分段函数根的解决方法

‘壹’ 分段函数f(x)=x平方-2x,x≥0 x平方+2x,x＜0.如何讨论方程f(x)=k的根的情况

先把两个函数的图像画出来,顶点分别是（1,-1）和（-1,-1）,根据定义域把不要的擦掉（前者只要x≥0的部分,后者只要x＜0的部分）,画出来就像个倒M型.然后根据图来看,当f（x）=k看成一个函数,当k小于-1时,无根,当k=-1时,2个根；当-1

‘贰’ 分段函数怎么求 分段函数求解方法

1、分段函数的分段点一般是一个表达式的终点以及下一个表达式的起始点。在函数表达式上面会体现出来或者在函数图像上体现。 2、分界点左右的数学表达式一样，但单独定义分界点处的函数值；分界点左右的数学表达式不一样。分段函数的定义域是各段函数定义域的并集，值域也是各段函数值域的并集。 3、判断分段函数的奇偶性的方法：先看定义域是否关于原点对称，不对称就不是奇（偶）函数，再由x>0,-x

‘叁’ 分段函数的端点该如何处理

分段函数的端点该处理：端点处不存在导数，因为端点处得左导数不等于右导数。由于各段表达式不一样，所以，分段函数的连续性//可导性只能用定义法解决。

x<0时，y=［1-√（1-x）］/x

y=1/［1+√（1-x）］

x=0-时，y=1/2

x=0时，y=a

∴a=1/2

y<0时，y'=-{1/［1+√（1-x）］²}*（-1/2）*（1-x）^（-1/2）

y'|（x=0-）=-（1/2）*（-1/2）=1/4

y≥0时，y'=b

∴b=1/4

a=1/2，b=1/4

分段函数题型

由于分段函数概念过广课本无法用文字明确给出分段函数的定义，故以更的实际例题的形式出现。但不少理解能力较弱的学生仍对它认识肤浅模糊，以致学生解题常常出错。

分段函数作图题的一般解法：分段函数有几段它的图像就由几条曲线组成，作图的关键就是根据每段函数的定义区间和表达式在同一坐标系中作出其图像，作图时要注意每段曲线端点的虚实，而且横坐标相同之处不可有两个以上的点。

‘肆’ 分段函数常见的几种形式

第四种情景型：

有些题目来源于特殊的背景，可以是数学的背景，也可以是生活实际的背景，这种问题往往需要我们结合实际来进行分类。

‘伍’ EXCEL怎么处理分段函数

.打开一个Excel文件，里面要有数据来做处理。这里我以花的销售量来做一个Excel表格为了演示。打开该文件，在想要计算分段的结果的空白处单击，将它们选中。2.在最上面选择“公式”接着选择“插入函数”。然后在第一个方框中输入“frequency”然后点击“转到”。3.在第三个框里找到“frequency”并且点击它。然后再点击下方的确定。之后弹出来的框就是要叫你输入总的数据。4.第一个框选中所要求的总数据，比如表格中的第一列数据就得全部选中。在第二个框里输入所要分段的区间范围如这里的{29；49；69；89}5.如果还需要对其他列的数据进行同样的处理，则可以不必重新输入函数等重复刚才的步骤，只需要选中刚才的结果，往后面拖动即可。

‘陆’ 分段函数

摘 要: 本文概括了分段函数常见问题的解决方法。

关键词: 分段函数 常见问题 解决方法

分段函数是指在函数定义域中对于自变量的不同的取值范围有不同的对应法则的函数。变量之间的关系要用两个或两个以上的式子表示。这种函数在日常生活、医学问题等方面中广泛存在。如居民水费,电费,企业税收金,医学中某些药品用量规定等采取分档处理,用数学式子表达就是分段函数。由于“分段”特点,解决分段函数的问题必须采取严谨的特殊方法,既要涉及初等函数公式、定理,又要综合运用高等数学的概念、公式、定理,是高等数学学习的难点。本文概括了分段函数常见问题的解决方法。

