重积分的解决方法

A. 三重积分的四种解法。每种给两个例题

三重积分的计算方法介绍： 三重积分的计算是化为三次积分进行的。其实质是计算一个定积分（一重积分）和一个二重积分。从顺序看： 如果先做定积分2 1),,(zzdzzyxf，再做二重积分D dyxF),(，就是“投 影法”，也即“先一后二”。步骤为：找及在xoy面投影域D。多D上一点（x,y）“穿线”确定z的积分限，完成了“先一”这一步（定积分）；进而按二重积分的计算步骤计算投影域D上的二重积分，完成“后二”这一步。ddzzyxfdvzyxfD zz 2 1]),,([),,(

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B. 多重积分的积分方法

多重积分问题的解决在多数情况下依赖于将多重积分转化为一系列单变量积分，而其中每个单变量积分都是直接可解的。 在常函数的情况中，结果很直接：只要将常函数c乘以测度就可以了。如果c= 1，而且是在R2的子集中积分，则乘积就是区域面积，而在R3中，它就是区域的体积。
例如：
。
and 在D上积分f：
。 对于二重积分来说，关于x轴对称，而被积函数关于y为奇函数，则积分为0.
对于Rn中的函数，只要相关变量对于形成对称的轴是奇变量就可以了。
例一:
给定f(x,y) = 2sinx -3y3 + 5以及T=x2 +y2 ≤ 1为积分区域（半径为1的圆盘，包含边界）。利用线性性质，积分可以分解为三部分：
。
2sinx和3y3都是奇函数，而且显然T对于x和y轴都是对称的；因此唯一有贡献的部分是常函数5因为其它两个都贡献0.
例二：
考虑函数f(x,y,z) =xexp(y2 +z2)以及圆心在原点的半径为2的球T=x2 +y2 +z2 ≤ 4。该球显然是对于三条轴都对称，但是只要对于x轴积分就可以看出结果是0，因为f对于该变量是奇函数。

C. matlab解决三重积分

用matlab求解三重积分，可以用integral3（）函数来计算。求解方法如下：

>> fun3=@(x,y,z)1./(1+x+y+z);

>> xmin =0;xmax = 1;

>> ymin = 0;ymax = @(x) (1 - x);

>> zmin = 0;zmax = @(x,y) (1 - x - y);

>> I=integral3(fun3,xmin,xmax,ymin,ymax,zmin,zmax)

运行结果

I = 0.096574

D. 高等数学重积分的内容

多重积分是定积分的一类，它将定积分扩展到多元函数。多重积分具有很多与单变量函数的积分一样的性质（线性，可加性，单调性等等）。

多重积分问题的解决在多数情况下依赖于将多重积分转化为一系列单变量积分，而其中每个单变量积分都是直接可解的。

多重积分简介：

正如单参数的正函数的定积分代表函数图像和x轴之间区域的面积一样，正的双变量函数的双重积分代表函数所定义的曲面和包含函数定义域的平面之间所夹的区域的体积。

（注意同样的体积也可以通过三变量常函数f(x,y,z) = 1在上述曲面和平面之间的区域中的三重积分得到。若有更多变量，则多维函数的多重积分给出超体积。

n元函数f(x1,x2,…,xn)在定义域D上的多重积分通常用嵌套的积分号按照演算的逆序标识（最左边的积分号最后计算），后面跟着被积函数和正常次序的积分参数（最右边的参数最后使用）。积分域或者对每个积分参数在每个积分号下标识，或者用一个变量标在最右边的积分号下。

以上内容参考：网络-多重积分

E. 如何利用matlab解决重积分问题并画出图像

（1）求积分利用命令dblquad。
例如下面命令求得函数z=y*sin(x)+x*cos(y)在x取pi到2*pi，y取0到pi之间的2重积分。
Q = dblquad(@(x,y)y*sin(x)+x*cos(y),pi,2*pi,0,pi)

（2）绘图利用surf命令。
如下命令绘制z=y*sin(x)+x*cos(y)和z=0在x取pi到2*pi，y取0到pi之间的曲面，两个区面之间的体积之和（区分正负，z=0面上部分体积为正，下面部分为负）。
x=pi:0.2:2*pi;y=0:0.2:pi;[x y]=meshgrid(x,y);
surf(x,y,y.*sin(x)+x.*cos(y),'LineStyle','none')
hold on
surf(x,y,zeros(size(x.*y)),'LineStyle','none')
axis([pi 2*pi 0 pi min(min(y.*sin(x)+x.*cos(y))) max(max(y.*sin(x)+x.*cos(y)))])
view([120,20])

