芝诺龟微积分解决方法

‘壹’ 急:关于:芝诺悖论—阿基里斯追不上乌龟的问题.

逻辑问题
“阿基里斯追不上乌龟”是古希腊的一个哲学故事。阿基里斯是当时的一个善于长跑的人。阿基里斯当然能够追上乌龟，用方程可以来解决。假设阿基里斯的速度为a，乌龟的速度为b，阿基里斯开始追赶乌龟的时候，乌龟在阿基里斯的前面，假设这段距离为c，请问需要多少时间阿基里斯可以追上乌龟。设所需要的时间为x，那么ax=bx+c, x=c/(a-b).由于a b c都是常数，x当然可以求得一个解。当然如果a b 的差如果很小，那么解可以趋于无穷大。

但是在这个哲学故事里面和这个问题却毫无关系，在这个故事里面说阿基里斯追不上乌龟是说，不论阿基里斯比乌龟跑得有多快，他都追不上。

但是当我们引入无限分割的问题时，马上出现了变化。

如果我们故意这样思考：阿基里斯在追赶乌龟的过程中，或者追上乌龟之前，必须先走完乌龟当前已经超过他的距离。（这不是假设，而是确实应该的事情。但是这种思维方式却是假定的，你可以用这样的思维方式，也可以不用。一旦用了这样的思维方式，就会使思维过程没有完结，从而使得阿基里斯追不上乌龟。）按照这种思维方式，当阿基里斯走完乌龟超过他的距离后，乌龟在这段时间里也前进了一段距离，虽然愈来愈小。每次这样的思维，结果都是一样的，在这个过程中，逻辑并没有犯错。我们可以把这样的思考无限循环下去，而且乌龟继续前进的距离永远不会是零，虽然趋向无穷小，那么可以用形式逻辑的方法，推出这样的结论：阿基里斯永远追不上乌龟。

以上的问题怎么解决呢？
或许可以用微积分的方法。阿基里斯追不上乌龟的故事中，实际涉及到：对有限空间在有限时间内以无限速度作无限分割。这个分割实际就是无穷小，我们完全可以规定这个无穷小等于0，因此只要出现无穷小的现象或情况，我们就可以认为0要出现，事物的变化就有确定性。
或许我们和古人的区别在于，我们认为无穷小是0，而古人认为无穷小是永远不能等于0。古人他们太认真了，他们会想，无穷小仅仅是无穷小，怎么会是0呢，相反它永远也不会是0。实际上无穷小是一个完整的概念，一旦把它有限化，那么它就不是零了。要找到0与非0之间的界限，实际上还是用有限的方式，去思维无限的对象，或者把有限的事物予以无限化。

‘贰’ 如何用微积分解释芝诺悖论

用微积分解释芝诺悖论：利用极限的定义来规定无穷小为何物即可解决芝诺悖论。

芝诺悖论不是数学上的问题。它们就是在讨论运动是什么（或是怎么产生的），还有世界是离散的还是连续的问题，所以不用微积分也能讨论， 但解释就不好说了，毕竟现在也没有定论。

悖论学说

这些悖论由于被记录在亚里士多德的《物理学》一书中而为后人所知。芝诺提出这些悖论是为了支持他老师巴门尼德关于“存在”不动、是一的学说。这些悖论中最着名的两个是：“阿基里斯跑不过乌龟”和“飞矢不动”。

‘叁’ 芝诺悖论是怎样解决的啊

譬如说，阿基里斯速度是10m/s，乌龟速度是1m/s，乌龟在前面100m。实际情况为阿基里斯必然会在100/9秒之后追上乌龟。按照悖论的逻辑，这100/9秒可以无限细分，给一种好像永远也过不完的印象。但其实根本不是如此。

这就类似于有1秒时间，先要过一半即1/2秒，再过一半即1/4秒，再过一半即1/8秒，这样下去永远都过不完这1秒，因为无论时间再短也可无限细分。尽管看上去要过1/2、1/4、1/8秒等等，好像永远无穷无尽。

