矩阵合同的简单判别方法

1. 如何判断矩阵合同、相似、等价

1、矩阵等价

矩阵A与B等价必须具备的两个条件：

(1)矩阵A与B必为同型矩阵(不要求是方阵)；

(2)存在s阶可逆矩阵p和n阶可逆矩阵Q， 使B= PAQ。

2、矩阵A与B合同

必须同时具备的两个条件：

(1) 矩阵A与B不仅为同型矩阵而且是方阵；

(2) 存在n阶矩阵P: P^TAP= B。

3、矩阵A与B相似

必须同时具备两个条件：

(1)矩阵A与B不仅为同型矩阵，而且是方阵；

(2)存在n阶可逆矩阵P，使得P^-1AP= B。

(1)矩阵合同的简单判别方法扩展阅读

矩阵的相似，实际上两个相似矩阵描述的是同一个线性变换，只是在不同基底下的坐标表示。相似矩阵的特征值相同，秩也相同，方阵对应的行列式也相同。

判断两个矩阵是否相似，一般的题型是看两个矩阵能否相似于同一对角阵。同时两个矩阵相似，其对应的以矩阵为变量的两个函数也相似。

矩阵的合同是在二次型的背景下提出来的，理解合同就针对二次型里的对称阵，给一个二次型，我们可以写成矩阵表达形式，做一系列的可逆变换，新得到的表示二次型的矩阵，就是与原矩阵合同的新矩阵。

对于对称阵，两矩阵合同的重要条件是正负惯性指数相同，也就是正特征值的个数，负特征值的个数相同。

矩阵相似与否和合同与否没有直接关系，但在我们的考试当中，一般考察对称阵，在对称阵的前提下，矩阵相似一定合同，合同不一定相似。相似要求特征值一样，合同只要求特征值的正负性一样。

2. 第10题如何判断两个矩阵合同和相似

对于两个实对称矩阵，相似的充要条件是特征值相同。两个矩阵合同的条件是特征值的正负惯性指数相同（即特征值正负个数相同），所以实对称矩阵相似必然合同。
所以，你要求出A的所有特征值看看。

3. 线性代数问题 怎么判断两个矩阵是否合同

简单分析一下即可，答案如图所示

4. 已知两个矩阵，如何判断它们合同

一楼乱来。
二楼基本正确。仅考虑实对称矩阵之间的合同关系，正交相似是充分条件(普通的相似会破坏对称性)。
如果不知道怎么判断惯性指数的话，那就把两个同时化合同标准型(标准型就是派这个用的)。

5. 线代题 怎么判断两个矩阵是否合同

矩阵合同的主要判别法：

设A,B均为复数域上的n阶对称矩阵,则A与B在复数域上合同等价于A与B的秩相同。

设A,B均为实数域上的n阶对称矩阵,则A与B在实数域上合同等价于A与B有相同的正、负惯性指数（即正、负的个数对应相等）。

合同关系是一个等价关系，也就是说满足：

1、反身性：任意矩阵都与其自身合同；

2、对称性：A合同于B，则可以推出B合同于A。

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线性（linear）指量与量之间按比例、成直线的关系，在数学上可以理解为一阶导数为常数的函数。

非线性（non-linear）则指不按比例、不成直线的关系，一阶导数不为常数。

线性代数起源于对二维和三维直角坐标系的研究。在这里，一个向量是一个有方向的线段，由长度和方向同时表示。这样向量可以用来表示物理量，比如力，也可以和标量做加法和乘法。这就是实数向量空间的第一个例子。

现代线性代数已经扩展到研究任意或无限维空间。一个维数为n的向量空间叫做n维空间。在二维和三维空间中大多数有用的结论可以扩展到这些高维空间。尽管许多人不容易想象n维空间中的向量，这样的向量（即n元组）用来表示数据非常有效。

由于作为n元组，向量是n个元素的“有序”列表，大多数人可以在这种框架中有效地概括和操纵数据。

比如，在经济学中可以使用 8 维向量来表示 8 个国家的国民生产总值（GNP）。当所有国家的顺序排定之后，比如（中国、美国、英国、法国、德国、西班牙、印度、澳大利亚），可以使用向量（v1,v2,v3,v4,v5,v6,v7,v8）显示这些国家某一年各自的 GNP。这里，每个国家的 GNP 都在各自的位置上。

作为证明定理而使用的纯抽象概念，向量空间（线性空间）属于抽象代数的一部分，而且已经非常好地融入了这个领域。

一些显着的例子有：不可逆线性映射或矩阵的群，向量空间的线性映射的环。线性代数也在数学分析中扮演重要角色，特别在向量分析中描述高阶导数，研究张量积和可交换映射等领域。

向量空间是在域上定义的，比如实数域或复数域。线性算子将线性空间的元素映射到另一个线性空间（也可以是同一个线性空间），保持向量空间上加法和标量乘法的一致性。所有这种变换组成的集合本身也是一个向量空间。

