代数式构造不等式解决方法

㈠ 解不等式组的步骤

解不等式组，可以先把其中的不等式逐条算出各自的解集，然后分别在数轴上表示出来。以下是解不等式组的方法：

1、若两个未知数的解集在数轴上表示同向左，就取在左边的未知数的解集为不等式组的解集，此乃“同小取小”。

2、若两个未知数的解集在数轴上表示同向右，就取在右边的未知数的解集为不等式组的解集，此乃“同大取大”。

3、若两个未知数的解集在数轴上相交，就取它们之间的值为不等式组的解集。若x表示不等式的解集，此时一般表示为a<x<b，或a≤x≤b，此乃“相交取中”。

4、若两个未知数的解集在数轴上向背，那么不等式组的解集就是空集，不等式组无解，此乃“向背取空”。

解方程依据

1、移项变号：把方程中的某些项带着前面的符号从方程的一边移到另一边，并且加变减，减变加，乘变除以，除以变乘。

2、等式的基本性质：

（1）等式两边同时加(或减)同一个数或同一个代数式，所得的结果仍是等式。用字母表示为：若a=b，c为一个数或一个代数式。

（2）等式的两边同时乘或除以同一个不为0的数，所得的结果仍是等式。用字母表示为：若a=b，c为一个数或一个代数式（不为0）。

㈡ 如何解不等式

解不等式组，可以先把其中的不等式逐条算出各自的解集，然后分别在数轴上表示出来。
以两条不等式组成的不等式组为例，
①若两个未知数的解集在数轴上表示同向左，就取在左边的未知数的解集为不等式组的解集，此乃“同小取小”
②若两个未知数的解集在数轴上表示同向右，就取在右边的未知数的解集为不等式组的解集，此乃“同大取大”
③若两个未知数的解集在数轴上相交，就取它们之间的值为不等式组的解集。若x表示不等式的解集，此时一般表示为a＜x＜b，或a≤x≤b。此乃“相交取中”
④若两个未知数的解集在数轴上向背，那么不等式组的解集就是空集，不等式组无解。
5若两个未知数的解集出现如：x≤1,y≥1，则解只有1.
(2)求不等式10(x+4)+x≤84的非负整数解．
分析：对(1)小题中要明白“不小于”即“大于或等于”，用符号表示即为“≥”；(2)小题非负整数，即指正数或零中的整数，所以此题的不等式的解必须是正整数或零．在求解过程中注意正确运用不等式性质．
解：
∴ 120-8x≥84-3(4x+1)
(2)∵10(x+4)+x≤84
∴10x+40+x≤84
∴11x≤44
∴x≤4
因为不大于4的非负整数有0，1，2，3，4五个，所以不等式10(x+4)+x≤84的非负整数解是4，3，2，1，0．
例5 解关于x的不等式
(1)ax+2≤bx-1 (2)m(m-x)＞n(n-x)
分析：解字母系数的不等式与解数字系数不等式的方法、步骤都是类似的，只是在求解过程中常要对字母系数进行讨论，这就增加了题目的难度．此类问题主要考察了对问题的分析、分类的能力：它不但要知道什么时候该进行分类讨论，而且还要求能准确地分出类别来进行讨论(结合例题解法再给与说明)．
解：(1)∵ax+2≤bx-1
∴ax-bx≤-1-2
即 (a-b)x≤-3
此时要依x字母系数的不同取值，分别求出不等式的解的形式．
即(n-m)x＞n2-m2
当m＞n时，n-m＜0，∴x＜n+m；
当m＜n时，n-m＞0，∴x＞n+m；
当m=n时，n-m=0，n2=m2，n2-m2=0，原不等式无解．这是因为此时无论x取任何值时，不等式两边的值都为零，只能是相等的，所以不等式不成立．
例6 解关于x的不等式
3(a+1)x+3a≥2ax+3．
分析：由于x是未知数，所以把a看作已知数，又由于a可以是任意有理数，所以在应用同解原理时，要区别情况，分别处理．
解：去括号，得
3ax+3x+3a≥2ax+3
移项，得
3ax+3x-2ax≥3-3a
合并同类项，得
(a+3)x≥3-3a
(3)当a+3=0，即a=-3，得0·x≥12
这个不等式无解．
说明：在处理字母系数的不等式时，首先要弄清哪一个字母是未知数，而把其它字母看作已知数，在运用同解原理把未知数的系数化为1时，应作合理的分类，逐一讨论．