但其实时间的流动是匀速的，1/2、1/4、1/8秒，时间越来越短，看上去无穷无尽，其实加起来只是个常数而已，也就是1秒。所以说，芝诺的悖论是不存在的。

(3)芝诺龟微积分解决方法扩展阅读

设乌龟先前所走过的所有的点属于集合B，乌龟现在所在的点标志为b，乌龟所走过的所有的点是集合A，A由集合B中所有的点加上b点构成。只要是乌龟先前所在的点，都是阿基里斯可以走到的，因而阿基里斯可以走到集合B中所有的点。

如果阿基里斯走过了集合B中所有的点，阿基里斯与b点的距离就已经是0（如果不是0，则应该在阿基里斯与b点之间还会存在着一个点，但这个点并不存在），也就是说，阿基里斯已经追上了乌龟。

而按照悖论所设定的条件，阿基里斯可以走到乌龟先前所走过的所有的点。因而阿基里斯追到了乌龟。但在上面的分析中发现了一个有趣的矛盾，这就是b既属于B又不属于B，也就是说，b既是现在又是先前。而且这是阿基里斯得以追上乌龟的前提和条件。

此悖论假设阿基里斯永远只能到达龟前一个时间段到达的地方，即追上的前一个时间段，此时条件未发生变化，并先承认此时间段两者间仍有差异，然后用不同的时间段进行重复换算，假设条件仍未变化。而在此时间段的下一个口径相同的时间段里，阿基米斯就会追上。

相反观点：这证明是错误的。因为证明假设了阿基里斯可以走一个点，在事实上回避了悖论中无法找第1点问题实质。故此证明和悖论无关，只是把小学应用题用集合论复述了一遍。

‘肆’ 用微积分知识解答 阿基里斯追不上乌龟 我是文科生，求大神帮忙 不要粘贴网上的理论，一步一步解答

无法直接打公式出来，但是以下这个解释，解释的很清楚，如果非得套用极限公式，自己直接带入也可以

这个悖论在数学上有一个错误的前提假设：误以为无限个数（有限数）相加一定是无限。
首先，每追一次乌龟，所需的路程会越来越少。其次，这个过程会重复无数次，也就是说共有无数条这样的路程。
我们想问的是：无限次的这些路程之和等于多少？是正无穷吗？
比如第一次追乌龟走了1m，第二次走了二分之一米，第三次四分之一米……………………
那么总路程1+0.5+0.25+0.125…………等于几？
如果等于无穷，说明追不上乌龟的情况可以从0m一直维持到正无穷远，换句话说，永远追不上乌龟，即悖论成立。
如果等于一个有限数，即等于x，就说明追不上乌龟的情况只能维持到距离起点x米的地方。换句话说，不但能追上，而且会在x米处相遇并超过乌龟。
无穷个数有可能是有限数吗？我们知道数学中无穷级数求和就是回答这个问题，一旦级数收敛结果必然是有限数。
简单来说，追龟的模型中，可以证明所有路程和一定是有限数，也就是说肯定能追上。

作者：汉唐天
链接：http://www.hu.com/question/51195954/answer/124909672
来源：知乎

‘伍’ 通俗解释芝诺乌龟的错误

“阿基里斯追不上乌龟”是古希腊的一个哲学故事。阿基里斯是当时的一个善于长跑的人。阿基里斯当然能够追上乌龟，用方程可以来解决。假设阿基里斯的速度为a，乌龟的速度为b，阿基里斯开始追赶乌龟的时候，乌龟在阿基里斯的前面；

假设这段距离为c，请问需要多少时间阿基里斯可以追上乌龟。设所需要的时间为x，那么ax=bx+c, x=c/(a-b).由于a b c都是常数，x当然可以求得一个解。当然如果a b 的差如果很小，那么解可以趋于无穷大。

但是在这个哲学故事里面和这个问题却毫无关系，在这个故事里面说阿基里斯追不上乌龟是说，不论阿基里斯比乌龟跑得有多快，他都追不上。

(5)芝诺龟微积分解决方法扩展阅读

芝诺悖论中既承认广延，又强调无广延的点，这个悖论实际上是反映时空并不是无限可分的,运动也不是连续的。换句话说，空间的无限分割性，并不意味着有一个无限的时间与之对应。