如果一个线性空间的基是确定的，所有线性变换都可以表示为一个数表，称为矩阵。对矩阵性质和矩阵算法的深入研究（包括行列式和特征向量）也被认为是线性代数的一部分。

6. 什么叫两个矩阵相似、合同如何判断两个矩阵相似如何判断两个矩阵合同

两矩阵相似的条件是书上定义，特征值什么的，说的是矩阵能够相似对角化的条件。矩阵相似对角化的充要条件是n阶矩阵有n个线性无关的特征向量。矩阵能够相似对角化的充分条件是，n阶矩阵有n个不同的特征值，矩阵是实对称矩阵。

7. 怎么判断两矩阵相似合同

合同和相似关系并不大。
矩阵合同就是正负惯性指数相等就行（矩阵是对称的）。而相似就要求特征值必须相同，这是充要条件，不能反推哦！
我说一下相似判断吧！不能传图片，可能有点乱。
首先判断两矩阵特征值是否相等。
特征值等：判断两矩阵可否对角化 可以 对角化则相似。一个可对角化一个不对角化那么不相似。两个都不可对角化 判断两者秩是否相等 相等就相似 不等不相似。
特征值不等，连这个基础条件都不满足，直接判死刑，不相似。
判断合同：两矩阵对称且正负惯性指数相等就合同。
综上，相似比合同要求高多了。

8. 线性代数中，怎么判断两个矩阵是否合同

矩阵合同的判别法：

设A，B均为复数域上的n阶对称矩阵，则A与B在复数域上合同等价于A与B的秩相同。

设A，B均为实数域上的n阶对称矩阵，则A与B在实数域上合同等价于A与B有相同的正、负惯性指数（即正、负特征值的个数相等）。

(8)矩阵合同的简单判别方法扩展阅读：

合同矩阵发展史

1、1855 年，埃米特证明了其他数学家发现的一些矩阵类的特征根的特殊性质，如现在称为埃米特矩阵的特征根性质等。后来 ，克莱伯施、布克海姆等证明了对称矩阵的特征根性质。泰伯引入矩阵的迹的概念并得出了一些有关的结论。

2、在矩阵论的发展史上，弗罗伯纽斯的贡献是不可磨灭的。他讨论了最小多项式问题，引进了矩阵的秩、不变因子和初等因子、正交矩阵、矩阵的相似变换、合同矩阵等概念，以合乎逻辑的形式整理了不变因子和初等因子的理论，并讨论了正交矩阵与合同矩阵的一些重要性质。

3、1854年，约当研究了矩阵化为标准型的问题。 1892 年，梅茨勒引进了矩阵的超越函数概念并将其写成矩阵的幂级数的形式。

9. 两个不是实对称的矩阵怎么判断是否合同

判断矩阵合同的方法：

1、设A，B均为复数域上的n阶对称矩阵，则A与B在复数域上合同等价于A与B的秩相同。

2、设A，B均为实数域上的n阶对称矩阵，则A与B在实数域上合同等价于A与B有相同的正、负惯性指数（即正、负的个数对应相等）。

矩阵合同的定义：

在线性代数，特别是二次型理论中，常常用到矩阵间的合同关系。两个矩阵A和B是合同的，当且仅当存在一个可逆矩阵C，使得C^TAC=B，则称方阵A合同于矩阵B。

矩阵合同的性质：

1、反身性：任意矩阵都与其自身合同。

2、对称性：A合同于B，则可以推出B合同于A。

3、传递性：A合同于B，B合同于C，则可以推出A合同于C。

4、合同矩阵的秩相同。

矩阵是高等代数学中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中。在物理学中，矩阵于电路学、力学、光学和量子物理中都有应用；计算机科学中，三维动画制作也需要用到矩阵。矩阵的运算是数值分析领域的重要问题。

将矩阵分解为简单矩阵的组合可以在理论和实际应用上简化矩阵的运算。对一些应用广泛而形式特殊的矩阵，例如稀疏矩阵和准对角矩阵，有特定的快速运算算法。

10. 怎样判断两个矩阵A B是否合同或相似

相似的定义为：对n阶方阵A、B,若存在可逆矩阵P,使得P^(-1)AP=B,则称A、B相似。所以最简单的充要条件即是：对于给定的A、B,能够找到这样的一个P,使得：P^(-1)AP=B；或者：能够找到一个矩阵C,使得A和B均相似于C.
进一步地,如果A、B均可相似对角化（有n个线性无关向量，其中如果A、B为实对称矩阵，则必可对角化）,则他们相似的充要条件为：A、B具有相同的特征值.

同样对于合同，一般讨论实对称矩阵，对于两个实对称矩阵，合同的充要条件是正负惯性指数相同。