一、分段函数的确定

首先要准确确定分段点并划分自变量的取值区间,然后根据不同的区间正确确定函数关系式。对于分段函数通过+、-或复合的新分段函数,关键是确定新分段点,重新划分区间,还要注意只有在各分段函数的定义域有公共区间才能进行复合。

例1:将函数f(x)=2-|x-2|表示成分段函数。

(A)f(x)=4-x(x≥0)x(x<0) (B)f(x)=4-x(x≥2)x(x<2)

(C)f(x)=4-x(x≥0)4+x(x<0)(D)f(x)=4-x(x≥2)4+x(x<2)

分析:∵f(x)=|x-2|=x-2(x≥2)2-x(x<2),∴选(B)。

例2:设f(x)= 1 (x>0)-1(x≤0),g(x)=x+1,f[g(x)]=。

分析:定义域为R,又∵g(x)=x+1>0,∴f[g(x)]=1。

例3:设f(x)= 0(x≤0)x(x>0),求F(x)=f(x)-f(x-1)。

分析:∵f(x-1)=0(x≤1)(x-1)(x>1),分段点有两个x=0,x=1,

∴F(x)= 0(x≤0)x(01)。

例4:设f(x)=1(0≤x≤1)2(1(A)无意义 (B)在[0,2]有意义

(C)在[0,4]有意义(D)在[2,4]无意义

分析:∵f(x)定义域为[0,2],则2x∈[0,2],得x∈[0,1];又x-2∈[0,2],得x∈[2,4],∴选(A)。

二、分段函数定义域

分段函数的定义域各个部分自变量取值的并集。

例1:设f(x)=(|x|≤1)x-1(1<|x|≤2),其定义域是()。

分析:定义域为{x||x|≤1}∪{x|1<|x|<2}=(-2,2)。

例2:设f(x)=x-1(x<0)2 (0分析:定义域为(-∞,0)∪(0,1)∪[1,3)=(-∞,0)∪(0,3)。

三、分段函数的函数值

根据x的所在区间,正确选取相应的表达式,代入求计算即得。

例1:设f(x)=1-x(-3≤x<0)(0≤x≤3),求f(a)。

分析:∵a≥0,∴f(a)==|a|=-a(-≤a<0) a (0≤a≤)。

例2:设f(x)=2x (x≤2)x-4x-3(x>2),求f[f(1.5)]。

分析:∵1.5<2,∴f(1.5)=3;

又∵3>2,∴f[f(1.5)]=9-12+3=0。

例3:设f(x)=6(x<2)3(2≤x<3)2(x≥3),且a>0,求。

分析:∵a>0,∴f(2-a)=6,f(2+a)=3或2,

∴=或。

四、分段函数的反函数

首先判断函数的定义域与值域是否一一对应(或函数是否有单调性),确定反函数是否存在。若存在只要分别求出各区间段相应函数的`反函数并确定相应自变量的取值范围。

例1:设f(x)=(-∞分析:作图可知函数的定义域与值域一一对应,反函数存在,分别求出各区间的反函数为f(x)=2x (-∞例2:设f(x)= e(x≥0)x+1(x<0),求反函数f(x)。

分析:f(x)是单调递增函数,反函数存在,为f(x)=lnx(x≥1)x-1(x<1)。

五、分段函数的奇偶性

首先判断定义域是否关于原点对称,是的话,分别用-x代替解析式中的x并解出结果。注意自变量的取值范围相应改变,也可以通过作图判定。

例1:判断f(x)=x-1(x<0)0(x=0)x+1(x>0)的奇偶性。

方法一:作图可知图像关于原点对称,是奇函数。

方法二:

分析:定义域(-∞,+∞)关于原点对称。

f(-x)=-x-1(-x<0) 0 (x=0)-x+1(-x>0)=-(x+1)(x>0)0(x=0)-(x-1)(x<0)