例7 m为何值时，关于x的方程3(2x-3m)-2(x+4m)＝4(5-x)的解是非正数．
分析：根据题意，应先把m当作已知数解方程，然后根据解的条件列出关于m的不等式，再解这个不等式求出m的值或范围．注意：“非正数”是小于或等于零的数．
解：由已知方程有6x-9m-2x-8m=20-4x
可解得 8x=20+17m
已知方程的解是非正数，所以
例8 若关于x的方程5x-(4k-1)=7x+4k-3的解是：(1)非负数，(2)负数，试确定k的取值范围．
分析：要确定k的范围，应将k作为已知数看待，按解一元一次方程的步骤求得方程的解x(用k的代数式表示之)．这时再根据题中已知方程的解是非负数或是负数得到关于k的不等式，求出k的取值范围．这里要强调的是本题不是直接去解不等式，而是依已知条件获得不等式，属于不等式的应用．
解：由已知方程有5x-4k+1=7x+4k-3
可解得 -2x=8k-4
即 x=2(1-2k)
(1)已知方程的解是非负数，所以
(2)已知方程的解是负数，所以
例9 当x在什么范围内取值时，代数式-3x+5的值：
(1)是负数 (2)大于-4
(3)小于-2x+3 (4)不大于4x-9
分析：解题的关键是把“是负数”，“大于”，“小于”，“不大于”等文字语言准确地翻译成数字符号．
解：(1)根据题意，应求不等式
-3x+5＜0的解集
解这个不等式，得
(2)根据题意，应求不等式
-3x+5＞-4的解集
解这个不等式，得
x＜3
所以当x取小于3的值时，-3x+5的值大于-4．
(3)根据题意，应求不等式
-3x+5＜-2x+3的解集
-3x+2x＜3-5
-x＜-2
x＞2
所以当x取大于2的值时，-3x+5的值小于-2x+3．
(4)根据题意，应求不等式
-3x+5≤4x-9的解集
-3x-4x≤-9-5
-7x≤-14
x≥2
所以当x取大于或等于2的值时，-3x+5的值不大于4x-9．
例10
分析：
解不等式，求出x的范围．
解：
说明：应用不等式知识解决数学问题时，要弄清题意，分析问题中数量之间的关系，正确地表示出数学式子．如“不超过”即为“小于或等于”，“至少小2”，表示不仅少2，而且还可以少得比2更多．
例11 三个连续正整数的和不大于17，求这三个数．
分析：
解：设三个连续正整数为n-1，n，n+1
根据题意，列不等式，得
n-1+n+n+1≤17
所以有四组：1、2、3；2、3、4；3、4、5；4、5、6．
说明：解此类问题时解集的完整性不容忽视．如不等式x＜3的正整数解是1、2，它的非负整数解是0、1、2．
例12 将18.4℃的冷水加入某种电热淋浴器内，现要求热水温度不超过40℃，如果淋浴器每分钟可把水温上升0.9℃，问通电最多多少分钟，水温才适宜？
分析：设通电最多x分钟，水温才适宜．则通电x分钟水温上升了0.9x℃，这时水温是(18.4+0.9x)℃，根据题意，应列出不等式18.4+0.9x≤40，解得，x≤24．
答案：通电最多24分，水温才适宜．
说明：解答此类问题时，对那些不确定的条件一定要充分考虑，并“翻译”成数学式子，以免得出失去实际意义或不全面的结论．
例13 矿山爆破时，为了确保安全，点燃引火线后，人要在爆破前转移到300米以外的安全地区．引火线燃烧的速度是0.8厘米/秒，人离开速度是5米/秒，问引火线至少需要多少厘米？
解：设引火线长为x厘米，
根据题意，列不等式，得
解之得，x≥48(厘米)
答：引火线至少需要48厘米．
*例14 解不等式|2x+1|＜4．
解：把2x+1看成一个整体y，由于当-4＜y＜4时，有|y|＜4，即-4＜2x+1＜4，
巧解一元一次不等式
怎样才能正确而迅速地解一元一次不等式？现结合实例介绍一些技巧，供参考．
1．巧用乘法
例1 解不等式0.25x＞10.5．
分析 因为0.25×4=1，所以两边同乘以4要比两边同除以0.25来得简便．
解 两边同乘以4，得x＞42．
2．巧用对消法
例2 解不等式
解 原不等式变为
3．巧用分数加减法法则
故 y＜-1．
4．逆用分数加减法法则
解 原不等式化为