芝诺提出这些悖论是为了支持他老师 巴门尼德关于“存在”不动、是一的学说。这些方法可以用微积分的概念解释，但还是无法用微积分解决，因为微积分原理存在的前提是存在 广延（如，有广延的 线段经过无限分割，还是由有广延的线段组成，而不是由无广延的点组成）。

‘陆’ 芝诺悖论“阿咯琉斯追龟辩”用微积分的思想可以解吗怎么解

老问题了。这个问题似乎与量子无关。

可以，不过不是微积分的思想，是极限的思想（因为微积分处理的是连续的问题，这里则是离散的）。
在数学上这就是个无穷级数的问题。

“阿喀琉斯追不上乌龟”的结论，论证前提是无穷段时间相加，或者无穷段路程相加，必定是达不到的。也就是说所谓芝诺悖论就是认为无穷个数相加应该是无穷大。
然而我们知道，无穷段时间相加可以是收敛的，也就是可以做到无穷个正数相加的结果仍然是有限数。幸运的是，在芝诺悖论中的情形就是如此：各段时间（或者路程）在这里成一个等比数列，它们的无穷和是收敛的。
关于等比级数的结果，早在古希腊时候就有了。在微积分创立后，则在数学分析的背景下有了更加形式化的表达。在十九世纪数学分析基础严密化后，这样的级数问题就可以说是“天衣无缝”了。

不过，再深入一点，或者说更本质一点，要彻底解决芝诺悖论，实际上还要首先承认“无穷”的存在。或者说，承认“无穷”是可以达到的。
这个无穷，不是画一根直线，想象它要多长就可以延长多长，有些无限延长的“潜力”——这个叫“潜无穷”。这里必须要承认的，叫“实无穷”，即必须承认无穷作为一个整体的存在性。比如圆周率写成十进制小数有无穷多位数，但这无穷多位数合在一起才表示一个完整的数。
承认实无穷是一个哲学命题，早在古希腊时候就有人讨论了，如大名鼎鼎的欧几里德就不承认实无穷的存在，只承认潜无穷。后世的人也不断讨论，这个问题在康托时基本得到完满的解决，康托承认实无穷的存在，并给出了无穷的各种性质——这些事就发生在十九世纪末到二十世纪初。
需要指出的是，现代数学的框架是建立在承认实无穷的基础之上的，没有实无穷，我们甚至连实数也不能谈。而这个问题现在应该说是没有争论了的，“阿喀琉斯追不上乌龟”是个错误的论断，“芝诺悖论”已经消除。

‘柒’ 量子力学是如何解决芝诺悖论的

量子力学是如何解决芝诺悖论的
首先，我不赞同你的如下观点——“如霍金一样，把很深奥的量子力学原理，用很通俗的语言表述出来，让基本上不懂量子力学的人也能读得懂。”我可以负责任地跟你说，别说普通人弄不懂量子力学了，就是大科学家，也没有真懂量子力学的。至少有以下三位量子力学权威的话可以为证：1）推出量子力学的正统诠释的哥本哈根学派的领袖人物玻尔曾说：“如果谁没被量子力学搞得头晕，那他就一定是不理解量子力学。”2）千年才出一位的科学巨匠爱因斯坦说：“我思考量子力学的时间百倍于广义相对论，但依然不明白。”3）提出了量子力学的第三种表述（路径积分）的费曼说：“我们知道它如何计算，但不知道它为何要这样去计算，但只有这样去计算才能得出既有趣又有意义的结果。”

