对勾型函数解决方法

‘壹’ 对勾函数问题 怎么做

我计算值域是[1，2]

(x²+4x+7)/(x²+2x+3) 先尽量化简函数
=(x²+2x+3+2x+4)/(x²+2x+3)
=1+(2x+4)/(x²+2x+3)
=1+2(x+2)/(x²+2x+3) 这里分子只有一个x的因式x+2了，那么可以换元或者直接给分母凑关于x+2的表达式
令t=x+2，则x=t-2，由于x的范围1到正无穷，则t的范围3到正无穷
原式=1+2t/((t-2)²+2(t-2)+3)
=1+2t/(t²-4t+4+2t-4+3)
=1+2t/(t²-2t+3)
=1+2/(t-2+3/t)
令分母t-2+3/t=f
原式=1+2/f
此时值域就根据右侧分母确定了，对分母f=t-2+3/t：
由对勾函数性质可以知道，当且仅当t=3/t时，f取得极小值，而极小值点右侧，f单调增，极小值点左侧，函数单调减
极小值点t=√3，不在定义域让弊内，定义域位于该点右侧，因此f在定义域内单调源滑局递增
则t=3时，f取得最小值2，t=无穷大时，f取得最大值，无穷大

回到函数表达式
分母f越大，函数值越小，而f越小，函数值越大
因此，值域y在f=无穷大时最小，为1，在f=2时最大，为2

PS：题目中定义域对∞那边应该是开区间雹让吧～这个估计是印刷错误

‘贰’ 对勾函数怎么求最小值

对勾函数的最小值求法：

对于f(x)=x+a/x这样的形式(“√a”就是“根号下a”)。当x>0时，有最小值，为f(√a)；当x=2√ab[a，b都不为负])。

比如：当x>0是f(x)有最小值，由均值定理得：x+a/x>=2√(x*a/x)=2√a，故f(x)的最小值为2√a。

‘叁’ 什么是对勾函数求其定义，特点及解法，谢了！

对勾历升物函数是一种类似于反比例函数的一般函数，又被称为“双勾函数”、"勾函数"等。也被形象称为“耐克函数” 所谓的对勾函数（双曲线函数），是形如f(x)=ax+b/x的函数。由图像得名。 当x>0时，f(x)=ax+b/x有最小值（这里为了研究方便，规定a>0，b>0），也就是当x=sqrt(b/a)的时候（sqrt表示求二次方根）高考例题2006年高考上海数学试卷（理工农医类肢液）已知函数 y=x+a/x 有如下性质：如果常数a>0，那么该函数在 (0,√笑野a] 上是减函数，在 ，[√a,+∞ )上是增函数． （1）如果函数 y=x+(2^b)/x （x>0）的值域为 [6,+∞)，求b 的值； （2）研究函数 y=x^2+c/x^2 （常数c >0）在定义域内的单调性，并说明理由； （3）对函数y =x+a/x 和y =x^2+a/x^2（常数a >0）作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例．研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明），并求函数F(x) =(x^2+1/x)^n+(1/x^2+x)^n（x 是正整数）在区间[½ ,2]上的最大值和最小值（可利用你的研究结论） 当x>0时，f(x)=ax+b/x有最小值；当x<0时，f(x)=ax+b/x有最大值 f(x)=x+1/x 首先你要知道他的定义域是x不等于0 当x>0, 由均值不等式有： f(x)=x+1/x>=2根号（x*1/x)=2 当x=1/x取等 x=1,有最小值是：2，没有最大值。 当x<0,-x>0 f(x)=-(-x-1/x) <=-2 当－x=-1/x取等。 x=-1,有最大值，没有最小值。 值域是：（负无穷，-2）并（2，正无穷） －－－－－－－－－－－－－－ 证明函数f(x)=ax+b/x,(a>0,b>0)在x>0上的单调性 设x1>x2且x1，x2∈(0，+∝) 则f(x1)-f(x2)=(ax1+b/x1) -（ax2+b/x2） =a（x1-x2)-b（x1-x2）/x1x2 =（x1-x2）（ax1x2-b）/x1x2 因为x1>x2，则x1-x2>0 当x∈(0，√(b/a）)时，x1x2<b/a 则ax1x2-b<b-b=0 所以f(x1)-f(x2)<0，即x∈(0，√(b/a）)时，f(x)=ax+b/x单调递减； 当x∈(√(b/a），+∞)时，x1x2>b/a 则ax1x2-b>b-b=0 所以f(x1)-f(x2)>0，即x∈(√(b/a），+∞)时，f(x)=ax+b/x单调递增。

‘肆’ 如何利用对勾函数求解请给出例题

对勾函数，是一种类似于反比例函数的一般函数。所谓的对勾函数，是形如f

(x)=ax+b/x的函数，是一种教材上没有但考试老喜欢考的函数，所以更加要注意

和学习。一般的函数图像形似两个中心对称的对勾，故名。当x>0时，f(x)

=ax+b/x有最小值（这里为了研究方便，规定a>0，b>0），也就是当x=sqrt(b/a)