，
5．巧用分数基本性质
例5 解不等式
约去公因数2后，两边的分母相同；②两个常数项移项合并得整数．
例6 解不等式
分析 由分数基本性质，将分母化为整数和去分母一次到位可避免繁琐的运算．
解 原不等式为
整理，得8x-3-25x+4＜12-10x，
思考：例5可这样解吗？请不妨试一试．
6．巧去括号
去括号一般是内到外，即按小、中、大括号的顺序进行，但有时反其道而行之即由外到内去括号往往能另辟捷径．
7．逆用乘法分配律
例8 解不等式
278(x-3)+351(6-2x)-463(3-x)＞0．
分析 直接去括号较繁，注意到左边各项均含有因式x-3而逆用分配律可速解此题．
解 原不等式化为
(x-3)(278-351×2+463)＞0，
即 39(x-3)＞0，故x＞3．
8．巧用整体合并
例9 解不等式
3｛2x-1-[3(2x-1)+3]｝＞5．
解 视2x-1为一整体，去大、中括号，得3(2x-1)-9(2x-1)-9＞5，整体合并，得-6(2x-1)＞14，
9．巧拆项
例10 解不等式
分析 将-3拆为三个负1，再分别与另三项结合可巧解本题．
解 原不等式变形为
得x-1≥0，故x≥1．
练习题
解下列一元一次不等式
③3｛3x+2-[2(3x+2)-1]｝≥3x+1．
答案
一元一次不等式及一元一次不等式组
一. 填空题（每题3分）
1. 若 是关于 的一元一次不等式,则 =_________.
2. 不等式 的解集是____________.
3. 当 _______时,代数式 的值是正数.
4. 当 时,不等式 的解集时________.
5. 已知 是关于 的一元一次不等式,那么 =_______,不等式的解集是_______.
6. 若不等式组 的解集为 ,则 的值为_________.
7. 小于88的两位正整数,它的个位数字比十位数字大4,这样的两位数有_______个.
8. 小明用100元钱去购买笔记本和钢笔共30件,如果每枝钢笔5元,每个笔记本2元,那么小明最多能买________枝钢笔.
二. 选择题（每题3分）
9.下列不等式,是一元一次不等式的是 ( )
A. B.
C. D.
10.4与某数的7倍的和不大于6与该数的5倍的差,若设某数为 ,则 的最大整数解是( )
A.1 B.2 C.-1 D0
11.若代数式 的值不大于3,则 的取值范围是( )
A. B. C. D.
12.某种商品的进价为800元,出售时标价为1200元,后来由于商品积压,商品准备打折出售,但要保证利润率不低于5%,则至多可打( )折
A.6 B.7 C.8 D.9
13.若不等式组 的解集是 ,则 的取值范围是( )
A. B . C. D.
14.不等式 的解集是( )
A. B. C. D.
15.若不等式组 无解,则不等式组 的解集是( )
A. B. C. D.无解
16.如果 那么 的取值范围是( )
A. B. C. D.
三. 解答题
17.解下列不等式组（每题5分）
1) 2)
18.当 在什么范围内取值时,关于 的方程 有:
(1) 正数解;（6分）
(2) 不大于2的解.（6分）
19.如果关于 的不等式 正整数解为1,2,3,正整数 应取怎样的值?（10分）
20.某自行车保管站在某个星期日接受保管的自行车共有3500辆.其中变速车保管费是每辆一次0.5元,一般车保管费是0.3元.
(1) 若设一般车停放的辆数为 ,总保管费的收入为 元,试写出 与 的关系式;（5分）
(2) 若估计前来停放的3500辆自行车中,变速车的辆数不少于25%,但不大于40%,试求该保管站这个星期日保管费收入总数的范围. （5分）
21.某旅游团有48人到某宾馆住宿,若全安排住宾馆的底层,每间住4人,房间不够;每间住5人,有一个房间没有住满5人.问该宾馆底层有客房多少间?（10分）
答案：
一． 填空题
1. m＝1 2. 3. 4. 5.
6.2 7.5 8.13
二． 选择题
9.A 10.D 11.B 12.B 13.D 14.A 15.C 16.A