F. 重积分计算方法原理

积分原理最基础的就是 分割 近似 求和 取极限 不管你是几重积分都是这个东西 当然也结合物理模型理解 比如二重积分可以看做是高为f(x,y) 底为Zxy(积分区域）的一个空间立体图形体积，或者是一个密度为f(x,y)，面积为Zxy的平面板的质量，三重积分可以类似去理解。
当你吃透这些东西时，你会发现微积分作为数学的一个基础技能，并不难，难的是以后灵活应用数学里种类繁多的知识去解决具体数学问题。

G. 三重积分计算 投影法和截面法分别求解的步骤是

1、投影法：投影法是先进行一次积分在进行二重积分。一次积分的上下限是由投影区域内的点做垂直于投影面的直线，与积分区域的交点确定，要保证所有的投影点都满足这个上下限，否则就要进行切割，之后再对投影区域进行二重积分即可。一般适用于带棱角的矩形区域。

(7)重积分的解决方法扩展阅读

直角坐标系法

适用于被积区域Ω不含圆形的区域，且要注意积分表达式的转换和积分上下限的表示方法

1、先一后二法投影法，先计算竖直方向上的一竖条积分，再计算底面的积分。

①区域条件：对积分区域Ω无限制；

②函数条件：对f（x,y,z）无限制。

2、先二后一法（截面法）：先计算底面积分，再计算竖直方向上的积分。

①区域条件：积分区域Ω为平面或其它曲面（不包括圆柱面、圆锥面、球面）所围成

②函数条件：f（x，y）仅为一个变量的函数。

H. 解决三重积分的问题一定要画图吗

分析和计算三重积分的相关题目时一定要画图，做题时可以省略画图步骤。

计算三重积分是基于（空间）坐标系的数学问题，因此为了便于分析和解决三重积分问题，需要根据题意画示意图（即空间坐标系示意图）。通过空间坐标系示意图的计算和分析后，写出公式及相关解题步骤即可。

(8)重积分的解决方法扩展阅读：

解决三重积分的问题，可以通过画图判断三重积分被积区域的类型，从而计算出三重积分。

1、直角坐标系法

适用于被积区域Ω不含圆形的区域，且要注意积分表达式的转换和积分上下限的表示方法。

（1）先一后二法投影法，先计算竖直方向上的一竖条积分，再计算底面的积分。

①区域条件：对积分区域Ω无限制；

②函数条件：对f（x,y,z）无限制。

（2）先二后一法（截面法）：先计算底面积分，再计算竖直方向上的积分。

①区域条件：积分区域Ω为平面或其它曲面（不包括圆柱面、圆锥面、球面）所围成

②函数条件：f（x，y）仅为一个变量的函数。

2、柱面坐标法

适用被积区域Ω的投影为圆时，依具体函数设定，如设x²+y²=a²，x=asinθ，y=acosθ

①区域条件：积分区域Ω为圆柱形、圆锥形、球形或它们的组合；

②函数条件：f（x,y,z）为含有与（或另两种形式）相关的项。

3、球面坐标系法

适用于被积区域Ω包含球的一部分。

①区域条件：积分区域为球形或球形的一部分，锥面也可以；

②函数条件：f（x,y,z）含有与相关的项。

I. 数学上的重积分该怎么解题么不会啊有什么好的简单的方法吗

没有简单的方法，只有书上给的极坐标，柱坐标，球坐标，直角坐标，等解法，还有对称性等。多做题就习惯了，不做当然觉得很难对付。

J. 高等数学重积分的内容

高等数学重积分的内容：二重积分的定义及其几何与物理意义、利用几何意义计算二重积分、二重积分的基本性质、利用直角坐标计算二重积分的基本方法、利用轮换对称性计算二重积分、利用极坐标计算二重积分的基本方法、极坐标系与直角坐标系下二次积分的相互转化。

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(10)重积分的解决方法扩展阅读：

多重积分问题的解决在多数情况下依赖于将多重积分转化为一系列单变量积分，而其中每个单变量积分都是直接可解的。

对于三重积分, 可以把被积函数看作密度，则其为空间中一立体的质量，想象一下大家切薯仔丝，相当于把三重积分转化为了三个"定积分"的累次积分；再想象一下切片面包，相当于把三重积分转化为了一个“定积分”和一个“二重积分”的累次积分。

对于二重积分, 可以把被积函数看做密度，则其为平面区域的质量。想象一下大家常见的炒饼丝，可以看到这样就把二重积分转化成了两个"定积分"的累次积分了。