的时候（sqrt表示求二次方根）。同时它是奇函数，就可以推导出x<0时的性

质。令k=sqrt(b/a)，那么，增区间：{x|x≤-k}∪{x|x≥k}；减区间：{x|-k≤

x<0}∪{x|0<x≤k}。由单调区间可见，它的变化趋势是：在y轴左边，增减，在y

轴右边，减增，是两个勾。

对勾函数实际是反比例函数的一个延伸，至于它是不芦蚂是双曲线还众说不一。

在我印象中 对勾函数会涉及到一些值域定义域耐陵问题昌哗戚 还有就是不等式问题（因

为对勾函数分子分母有相同的部分）差不多就这些吧。。

‘伍’ 什么是对勾函数怎么用对勾函数解答均值不等式不能解决的问题

1.概念：对勾函数的一般形式为f(x)=x+a²/x(a>0).

2.奇偶性与单调性：容易得出，对勾函数是奇函数。

对勾函数的单调性可由求导的方法或直接利用定义判断得到，它有四个单调区间。

在(-∞，-a]和[a，+∞)上是增函数；在[-a，0)和(0，a]上是减函数。

3.图像：①由于是奇函数，所以图像关于原点对称，再根据单调性，可以得到函数的图像。

②对勾函数的图像有两个顶点，它们关于原点对称，分别是A(a，2a)和B(-a，-2a)。

③对勾函数的图像有两条渐近线，分别是y轴和直线y=x，对勾函数的图像夹在渐近线之间，形状两个对称的“勾”。

4.解决均值不等式不能直接解决的问题举例：

例：求函数f(x)=(x²+5)/√(x²+4)的最小值。注：√(x²+4)表示根号下(x²+4)

①错解：(x²+5)/√(x²+4)=(x²+4+1)/√(x²+4)

=√(x²+4)+1/√(x²+4)

≥2√(x²+4)•1/√(x²+4)]=2

所以f(x)的最小值为2。

②错因分析：由于√(x²+4)的最小值是2，所以它不可能等于1/√(x²+4)，上面的不等式不能取“=”。直接用公式肯定是不行的。

③对勾函数的应用

令t=√(x²+4)，t≥2，则t²=x²+4，

g(t)=f(x)=(x²+5)/√(x²+4)=(t²+1)/t=t+1/t，t≥2

由于f(x)=g(t)=t+1/t在[2，+∞)上是增函数注：实际上一个增区间是[1，+∞）

从而，当t=2时，有最小值，为5/2.

‘陆’ 对勾函数窍门

f(x)=x+1/x
首先你要知道他的定义域是x不等于0

当x>0,
由均值不等式有：
f(x)=x+1/x>=2根号（x*1/x)=2
当x=1/x取等
x=1,有最小值是：2，没有最大值。

当x<0,-x>0
f(x)=-(-x-1/x)
<=-2
当－x=-1/x取等。
x=-1,有最大值，没有最小值。

值域是：（负无穷，0）并（0，正无穷）
－－－－－－－－－－－－－－
重点（窍门）：

其实对勾函数的一般形式是：
f(x)=x+k/x(k>0)
定义域是:{x|x不等于0}
值域是：{y|y不等于0}
当x>0,有x=根号k,有最小值是2根号k
当x<0,有x=-根号k,有最大值是：－2根号k
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平时要记住！

‘柒’ 如何用对勾函数解题

其实对勾函数的一般形式是：f(x)=x+a/x(a0)定义域是:{x|x不等于0}值域是：{y|y∈(-∞,-2根号a)∪(2根号a,+∞)}当x0,有x=根号a,有最小值是2根号a当x<0,有x=-根号a,有最大值是：－2根号a对钩函数的解析式为y=x+a/x(其中a0),它的单调性讨论如下：设x1<x2,则f(x1)-f(x2)=x1+a/x1-(x2+a/x2)=(x1-x2)+a(x2-x1)/(x1x2)=(x1-x2)(x1x2-a)/(x1x2)下面分情况讨论(1)当x1<x2<-根号a时，x1-x2<0,x1x2-a0,x1x20,所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2)，所以函数在(-∞,-根号a)上是增函数(2)当-根号a<x1<x2<0时，x1-x2<0,x1x2-a<0,x1x20,所以f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2)，所以函数在(-根号a,0)上是减函数(3)当0<x1<x2<根号a时，x1-x2<0,x1x2-a<0,x1x20,所以f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2)，所以函数在(0，根号a)上是减函数

‘捌’ 对勾函数的其它解法

面对这个罩键中函数 f(x)=ax+b/x,我们应该想得更多，需要我们深入探究：⑴它的单调性与亮袜奇偶性有何应用？而值域问题恰好与单调性密切相关，所以命题者首先想到的问题应该与值域有关；⑵函数与方程之间有密切的联系，所以命题者自然也会想到函数与方程思想的运用；⑶物山众所周知，双曲线中存在很多定值问题，所以很容易就想到定值的存在性问题。因此就由特殊引出了一般结论；继续拓展下去，用所猜想、探索的结果来解决较为复杂的函数最值问题。能否与均值有关系。