三． 解答题
17.1） 2）
18.1） 2）
19.
20.1）
2）
21.设该宾馆有x间宿舍； 则x取10或11.
不等式组
1、2X+3＞0
-3X+5＞0
2、2X＜-1
X+2＞0
3、5X+6＜3X
8-7X＞4-5X
4、2（1+X）＞3（X-7）
4（2X-3）＞5（X+2）
5、2X＜4
X+3＞0
6、1-X＞0
X+2＜0
7、5+2X＞3
X+2＜8
8、2X+4＜0
1/2（X+8）-2＞0
9、5X-2≥3（X+1）
1/2X+1＞3/2X-3
10、1+1/2X＞2
2（X-3）≤4
3×60 <= x <= 3×70
1.2x+9y=81
3x+y=34
2.9x+4y=35
8x+3y=30
3.7x+2y=52
7x+4y=62
-4x>3
x+5>-1
4x<3x-5
1/7x<6/7
-8x>10
x=2>6
2x<10
x-2>o.1
-3x<10
x+3>-1
4x>-12
3(2x+5)>2(4x+3)
10_4(x-4)<2(X-1)
5x+1/6-2>x-5/4
2x+5<10
1.2x+9y=81
3x+y=34
2.9x+4y=35
8x+3y=30
3.7x+2y=52
7x+4y=62
4.4x+6y=54
9x+2y=87
5.2x+y=7
2x+5y=19
6.x+2y=21
3x+5y=56
7.5x+7y=52
5x+2y=22
8.5x+5y=65
7x+7y=203
9.8x+4y=56
x+4y=21
4x+7y=95
19.9x+2y=38
3x+6y=18
20.5x+5y=45
7x+9y=69
21.8x+2y=28
7x+8y=62
22.x+6y=14
3x+3y=27
23.7x+4y=67
2x+8y=26
24.5x+4y=52
7x+6y=74
25.7x+y=9
4x+6y=16
26.6x+6y=48
6x+3y=42
27.8x+2y=16
7x+y=11
28.4x+9y=77
8x+6y=94
29.6x+8y=68
7x+6y=66
30.2x+2y=22
7x+2y=47
x-7>26
3x<2x+1
2/3x>50
23.7x+4y=67
2x+8y=26
24.5x+4y=52
7x+6y=74
25.7x+y=9
4x+6y=16
26.6x+6y=48
6x+3y=42
27.8x+2y=16
7x+y=11
28.4x+9y=77
8x+6y=94
29.6x+8y=68
7x+6y=66
30.2x+2y=22
7x+2y=47
23.7x+4y=67
1.2x+9y=81
3x+y=34
2.9x+4y=35
8x+3y=30
3.7x+2y=52
7x+4y=62
4.4x+6y=54
9x+2y=87
5.2x+y=7
2x+5y=19
6.x+2y=21
3x+5y=56
7.5x+7y=52
5x+2y=22
8.5x+5y=65
7x+7y=203
9.8x+4y=56
x+4y=21
10.5x+7y=41
5x+8y=44
11.7x+5y=54
3x+4y=38
12.x+8y=15
4x+y=29
13.3x+6y=24
9x+5y=46
14.9x+2y=62
4x+3y=36
15.9x+4y=46
7x+4y=42
16.9x+7y=135
4x+y=41
17.3x+8y=51
x+6y=27
18.9x+3y=99
4x+7y=95
19.9x+2y=38
3x+6y=18
20.5x+5y=45
7x+9y=69
21.8x+2y=28
7x+8y=62
22.x+6y=14
3x+3y=27
23.7x+4y=67
2x+8y=26
24.5x+4y=52
7x+6y=74
25.7x+y=9
4x+6y=16
26.6x+6y=48
6x+3y=42
27.8x+2y=16
7x+y=11
28.4x+9y=77
8x+6y=94
29.6x+8y=68
7x+6y=66
30.2x+2y=22
7x+2y=47

