等差数列简单运用方法

❶ 如何求等差数列的任意项 4种方法来求等差数列的任意项

目录方法1：求等差数列的下一项1、求得数列的公差。2、检查公差是否一致。3、用公差加上最后的已知项。方法2：求缺少的中间项1、首先检查是否是等差数列。2、用公差加上空格前的那一项。3、用空格后的数字减去公差。4、比较结果。方法3：求等差数列的第N项1、确定数列的第一项。2、设公差为d。3、使用显式公式。4、填入已知信息解题。方法4：使用显式公式求其他数值1、对显式公式进行变形，求其他变量。2、求数列的第一项。3、求数列的项数。等差数列是每一项与它前面一项的差等于一个常数的数列。例如，偶数列
方法1：求等差数列的下一项
1、求得数列的公差。面对一组数字时，有时题目会告诉你它们是等差数列，而有时你必须自己认识到这一点。无论是哪种情况，第一步都是相同的。从几个数字中选择最开始的两项。用第二项减去第一项。所得结果就是数列的公差。例如，假设有一组数字1,4,7,10,13{displaystyle 1,4,7,10,13}?。用4?1{displaystyle 4-1}，求得公差为3。
假设有一列各项不断变小的数字，如25,21,17,13{displaystyle 25,21,17,13}?。还是用第二项减去第一项来求出公差。这种情况下，21?25=?4{displaystyle 21-25=-4}。负数结果说明从左到右看时，这组数字在逐渐变小。每次做题时，你都应该检查公差的正负号，看是否与数字的变化趋势相符。
2、检查公差是否一致。只计算前两项的公差，不足以保证数列是等差数列。你需要确保整列数字的差值始终一致。。将数列中另外两个连续项相减，检查它们的差值。如果结果与另外一到两次的结果一致，那么它就很可能是等差数列。还是以数列1,4,7,10,13{displaystyle 1,4,7,10,13}?为例，选择数列的第二项和第三项。用7?4{displaystyle 7-4}，差值仍然为3。保险起见，再选两个连续项相减，13?10{displaystyle 13-10}，差值为3，还是与之前的结果相吻合。现在，你可以比较确定它是一组等差数列了。
有时，数列的前几项看上去像等差数列，但之后却不符合等差数列的特征。例如，数列1,2,3,6,9{displaystyle 1,2,3,6,9}?。第一项和第二项之间的差是1，而第二项和第三项之间的差也是1。但是，第三项和第四项之间的差是3。由于数列各项之差并不相等，所以它不是等差数列。
3、用公差加上最后的已知项。知道公差后，求等差数列的下一项就非常简单了。只需用公差加上最后的已知项，就可以得出下一个数字。例如，在示例1,4,7,10,13{displaystyle 1,4,7,10,13}?中，要算出下一个数字，你可以用公差3加上最后的已知项。13+3{displaystyle 13+3}等于16，16就是下一个数字。只要愿意，你可以不断加3，写出数列后面的数字。例如，将数列后面的数字写出来后，我们得到1,4,7,10,13,16,19,22,25{displaystyle 1,4,7,10,13,16,19,22,25}?。你可以一直写下去，直到满意为止。
方法2：求缺少的中间项
1、首先检查是否是等差数列。某些情况下，题目会给出一组缺少中间项的数字。和之前一样，首先你应该检查数列是否是等差数列。选择任意的连续两项数字，计算它们之间的差值。比较结果与数列中另外两个连续数字的差值。如果差值相等，那么你可以假设自己面对的是一个等差数列，然后继续使用本文的等差数列方法。例如，假设有一个数列0,4{displaystyle 0,4},___,12,16,20{displaystyle 12,16,20}?。先用4?0{displaystyle 4-0}，求得差值为4。比较另外两个连续数字的差，如16?12{displaystyle 16-12}。差值仍等于4。因此，你可以将之当做等差数列，继续解题。
2、用公差加上空格前的那一项。方法和求数列最后一项类似。找到数列中空格前的那一项。这是已知的"最后一个"数字。用公差加上该项，算出应该填入空格的数字。在当前示例中，0,4{displaystyle 0,4},____,12,16,20{displaystyle 12,16,20}?，空格前的数字是4，而此数列的公差也是4。所以，用4+4{displaystyle 4+4}，得到8，它应该就是空格中的数字。
3、用空格后的数字减去公差。为了确保答案正确，可以从另一个方向来进行检查。无论是正序还是倒序，等差数列应该都符合自身特点。如果从左到右需要逐项加4，那么反过来，从右到左就正好相反，需要逐项减4。在当前示例中，0,4{displaystyle 0,4},___,12,16,20{displaystyle 12,16,20}?，空格后的数字是12。用该项减去公差，得到12?4=8{displaystyle 12-4=8}。你应该将结果8填入空格中。