∵f(-x)=-f(x),∴f(x)是奇函数。

例2:判断f(x)=x+2(-2≤x≤-1)1(-1方法一:作图可知图像关于y轴对称,是偶函数。

方法二:分析:定义域[-2,2]关于原点对称。

f(-x)=-x+2(-2≤-x≤-1) 1 (-1<-x<1)2+x(1≤-x≤2)=-x+2(1≤x≤2) 1 (-1∵f(-x)=f(x),∴f(x)是偶函数。

六、分段点的极限

对于非分段点或两侧表达式相同的分段点可用初等函数的求极限方法。而对于两侧表达式不同的分段点的极限要分别求出左右极限。根据定理f(x)=f(x)=A?圳f(x)=A判断函数在该点的极限是否存在。

例1:已知f(x)=x(x≠2)1 (x=2),求f(x)。

(A)2 (B)1 (C)4 (D)∞

分析:∵x=2是分段点但两侧表达式相同,由上述定理可得:

∴f(x)=f(x)=x=4。

例2:f(x)== 1 (x>1)-1(x<1),求f(x)。

分析:x=1是分段点且两侧表达式不同。要分别求出左右极限。

∵f(x)=1,f(x)=-1,∴f(x)不存在。

例3:f(x)=3x (x<1) 2(x=1)3x(x>1),求f(x)。

分析:∵f(x)=3,f(x)=3,∴f(x)=3。

七、分段函数的连续性

由于一切初等函数在它的定义域内是连续的,因此分段函数的连续性关键是判断分段点的连续性。

例1:判断f(x)=(x>0)e(x≤0)在x=0处是否连续。

分析:∵f(x)=1,f(x)=1,又f(0)=1,∴f(x)在x=0处连续。

例2:f(x)= (x<0)3x-2x+k(x≥0)在x=0处连续,求k。

分析:x=1是分段点且两侧表达式不同。要分别求出左右极限。

分析:∵f(x)=2,f(x)=k,∴k=2。

例3:函数f(x)=(x>0)a(x=0)xsin+b(x<0)在其定义域内是连续的,求a、b的值。

分析:由题意可知,f(x)在x=1处连续。

∵f(x)=,f(x)=b,又f(0)=a,∴a=b=。

八、分段函数的导数

非分段点可利用公式求出导数再代入即可。对于分段点且两侧表达式相同的可根据定义。对于分段点用两侧表达式不同的,必须求出左导和右导。

例1:f(x)=(x≠0)0 (x=0),求f′()、f′(0)。

分析:∵f′(x)=,∴f′=-,f′(0)===1。

例2:f(x)=ln(1+x)(x>0) x(x≤0),求f′(0)。

分析:∵f′(x)===1,f′(0)==1,∴f′(0)=1。

例3:f(x)=e(x<0)e (x≥0),求f′(x)。

分析:∵f′(0)===1,

f′(0)==-1,

∴f(x)在x=0处不可导,∴f′(x)=-e(x<0)e(x>0)。

九、分段函数的不积分

分别求出各区间段相应函数的不定积分,再由连续性确定常数。

例1:f(x)= x (x<0)-sinx(x≥0),求f(x)dx。

分析:f(x)dx= +c (x<0)cosx+c(x≥0)

∵f(x)在x=0处连续,∴c=1+c,

∴f(x)dx=+1+c(x<0) cosx+c (x≥0),其中c为任意常数。

例2:f′(x)=1 (x≤0)e(x>0),且在x=0处连续,f(0)=0,求f(x)。

分析:f(x)=f′(x)dx=x+c (x≤0)e+c(x>0)

∵f(x)在x=0处连续,且f(0)=0,c=0,c=-1。

∴f(x)=x (x≤0)e-1(x>0)。

十、分段函数的定积分

利用定积分的可加性,分成多个定积分。注意要根据分段区间选取相应被积函数。

例1:f(x)=1(-1≤x<0)2(0≤x≤1),求f(x)dx。

分析:f(x)dxdx=dx+2dx=。

例2:求|1-x|dx。

分析:|1-x|dx=(1-x)dx+(x-1)dx=1。

例3:f(x)= 0 (x<0)(0≤x≤1) 0 (x>1),kf(x)dx=1,求k的值。

分析:∵kf(x)dxkf(x)dx+kf(x)dx+kf(x)dx=kdx=1,∴k=。

十一、结语

在讨论分段函数的有关问题中,分段点是个特殊点,一般要分段处理。特别是求分段点极限、导数,以及判断连续性,都要“左看右看”,谨慎处理。

参考文献:

[1]刘书田等编.高等数学.北京理工大学出版.