㈢ 高中数学不等式证明的八种方法

不等式证明知识概要

河北/赵春祥

不等式的证明问题，由于题型多变、方法多样、技巧性强，加上无固定的规律可循，往往不是用一种方法就能解决的，它是多种方法的灵活运用，也是各种思想方法的集中体现，因此难度较大。解决这个问题的途径在于熟练掌握不等式的性质和一些基本不等式，灵活运用常用的证明方法。

一、要点精析

1.比较法比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法之一，它是两个实数大小顺序和运算性质的直接应用，比较法可分为差值比较法(简称为求差法)和商值比较法(简称为求商法)。

(1)差值比较法的理论依据是不等式的基本性质：“a-b≥0a≥b；a-b≤0a≤b”。其一般步骤为：①作差：考察不等式左右两边构成的差式，将其看作一个整体；②变形：把不等式两边的差进行变形，或变形为一个常数，或变形为若干个因式的积，或变形为一个或几个平方的和等等，其中变形是求差法的关键，配方和因式分解是经常使用的变形手段；③判断：根据已知条件与上述变形结果，判断不等式两边差的正负号，最后肯定所求证不等式成立的结论。应用范围：当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时一般使用差值比较法。

(2)商值比较法的理论依据是：“若a，b∈R+，a/b≥1a≥b；a/b≤1a≤b”。其一般步骤为：①作商：将左右两端作商；②变形：化简商式到最简形式；③判断商与1的大小关系，就是判定商大于1或小于1。应用范围：当被证的不等式两端含有幂、指数式时，一般使用商值比较法。

2.综合法利用已知事实(已知条件、重要不等式或已证明的不等式)作为基础，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后推出所要证明的不等式，其特点和思路是“由因导果”，从“已知”看“需知”，逐步推出“结论”。其逻辑关系为：AB1 B2 B3… BnB，即从已知A逐步推演不等式成立的必要条件从而得出结论B。

3.分析法分析法是指从需证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件，进而转化为判定那个条件是否具备，其特点和思路是“执果索因”，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”。用分析法证明AB的逻辑关系为：BB1B1 B3 … BnA，书写的模式是：为了证明命题B成立，只需证明命题B1为真，从而有…，这只需证明B2为真，从而又有…，……这只需证明A为真，而已知A为真，故B必为真。这种证题模式告诉我们，分析法证题是步步寻求上一步成立的充分条件。

4.反证法有些不等式的证明，从正面证不好说清楚，可以从正难则反的角度考虑，即要证明不等式A>B，先假设A≤B，由题设及其它性质，推出矛盾，从而肯定A>B。凡涉及到的证明不等式为否定命题、惟一性命题或含有“至多”、“至少”、“不存在”、“不可能”等词语时，可以考虑用反证法。

5.换元法换元法是对一些结构比较复杂，变量较多，变量之间的关系不甚明了的不等式可引入一个或多个变量进行代换，以便简化原有的结构或实现某种转化与变通，给证明带来新的启迪和方法。主要有两种换元形式。(1)三角代换法：多用于条件不等式的证明，当所给条件较复杂，一个变量不易用另一个变量表示，这时可考虑三角代换，将两个变量都有同一个参数表示。此法如果运用恰当，可沟通三角与代数的联系，将复杂的代数问题转化为三角问题根据具体问题，实施的三角代换方法有：①若x2+y2=1，可设x=cosθ，y=sinθ；②若x2+y2≤1，可设x=rcosθ，y=rsinθ(0≤r≤1)；③对于含有的不等式，由于|x|≤1，可设x=cosθ；④若x+y+z=xyz，由tanA+tanB+tanC=tanAtan-BtanC知，可设x=taaA，y=tanB，z=tanC，其中A+B+C=π。(2)增量换元法：在对称式(任意交换两个字母，代数式不变)和给定字母顺序(如a>b>c等)的不等式，考虑用增量法进行换元，其目的是通过换元达到减元，使问题化难为易，化繁为简。如a+b=1，可以用a=1-t，b=t或a=1/2+t，b=1/2-t进行换元。

6.放缩法放缩法是要证明不等式A<B成立不容易，而借助一个或多个中间变量通过适当的放大或缩小达到证明不等式的方法。放缩法证明不等式的理论依据主要有：(1)不等式的传递性；(2)等量加不等量为不等量；(3)同分子(分母)异分母(分子)的两个分式大小的比较。常用的放缩技巧有：①舍掉(或加进)一些项；②在分式中放大或缩小分子或分母；③应用均值不等式进行放缩。