4、比较结果。用左边项加公差和用右边项减公差算出来的两个结果应该相等。如果相等，说明你已经求得缺少项的值。如果不相等，则说明你需要检查自己的计算过程。题目中的数列可能并非等差数列。在当前示例中，4+4{displaystyle 4+4}和12?4{displaystyle 12-4}算得的结果都是8。因此，该等差数列的缺少项为8。完整的数列是0,4,8,12,16,20{displaystyle 0,4,8,12,16,20}?。
方法3：求等差数列的第N项
1、确定数列的第一项。并非所有序列都以数字0或数字1开始。查看题中的数列，找到第一项。它是计算的起点，可以使用变量a(1)代表。面对等差数列问题时，经常会使用变量a(1)来指代数列的第一项。当然，你可以选择自己喜欢的任何变量，这并不会影响到结果。
例如，已知数列3,8,13,18{displaystyle 3,8,13,18}?，第一项是3{displaystyle 3}，我们可以用a(1)来指代。
2、设公差为d。用上文所述方法求出数列的公差。在当前示例中，公差等于8?3{displaystyle 8-3}，等于5。使用数列中的其他数字进行检查，得到同样的结果。我们用变量d来指代该公差。
3、使用显式公式。显式公式是一个代数方程，使用它来求等差数列的任意项时，你无须写出完整数列。等差数列的显式公式为a(n)=a(1)+(n?1)d{displaystyle a(n)=a(1)+(n-1)d}。a(n)项可以读作"a的第n项"，其中n代表数列中你想求出的项数，而a(n)是该项的实际数值。例如，如果题目要求你求等差数列的第100项，那么n等于100。注意，在本示例中，n等于100，但a(n)等于第100项的值，而不等于数字100本身。
4、填入已知信息解题。使用数列的显式公式，填入已知信息，求出需要的项。例如，在本示例中，3,8,13,18{displaystyle 3,8,13,18}?，我们知道a(1)是第一项，等于3，而公差d等于5。假设题目要求你求出数列的第100项，则n=100，而(n-1)=99。填入数值后，完成显式公式，得到a(100)=3+(99)(5){displaystyle a(100)=3+(99)(5)}。简化后的结果是498，这个数字就是该数列的第100项。
方法4：使用显式公式求其他数值
1、对显式公式进行变形，求其他变量。使用显式公式和基础的代数知识，你可以算出等差数列的几个其他数值。显式公式的初始形式是a(n)=a(1)+(n?1)d{displaystyle a(n)=a(1)+(n-1)d}，其目的是求an，也就是数列的第n项。但是，你可以对公式进行代数变形，来计算任何其他变量。例如，假设数列的最后一个数字已知，需要你计算数列最开始的数字。你可以将公式变形，得到a(1)=(n?1)d?a(n){displaystyle a(1)=(n-1)d-a(n)}。
如果你知道等差数列的第一个数字和最后一个数字，但需要算出该数列的项数，你可以将显式公式变形来求出n。公式变形后可得n=a(n)?a(1)d+1{displaystyle n={frac {a(n)-a(1)}{d}}+1}。
如果为了将公式变形，你需要复习基础的代数知识，可以参阅本网站的学习代数或化简代数表达式相关文章。
2、求数列的第一项。已知等差数列的第50项为300，且每项比之前一项大7，即"公差"等于7，求序列第一项的值。使用变形后的显式公式来计算a1，求得问题的答案。使用方程a(1)=(n?1)d?a(n){displaystyle a(1)=(n-1)d-a(n)}，然后代入已知信息。由于已知第50项为300，所以n=50，n-1=49，且a(n)=300。题目还提供了公差d的值，d等于7。因此，公式变为a(1)=(49)(7)?300{displaystyle a(1)=(49)(7)-300}。得到343?300=43{displaystyle 343-300=43}。数列的第一项是43，每一项比前一项大7。因此，数列可以写作 43,50,57,64,71,78?293,300。
3、求数列的项数。假设你只知道等差数列的第一项和最后一项，需要求数列的项数。使用变形后的公式n=a(n)?a(1)d+1{displaystyle n={frac {a(n)-a(1)}{d}}+1}。假设已知等差数列的第一项是100，公差为13。题目还告知最后一项是2,856。要计算数列的项数，可以用到的信息有a1=100，d=13，以及a(n)=2856。将这些值代入公式，得到n=2856?10013+1{displaystyle n={frac {2856-100}{13}}+1}。计算后，可得n=275613+1{displaystyle n={frac {2756}{13}}+1}，等于212+1，即213。所以该序列有213项。
该序列可以写作100, 113, 126, 139? 2843, 2856。
警告数列有多种不同类型。不要假设所有数列都是等差数列。每次一定要检查至少两对数字，最好是三对或四对，来比较各对的公差。
小提示记住，d可以是正数，也可以是负数，取决于它是相加还是相减。