其次，我想提醒你注意芝诺在提出他的悖论时所默认的逻辑次序是与现代物理有所不同的：芝诺把时空概念置于逻辑起点，运动的概念是建立于时空概念之上的；但现代物理的逻辑却有了微妙的变化。比如相对论中将光速置于本源的位置，时间间隔是由光镜构成的自然钟定义的，空间间隔是由光钟与光速共同定义的。单从这一改变，就使得芝诺悖论不复存在了，因为在相对论看来，运动（尤其是光的恒定速度的真空运动）才是更根本的，整个逻辑次序被颠倒过来了！再比如量子力学中，虽未直接颠覆运动与时空的逻辑次序，但它至少将运动与时空置于同等地位！来看看量子力学的核心公式吧！ΔpΔx≥h/2π，ΔEΔt≥h/2π——h/2π是约化普朗克常数；Δ表示不确定度（测不准的程度）；动量p与能量E都含有速度的成分，即都与运动密切相关；x是空间坐标，t是时间坐标。两个公式都是两个量的乘积与一个普适常数的关系，既然是乘积，并且是满足交换律的乘积，这就表明，空间与动量所含的运动处于同等的地位，时间与能量中所含的运动处于同等的地位！亦即，运动与时空在这个量子力学核心公式里没有谁决定谁的问题，而是相互制约的关系——如果考察的时间极短，则相应的能量中所含的运动范围就会极大；如果考察的空间极小，则相应的动量中所含的运动的范围就会极大。你所说的“物体在某个很短的时间间隔内静止”直接就与“ΔEΔt≥h/2π——如果考察的时间极短，则相应的能量中所含的运动范围就会极大（所谓‘运动范围极大’是说物体的运动速度是在某个很大的数值到零之间不确定地迅速变化着）”矛盾！因此，你如果承认量子力学是对的，那你推理的逻辑起点就给它否定掉了，后面的一系列结论自然也都被一并否定了。

再次，说说最小时间段和最小空间段——普朗克时间与普朗克空间的问题：最小时空元的概念不是量子力学的直接结论，而是量子力学与广义相对论结合所导致的一个重要推测。之所以普朗克时空最小，不是因为你说的“假设一个空间段是绝对不可分的”那样是由于不可分才最小，而是因为到了那个时空尺度，时空极度扭曲，其拓扑结构千变万化且瞬息万变，使得时间的先后、空间的前后等一类基本的时空概念都失去了意义（更别说时空的度量了），亦即，再小就是混沌一片根本无法使用时空概念了！简言之是因为到了失去时空本来意义的临界点，所以普朗克时空才最小。

最后，我想强调一下量子运动与我们日常熟知的运动（也正是芝诺所描述的那种运动）是大相径庭的：量子运动神秘莫测，粒子的速度与位置似乎都是可以大范围地突变（在此意义上有超光速的问题），粒子时而在此、时而又突然出现在很远的某处；时而慢如蜗牛、时而又快似闪电……量子运动恰如一大团迷雾，因此，像爱因斯坦那样的众多顶级的科学家都会被量子力学困扰一生！也因此，芝诺悖论在量子力学的框架内是没有多少意义的，因为量子运动迥然不同于经典运动。下面引述的内容是我以前答题时的描述，如果你还想对量子运动是何等的奇异有更多一些的了解，不妨看看。

