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三角函数零点问题解决方法图

发布时间:2023-08-21 10:39:42

Ⅰ 高中数学函数零点问题,如图所示,这道题应该怎么

(1)

f'(x)=(0-cosx)e^x+(1-sinx)e^x=(1-sinx-cosx)e^x=(1-√2*sin(x+π/4))e^x
当x∈(0,π/2)时,f'(x)<0,即f(x)单调递减
当x∈(π/2,π)时,f'(x)>0,即f(x)单调递增
当x=π/2时,f'(x)=0,即f(x)取得极小值f(π/2)=0
(2)
首先g(0)=f(0)-1=1-1=0
然后对于任意的x>0,若g(x)=0,即(1-sinx)e^x-sinx-1=0
此时g(-x)=(1+sinx)e^(-x)+sinx-1
等式两边等式乘以e^x得
g(-x)e^x=(sinx-1)e^x+1+sinx=-g(x)=0
又因为e^x>0
所以g(-x)=0
也就是说除开x=0外,g(x)的零点是关于原点对称的。
所以我们这里只需要讨论g(x)在(0,π)上的零点个数。
g'(x)=f'(x)-cosx=(1-√2*sin(x+π/4))e^x-cosx
当x∈(0,π/2)时,g'(x)<0,即g(x)单调递减
当x∈(π/2,π)时,g'(x)>0,即g(x)单调递增
当x=π/2时,g'(x)=0,即g(x)取得极小值g(π/2)=-2
又g(0)=0,g(π)=e^π -1>0
所以g(x)在(0,π)上只有一个零点x1,且x1∈(π/2,π)
根据之前的分析,g(x)在(-π,π)上有且仅有三个零点,分别为-x1,0,x1
显然这三个零点的和为0

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