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初中数学abc最值问题解决方法

发布时间:2024-12-12 13:41:04

‘壹’ 初中最值问题的常用解法及模型

最值问题的常用解法及模型如下:

模型一:三角函数有界性

在三角函数中,正弦函数与余弦函数具有一个最基本也是最重要的特征——有界性,这是求解三角最值问题的最常用的方法。

另外,在解三角形问题中,两大利器就是正弦定理和余弦定理,它们两个的基本操作方法无非就是“角化边”或者“边化角”,将多元问题降元,转变成一元问题,再结合三角函数的有界性即可求解出最值。

2、对于正比例函数f(x)=kx,图形为一条直线,最大值和最小值均在端点处取得。

3、对于反比例函数f(x)=k/x,(x≠0)图形为双曲线,若区间内不包含x=0的点,则函数在端点处取得最值,若区间内包含x=0的点,区间因x=0点无定义而分段,函数图形分段,须分段讨论最值。

4、对于三角函数f(x)=Asinx,最大可能取值A,最小可能取值-A,其最值因区间而异。

‘贰’ 在职教师:中考数学中的最值问题如何解析

一、利用“三角形任意两边之和大于第三边”求最值
例:如图1所示,等边△ABC的边长为6,AD是BC边上的中线,M是AD上的动点,E是AC边上一点,若AE=2,求:EM+CM
的最小值。
解析:如图,M点是线段AD上的任意一点,由等边三角形的轴对称性知,M点到点E、C的距离之和ME+MC=ME+MB。而M′到点E、C的距离之和是M′E+M′C=M′E+M′B=BE.根据三角形任意两边的和都大于第三边,BE<me+mb.所以,be就是所求的最 小值。

二、利用“弦心距最短”求最值
例:如图2,是一条水平铺设的直径为2米的通水管道横截
面,其水面宽为1.6米,则这条管道中此时水最深为多少米。

解析:圆心与弦上的点的所有连线中,弦心距最短。所以,半径AC减去最短的弦心距AO就是水的最大深度。
三、利用一次函数的增减性求最值
例:在一次函数y=2x+3中,当0≤x≤5时,求y的最小值.
解析:根据一次函数y=kx+b的性质,当k值大于零时,y的值随x值的增大而增大,这里k=2>0,所以,y的值随x值的增大而增大,当x取得最小值0的时候,y取得最小值3。
四、利用二次函数顶点的纵坐标求最值
例:已知实数x,y满足x2+3x+y-3=0,求x+y的最大值。
解析:根据已知条件,y=-x2-3x+3,所以,x+y=x-x2-3x+3=-x2-2x+3。根据二次函数的性质,在二次函数y=ax2+bx+c中,二次项系数a小于零的时候,二次函数有最大值,最大值就是二次函数顶点的纵坐标.在这里,a=-1<0,所以x+y的最大值为4。
五、利用二次函数的判别式法求最值
例:已知关于x的一元二次方程x2=2(1-m)x-m2的两实数根为x1,x2.设y=x1+x2,当y取得最小值时,求相应m的值,并求出最小值。
解析:根据题意,有两个实数根,所以Δ≥0,解得m≤■,又∵y=x1+x2=2(1-m),整理得m=-■+1,所以-■+1≤■,解得y≥1,所以y的最小值是1,此时,m的值是■。
总之,求最值的方法很多,如果同学们积极研究,一定会有更多更新的发现。

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