……
尽管日常语言无法精确地描述奇异的微观世界，但我们所熟悉的语言还只有日常语言；微观世界我们从未真正的体验过，所以我们没有微观语言。目前最好的语言就是数学公式的推演了，而一切描述性的关于微观图像的说法都是似是而非的。但是既然我们不能很专业地只讨论数学，那我们还是要使用一些形象化的日常语言尽力对微观世界进行一些一鳞半爪式的描述。以下的描绘肯定不是精确的，但有一定的启发性。
我通常是这样来想象一个自由的、且近期尚未与别的粒子相互作用过的微观粒子——它是一团云雾和一个点粒子的统一体，这团云雾的尺度大约就是该粒子的德布罗意波长的大小，点粒子在这团云雾的范围内（严格来说，它应遍布全空间，但超出这个云雾范围的几率很小，暂时忽略不计）忽而出现在这里、忽而又在那里冒出（某一片刻，粒子在此处向真空交出了它的全部能量从而“融化”到真空里；下一个片刻，另一处的真空又突然给出一些能量“重塑”了这个粒子），这种极快速的、随机的在不同位置的“生生灭灭、进进出出”正表现出一团云雾的样子。
接下来看我特别选定的三种电子：1）热电子——其动能等于室温下电子的平均动能，其德布罗意波长约为6纳米（10^-9m）；2）低能电子——其动能等于130几伏特的电场中获得的能量，其德布罗意波长约为1埃（10^-10m），这差不多正是一个氢原子的尺度；3）高能电子——其动能等于一万五千亿伏特（10^12V）的电场中获得的能量，其德布罗意波长约为1费米（10^-15m），这差不多正是一个质子或中子的尺度。
再看这三种电子在原子以及原子核面前的表现：1）热电子这团云雾在尺度上比氢原子大近百倍，而横截面积则大上千倍，它俩相遇有点儿像飞机穿过一大块积雨云，彼此几乎都没啥变化。当然还是有一点两者产生相互作用的几率（这种作用的细节与下述第二种情况类似）。2）低能电子这团云雾的尺度与氢原子相当，它将产生不少与相互作用有关的后果，只有一点几率是绕过原子就像第一情况那样。学习过量子力学基础内容的人都会记得一维条件下的入射平面波经过有限高有限宽的势垒（或有限深有限宽的势井）后部分反射部分透射（或陷入井中被约束）的情景，现在原子中的绕核电子对外来低能电子来说就有点像势垒，而其中的原子核就象势井，虽是三维情况，但大体仍是反射、透射及约束这三种情况。碰到原子后的电子云雾变得复杂：它开始随时间而不断扩展，一部分向入射的反方向扩展，这对应着反射波，也就是对应着反弹回去的几率；还有一部分“隧穿”过原子，即透射波；还有一小部分变成围绕核的电子云，对应着形成负离子的几率；还有很小很小的一部分深入核中（详见下述）。3）高能电子的那团云雾相当集中，对原子绕过、反射、透射等的几率都很小，它就像一根针，轻易即可刺破原子这个“大气球”而深入核中甚至质子或中子之中。电子与核子的相互作用基本上仍是电磁的，不必考虑强相互作用，因为电子根本就不带色荷。质子带正电，对电子就相当于势井。中子虽不带电，但它有磁矩，可相当于微弱的势井或势垒。夸克有带电，也相当于势井或势垒。它们对电子都会出产生反射透射等的影响。这么高能的电子还可通过弱作用（弱电统一的能标已基本达到）创造一系列正反夸克对（它们形成新粒子）导致更复杂的局面（我也不清楚，就不能继续说了）……

‘捌’ 怎样破解芝诺悖论

时空是否可以无限分割芝诺悖论的关键是使用了两种不同的时间测度。原来，我们用来测量时间的任何一种“钟”都是依靠一种周期性的过程作标准的。如太阳每天的东升西落，月亮的圆缺变化，一年四季的推移，钟摆的运动等等。人们正是利用它们循环或重复的次数作为时间的测量标准的。 芝诺悖论中除了普通的钟以外，还有另一种很特别的“钟”，就是用阿基里斯每次到达上次乌龟到达的位置作为一个循环。

用这种重复性过程测得的时间称为“芝诺时”。例如，当阿基里斯在第n次到达乌龟在第n次的起始点时，芝诺时记为n，这样，在芝诺时为有限的时刻,阿基里斯总是落在乌龟后面。但是在我们的钟表上,假如阿基里斯跑完AB(即100米)用了1分钟，那么他跑完BC只要6秒钟，跑完CD只需 0.6秒，实际上，他只需要1 1/9分钟就可以追上乌龟了。

因此，芝诺悖论的产生原因，是在于“芝诺时”不可能度量阿基里斯追上乌龟后的现象。在芝诺时达到无限后，正常计时仍可以进行，只不过芝诺的“钟”已经无法度量它们了。 这个悖论实际上是反映时空并不是无限可分的，运动也不是连续的。

‘玖’ 微积分有没有解决芝诺悖论

芝诺悖论不是数学上的问题。
我的理解它们就是在讨论运动是什么（或是怎么产生的），还有世界是离散的还是连续的问题。
所以不用微积分也能讨论， 但解释就不好说了，毕竟现在也没有定论