‘柒’ 这种两边都有未知数且都是分式还带有根号的不等式怎么解

解如下图所示

‘捌’ 怎么做出分段函数

经常使用Excel表格的同学都知道，在Excel表格中，我们运营最多最广的就是函数。那么，你们知道怎么在Excel中进行分段函数的设置？我们今天来给大家具体说一下关于Excel中分段函数的设置方法；我以下面的表格来为大家举例说明。我们可以看到，在Excel表格中，已知A1表格中数据，如何求B1，是一个分段函数呢？

这里，我们就来细细的说一下具体的操作方法。感兴趣的同学跟我一起看看吧！

步骤如下：

1、首先，我们需要打开电脑上的Excel表格；接着，我们在Excel表格中输入一组数据；需要根据分段条件设置函数计算结果。

好了，这就是关于Excel中分段函数的使用方法了，你们学会了吗？那么，我们今天的分享到这里就要结束了，感谢你们的观赏，我们下期再见吧！

‘玖’ 分段函数怎么求

分段函数的复合函数要怎么求（2）求分段函数的复合函数，这是考研高数中的一个重要考点。专升本的高数不考这个。因此专升本考试的考生可略过。今天我们就来详细说一下这样的题目应该怎么做。有的老师会给大家提供用几何方法（数形结合方法来做）。但是我个人是不太喜欢画图的。一个是因为分段函数画图有时候容易画图，一个是因为画图的方法不好形成具体的做题步骤。所以我介绍的是用代数的方法来做的。首先题目类型是：f(x)和g(x)是两个分段函数f[g(x)]我们的解题方法是：依据f(x)中的x的范围，求出g(x)在该范围下的表达式和对应自变量的范围，然后回代替换即可。好了，废话不多说，我们先看一个例子。例1 设 ， ，求 解析：（1）我们先写出 的表达式。这种写法要记住，形成格式。如下（2）下面我的目标就是要把上式中的 替换成具体的关于x的表达式，后面的范围也替换成具体的x的范围。所以我们的思路自然而然的是要寻找 和 下的具体的x的表达式和范围了。显然要分类讨论。如下：当 时① 当x<0故此时 ，且 ② 当 故 ，且 当 时① 当x<0故此时 ，且 ② 当 或 故 ，且 （3）好了，具体的范围和表达式都求出来了。我们来做个总结如下因此有 时 时 （4）按照我们的总结进行回代到（1）中的式子，如下因此有 整理后如下===================================所以大家可以看到，严格遵循以上的四个步骤，逻辑严密，而且绝不会出错。是不是显得题目其实也简单许多啊。下面再举一道例题，我就不详细解出每一步的思路意图了。直接给步骤答案，让大家再体会一下分段函数求复合函数的解法。

‘拾’ [求助]数学分段函数问题

这种问题可以采用数形结合的方法。首先，根据f(x)的解析式研究一下其性质f(x)=f(x-1)(x>0)，

即f(x+1)=f(x)(x>-1),这说明x>-1时，f(x)具有周期性。这样你很容易画出f(x)的图像，我附了a=0时的图像。f(x)=x有且只有两个不相等的实数根等价于f(x)与y=x的图像有两个交点。当然也可以如下进行讨论。

a<1时，x<=0时，f(x)>0，f(x)=x没有负根，故全位于正半轴。只需满足1-a<=n<=2-a（n为正整数）就行，即1-n<=a<=2-n。

a>=1时，f(x)=x仅有一个负根。则需满足2-a>=n,n=<1-a<=n+1(等号你自己具体讨论吧，哈……因为也把我弄迷糊了。）