❷ 等差数列的用法

等差数列的用法如下：

等差数列有多种应用，最基本的就是要先认识谈宽等差数列，那什么是等差数列呢？任何相邻两项旅侍旁的差都相等的数列叫等差数列．特别要注意，类似于1，2，3，2，1，2，3，2，1，……和1，0，1，0，1，0……的数列，虽然相邻两个数的差都相等，但这样的数列不是等差数列。

这里我们可以用凑整法来做，1和9配，2和8配，3和7配，4和6配，他们都可以凑为10，但是这样算完了吗，我们会发现还有一个5单出来了，最后在加上5就可以了。除了这种做法，还有更简便的方法拆橡吗？

仔细观察我们会发现，配对的两个数的和刚好是2个5，那一共有多少个5呢，数出来最后刚好有9个5，而9刚好是这一列数的项数，5是这一列数里最中间的那个，所以最后我们可以得出结论和＝中间数×项数

例题1：某等差数列前7项的和为126，请问：第4项为多少？

分析：此题我们要求第4项，而第4项刚好就是中间项，所以这一题就是要让我们去求中间项，它给了两个已知条件，项数与他们的和，那我们就可以运用结论 和=中间数×项数 的变式 中间数=和÷项数 ，最后可以列式为 126÷7=18，第4项就等于18.

❸ 在等差数列中求项数的简便方法

项数=（末项-首项）÷公差+1。

例： 11＋12＋13＋…＋31＝？

分析与解：这串加数11，12，13，…，31是等差数列，首项是11，末项是31，共有31-11＋1＝21（项）。

原式=（11+31）×21÷2=441。

在利用等差数列求和公式时，有时项数并不是一目了然的，这时就需要先求出项数。根据首项、末项、公差的关系，可以得到

项数=（末项-首项）÷公差+1，

末项=首项+公差×（项数-1）。

(3)等差数列简单运用方法扩展阅读

等差数列的应用日常生活中，人们常常用到等差数列如：在给各种产品的尺寸划分级别时，当其中的最大尺寸与最小尺寸相差不大时，常按等差数列进行分级。若为等差数列，且有

的求和公式。

❹ 等差数列及其应用的公式

如果一个数列从第二项起返烂，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，而这个常数叫做等差数列的公差袜没d。
通项公式为：告世纳an=a1+(n-1)d
前n项和公式为：Sn=a1n+n（n-1）d/2或Sn=n(a1+an)/2