二、难点突破

1.在用商值比较法证明不等式时，要注意分母的正、负号，以确定不等号的方向。

2.分析法与综合法是对立统一的两个方面，前者执果索因，利于思考，因为它方向明确，思路自然，易于掌握；后者是由因导果，宜于表述，因为它条理清晰，形式简洁，适合人们的思维习惯。但是，用分析法探求证明不等式，只是一种重要的探求方式，而不是一种好的书写形式，因为它叙述较繁，如果把“只需证明”等字眼不写，就成了错误。而用综合法书写的形式，它掩盖了分析、探索的过程。因而证明不等式时，分析法、综合法常常是不能分离的。如果使用综合法证明不等式，难以入手时常用分析法探索证题的途径，之后用综合法形式写出它的证明过程，以适应人们习惯的思维规律。还有的不等式证明难度较大，需一边分析，一边综合，实现两头往中间靠以达到证题的目的。这充分表明分析与综合之间互为前提、互相渗透、互相转化的辩证统一关系。分析的终点是综合的起点，综合的终点又成为进一步分析的起点。

3.分析法证明过程中的每一步不一定“步步可逆”，也没有必要要求“步步可逆”，因为这时仅需寻找充分条件，而不是充要条件。如果非要“步步可逆”，则限制了分析法解决问题的范围，使得分析法只能使用于证明等价命题了。用分析法证明问题时，一定要恰当地用好“要证”、“只需证”、“即证”、“也即证”等词语。

4.反证法证明不等式时，必须要将命题结论的反面的各种情形一一加以导出矛盾。

5.在三角换元中，由于已知条件的限制作用，可能对引入的角有一定的限制，应引起高度重视，否则可能会出现错误的结果。这是换元法的重点，也是难点，且要注意整体思想的应用。

6.运用放缩法证明不等式时要把握好“放缩”的尺度，即要恰当、适度，否则将达不到预期的目的，或得出错误的结论。另外，是分组分别放缩还是单个对应放缩，是部分放缩还是整体放缩，都要根据不等式的结构特点掌握清楚。

（摘自：《考试报·高二数学版》2004年/07月/20日）

1、比较法（作差法）
在比较两个实数 和 的大小时，可借助 的符号来判断。步骤一般为：作差——变形——判断（正号、负号、零）。变形时常用的方法有：配方、通分、因式分解、和差化积、应用已知定理、公式等。
例1、已知： ， ，求证： 。
证明： ，故得 。
2、分析法（逆推法）
从要证明的结论出发，一步一步地推导，最后达到命题的已知条件（可明显成立的不等式、已知不等式等），其每一步的推导过程都必须可逆。
例2、求证： 。
证明：要证 ，即证 ，即 ， ， ， ， ，由此逆推即得 。
3、综合法
证题时，从已知条件入手，经过逐步的逻辑推导，运用已知的定义、定理、公式等，最终达到要证结论，这是一种常用的方法。
例3、已知： ， 同号，求证： 。
证明：因为 ， 同号，所以 ， ，则 ，即 。
4、作商法（作比法）
在证题时，一般在 ， 均为正数时，借助 或 来判断其大小，步骤一般为：作商——变形——判断（大于1或小于1）。
例4、设 ，求证： 。
证明：因为 ，所以 ， 。而 ，故 。
5、反证法
先假设要证明的结论不对，由此经过合理的逻辑推导得出矛盾，从而否定假设，导出结论的正确性，达到证题的目的。
例5、已知 ， 是大于1的整数，求证： 。
证明：假设 ，则 ，即 ，故 ，这与已知矛盾，所以 。
6、迭合法（降元法）
把所要证明的结论先分解为几个较简单部分，分别证明其各部分成立，再利用同向不等式相加或相乘的性质，使原不等式获证。
例6、已知： ， ，求证： 。
证明：因为 ， ，
所以 ， 。
由柯西不等式
，所以原不等式获证。
7、放缩法（增减法、加强不等式法）
在证题过程中，根据不等式的传递性，常采用舍去一些正项（或负项）而使不等式的各项之和变小（或变大），或把和（或积）里的各项换以较大（或较小）的数，或在分式中扩大（或缩小）分式中的分子（或分母），从而达到证明的目的。值得注意的是“放”、“缩”得当，不要过头。常用方法为：改变分子（分母）放缩法、拆补放缩法、编组放缩法、寻找“中介量”放缩法。
例7、求证： 。
证明：令 ，则
，
所以 。
8、数学归纳法
对于含有 的不等式，当 取第一个值时不等式成立，如果使不等式在 时成立的假设下，还能证明不等式在 时也成立，那么肯定这个不等式对 取第一个值以后的自然数都能成立。
例8、已知： ， ， ，求证： 。
证明：（1）当 时， ，不等式成立；
（2）若 时， 成立，则

