的导数记作①

两者在数学上是等价的。

如果函数y=f（x）在开区间内每一点都可导，就称函数f（x）在区间内可导。这时函数y=f（x）对于区间内的每一个确定的x值，都对应着一个确定的导数值，这就构成一个新的函数，称这个函数为原来函数y=f（x）的导函数，记作y'、f'（x）、dy/dx或df（x）/dx，简称导数。

导数是微积分的一个重要的支柱。牛顿及莱布尼茨对此做出了贡献。

函数y=f（x）在x0点的导数f'（x0）的几何意义：表示函数曲线在点P0（x0,f（x0））处的切线的斜率（导数的几何意义是该函数曲线在这一点上的切线斜率）。

希望我能帮助你解疑释惑。

Ⅶ 试述导数在解决实际问题中的应用

1、导数与物理，几何，代数关系密切：在几何中可求切线；在代数中可求瞬时变化率；在物理中可求速度、加速度。

2、导数亦名纪数、微商（微分中的概念），是由速度变化问题和曲线的切线问题（矢量速度的方向）而抽象出来的数学概念，又称变化率。

3、物理学、几何学、经济学等学科中的一些重要概念都可以用导数来表示。如：导数可以表示运动物体的瞬时速度和加速度（就直线运动而言，位移关于时间的一阶导数是瞬时速度，二阶导数是加速度），可以表示曲线在一点的斜率，还可以表示经济学中的边际和弹性。

(7)导函数的问题和解决方法扩展阅读：

由基本函数的和、差、积、商或相互复合构成的函数的导函数则可以通过函数的求导法则来推导。基本的求导法则如下：

1、求导的线性：对函数的线性组合求导，等于先对其中每个部分求导后再取线性组合。

2、两个函数的乘积的导函数：一导乘二+一乘二导。

3、两个函数的商的导函数也是一个分式：（子导乘母-子乘母导）除以母平方。

4、如果有复合函数，则用链式法则求导。

Ⅷ 导函数的问题

变换x=y/A-B/A,
比较系数-B/A=B，且A=1/A,
得A=-1,B=非零实数，
即X+Y=B
满足交换律，反函数问题，和导函数没关联。

Ⅸ 高中数学导函数的问题

分析：（1）求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系，即可得到f（x）的单调区间；
（2）根据直线y=ax的图象恒在函数f（x）图象的上方，转化为h（x）=ax-f（x）＞0恒成立，即可求a的取值范围；
（3）利用函数的单调性和函数零点之间的关系，构造函数利用函数的单调性即可证明结论。

Ⅹ 高中导函数技巧

三、导
数
1．求导法则：
(c)/=0
这里c是常数。即常数的导数值为0。
(xn)/=nxn－1
特别地：(x)/=1
(x－1)/=
(
)/=－x-2
(f(x)±g(x))/=
f/(x)±g/(x)
(k•f(x))/=
k•f/(x)
2．导数的几何物理意义：
k＝f/(x0)表示过曲线y=f(x)上的点P(x0,f(x0))的切线的斜率。
V＝s/(t)
表示即时速度。a=v/(t)
表示加速度。
3．导数的应用：
①求切线的斜率。
②导数与函数的单调性的关系
一
与
为增函数的关系。
能推出
为增函数，但反之不一定。如函数
在
上单调递增，但
，∴
是
为增函数的充分不必要条件。
二
时，
与
为增函数的关系。
若将
的根作为分界点，因为规定
，即抠去了分界点，此时
为增函数，就一定有
。∴当
时，
是
为增函数的充分必要条件。
三
与
为增函数的关系。
为增函数，一定可以推出
，但反之不一定，因为
，即为
或
。当函数在某个区间内恒有
，则
为常数，函数不具有单调性。∴
是
为增函数的必要不充分条件。
函数的单调性是函数一条重要性质，也是高中阶段研究的重点，我们一定要把握好以上三个关系，用导数判断好函数的单调性。因此新教材为解决单调区间的端点问题，都一律用开区间作为单调区间，避免讨论以上问题，也简化了问题。但在实际应用中还会遇到端点的讨论问题，要谨慎处理。
四单调区间的求解过程，已知
（1）分析
的定义域;（2）求导数
（3）解不等式
，解集在梗稜盾谷墉咐堕栓乏兢定义域内的部分为增区间（4）解不等式
，解集在定义域内的部分为减区间。
我们在应用导数判断函数的单调性时一定要搞清以下三个关系，才能准确无误地判断函数的单调性。以下以增函数为例作简单的分析，前提条件都是函数
在某个区间内可导。
③求极值、求最值。
注意：极值≠最值。函数f(x)在区间[a,b]上的最大值为极大值和f(a)
、f(b)中最大的一个。最小值为极小值和f(a)
、f(b)中最小的一个。
f/(x0)＝0不能得到当x=x0时，函数有极值。
但是，当x=x0时，函数有极值
f/(x0)＝0
判断极值，还需结合函数的单调性说明。
4.导数的常规问题：
（1）刻画函数（比初等方法精确细微）；
（2）同几何中切线联系（导数方法可用于研究平面曲线的切线）；
（3）应用问题（初等方法往往技巧性要求较高，而导数方法显得简便）等关于
次多项式的导数问题属于较难类型。
2．关于函数特征，最值问题较多，所以有必要专项讨论，导数法求最值要比初等方法快捷简便。
3．导数与解析几何或函数图象的混合问题是一种重要类型，也是高考中考察综合能力的一个方向，应引起注意。
加油!希望你在这方面有突破!