= ，
即 成立。
根据（1）、（2）， 对于大于1的自然数 都成立。
9、换元法
在证题过程中，以变量代换的方法，选择适当的辅助未知数，使问题的证明达到简化。
例9、已知： ，求证： 。
证明：设 ， ，则 ，

（因为 ， ），
所以 。
10、三角代换法
借助三角变换，在证题中可使某些问题变易。
例10、已知： ， ，求证： 。
证明：设 ，则 ；设 ，则
所以 。
11、判别式法
通过构造一元二次方程，利用关于某一变元的二次三项式有实根时判别式的取值范围，来证明所要证明的不等式。
例11、设 ，且 ，求证： 。
证明：设 ，则
代入 中得 ，即
因为 ， ，所以 ，即 ，
解得 ，故 。
12、标准化法
形如 的函数，其中 ，且
为常数，则当 的值之间越接近时， 的值越大（或不变）；当 时， 取最大值，即
。
标准化定理：当A+B为常数时，有 。
证明：记A+B=C，则
，
求导得 ，由 得C=2A，即A=B
又由 知 的极大值点必在A=B时取得
由于当A=B时， ，故得不等式。
同理，可推广到关于 个变元的情形。
例12、设A，B，C为三角形的三内角，求证： 。
证明：由标准化定理得，当A=B=C时， ，取最大值 ，故 。
13、等式法
应用一些等式的结论，可以巧妙地给出一些难以证明的不等式的证明。
例13（1956年波兰数学竞赛题）、 为 的三边长，求证：
。
证明：由海伦公式 ，
其中 。
两边平方，移项整理得

而 ，所以 。
14、函数极值法
通过变换，把某些问题归纳为求函数的极值，达到证明不等式的目的。
例14、设 ，求证： 。
证明：
当 时， 取最大值 ；
当 时， 取最小值－4。
故 。
15、单调函数法
当 属于某区间，有 ，则 单调上升；若 ，则 单调下降。推广之，若证 ，只须证 及 即可， 。
例15、 ，求证： 。
证明：当 时， ，而

故得 。
16、中值定理法
利用中值定理： 是在区间 上有定义的连续函数，且可导，则存在 ， ，满足 来证明某些不等式，达到简便的目的。
例16、求证： 。
证明：设 ，则
故 。
17、分解法
按照一定的法则，把一个数或式分解为几个数或式，使复杂问题转化为简单易解的基本问题，以便分而治之，各个击破，从而达到证明不等式的目的。
例17、 ，且 ，求证： 。
证明：因为

所以 。
18、构造法
在证明不等式时，有时通过构造某种模型、函数、恒等式、复数等，可以达到简捷、明快、以巧取胜的目的。
例18、已知： ， ，求证： 。
证明：依题设，构造复数 ， ，则 ，
所以

故 。
19、排序法
利用排序不等式来证明某些不等式。
排序不等式：设 ， ，则有
，其中 是 的一个排列。当且仅当 或 时取等号。
简记作：反序和 乱序和 同序和。
例19、求证： 。
证明：因为 有序，所以根据排序不等式同序和最大，即 。
20、几何法
借助几何图形，运用几何或三角知识可使某些证明变易。
例20、已知： ，且 ，求证： 。
证明：以 为斜边， 为直角边作
延长AB至D，使 ，延长AC至E，使 ，过C作AD的平行线交DE于F，则 ∽ ，令 ，
所以
又 ，即 ，所以 。

另外，还可以利用重要的不等式来证题，如平均不等式、柯西（Cauchy）不等式、琴生（Jensen）不等式、绝对值不等式、贝努利（J.Bernoulli）不等式、赫尔德（O.HÖlder）不等式、三角形不等式、闵可夫斯基（H.Minkowski）不等式等，这里不再烦述了。
在实际证明中，以上方法往往相互结合、互相包含，证题时，可能同时运用几种方法，结合起来加以证明。

参考文献
[1]李玉琪主编•初等代数研究•北京：中国矿业大学出版社，1993
[2]方初宝等编•数学猜想法浅谈•重庆：科技文献出版社重庆分社，1988
[3]吴德风•不等式与线性规划初步•北京：科学普及出版社，1983