二次根式证明题解决方法

1. （急）二次根式是怎么化解的！！！！

你说的是关于开根号的问题，用“短除法”来做。

例：根号80最终是将80分解成4*4*5，这里4有两个，则将1个4提到根号外面，这样根号里面剩下5。

如果一下子不知道80可分解成4*4*5怎么办？

最简单的方法是：80用2来除（一个数末位是双数则可用2来整除，80的末位是0），这样80÷2=40，即将80分解成了40*2；接下来马上发现40也能被2整除，于是40÷2=20，现已经将80分解成了20*2*2；接下来发现20能被2整除，即20÷2=10，10还能被2整除（10÷2=5）；好了，最终结果将80分解成了5*2*2*2*2，相同的两个数提一个到根号外面去，即将2*2提外面去，而2*2=4，所以也就是将4提出，根号里面剩下5。

几点注意：

1、除了上面说的末位是双数可用2来整除的规律外，还有：一个数每一位上的数相加得到的数如果能被3整除，则这个数也能被3整除，例：126这个数每一位上数字相加，即1+2+6=9,9能被3整除，所以126也能被3整除。一个数末位是5，则这个数能被5整除，例：1345等等。

2、只能将分解后两两相同的数提1个到根号外面去。

3、像分解后是3*3*5*5*7,有一个3与一个5可以提出去，在外面的数互相乘，即3*5=15，你只要在根号外面写15就行了。

2. 二次根式的应用

二次根式的应用主要体现在两个方面利用从特殊到一般，再由一般到特殊的重要思想方法，解决一些规律探索性问题和用二次根式解决长度、高度计算问题，根据已知量，求出一些长度或高度，或设计省料的方案，以及图形的拼接、分割问题。

二次根式：

如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根。a可以是具体的数，也可以是含有字母的代数式。关于二次根式概念，应注意：被开方数可以是数，也可以是代数式。被开方数为正或0的，其平方根为实数；被开方数为负的，其平方根为虚数。

当a≥0时，√a表示a的算术平方根；当a小于0时，√a的值为纯虚数（在一元二次方程求根公式中，若根号下为负数，则方程有两个共轭虚根）。判断一个二次根式是否为最简二次根式主要方法是根据最简二次根式的定义进行，或直观地观察被开方数的每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2，且被开方数中不含有分母，被开方数是多项式时要先因式分解后再观察。

3. 二次根式的解题方法

一般地，形如√ā（a≥0）的代数式叫做二次根式。当a＞0时，√a表示a的算数平方根,√0=0
[编辑本段]II.二次根式√ā的简单性质和几何意义
1）a≥0
;
√ā≥0
[
双重非负性
]
2）（√ā）^2=a
（a≥0）[任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式]
3)
√(a^2+b^2)表示平面间两点之间的距离，即勾股定理推论。
[编辑本段]III.二次根式的性质和最简二次根式
1）二次根式√ā的化简
a(a≥0）
√ā=|a|={
-a(a＜0)
2）积的平方根与商的平方根
√ab=√a·√b（a≥0，b≥0）
√a/b=√a
/√b（a≥0，b>0）
3）最简二次根式
条件：
（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；
（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式。
如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有√2、√3、√a（a≥0）、√x+y
等；
含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有√4、√9、√a^2、√（x+y）^2、√x^2+2xy+y^2等
[编辑本段]IV.二次根式的乘法和除法
1
运算法则
√a·√b=√ab（a≥0，b≥0）
√a/b=√a
/√b（a≥0，b>0）
二数二次根之积，等于二数之积的二次根。
2
共轭因式
如果两个含有根式的代数式的积不再含有根式，那么这两个代数式叫做共轭因式，也称互为有理化根式。
[编辑本段]V.二次根式的加法和减法
1
同类二次根式
一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式。
2
合并同类二次根式
把几个同类二次根式合并为一个二次根式就叫做合并同类二次根式。
3二次根式加减时，可以先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的进行合并
[编辑本段]Ⅵ.二次根式的混合运算
1确定运算顺序
2灵活运用运算定律
3正确使用乘法公式
4大多数分母有理化要及时
5在有些简便运算中也许可以约分，不要盲目有理化
[编辑本段]VII.分母有理化
分母有理化有两种方法
I.分母是单项式
如:√a/√b=√a×√b/√b×√b=√ab/b
II.分母是多项式
要利用平方差公式
如1/√a＋√b=√a－√b/(√a＋√b)(√a－√b)=√a－√b/a－b

4. 二次根式的解法

二次根式的化简与计算的策略与方法
二次根式是初中数学教学的难点内容,读者在掌握二次根式有关的概念与性质后,进行二次根式的化简与运算时,一般遵循以下做法：
①先将式中的二次根式适当化简
②二次根式的乘法可以参照多项式乘法进行,运算中要运用公式 （ , ）
③对于二次根式的除法,通常是先写成分式的形式,然后通过分母有理化进行运算．
④二次根式的加减法与多项式的加减法类似,即在化简的基础上去括号与合并同类项．
⑤运算结果一般要化成最简二次根式．
化简二次根式的常用技巧与方法
二次根式的化简是二次根式教学的一个重要内容,对于二次根式的化简,除了掌握基本概念和运算法则外,还要掌握一些特殊的方法和技巧,会收到事半功倍的效果,下面通过具体的实例进行分类解析．
1．公式法
【例1】计算① ； ②
【解】①原式
②原式
【解后评注】以上解法运用了“完全平方公式”和“平方差公式”,从而使计算较为简便．
2．观察特征法
【例2】计算：
【方法导引】若直接运用根式的性质去计算,须要进行两次分母有理化,计算相当麻烦,观察原式中的分子与分母,可以发现,分母中的各项都乘以 ,即得分子,于是可以简解如下：
【解】原式 ．
【例3】 把下列各式的分母有理化．
（1） ；（2） （ ）
【方法导引】①式分母中有两个因式,将它有理化要乘以两个有理化因式那样分子将有三个因式相等,计算将很繁,观察分母中的两个因式如果相加即得分子,这就启示我们可以用如下解法：
【解】①原式

【方法导引】②式可以直接有理化分母,再化简．但是,不难发现②式分子中 的系数若为“1”,那么原式的值就等于“1”了!因此,②可以解答如下：
【解】②原式


3．运用配方法
【例4】化简
【解】原式

【解后评注】注意这时是算术根,开方后必须是非负数,显然不能等于“ ”
4．平方法
【例5】化简
【解】∵


∴ ．
【解后评注】对于这类共轭根式 与 的有关问题,一般用平方法都可以进行化简
5．恒等变形公式法
【例6】化简
【方法导引】若直接展开,计算较繁,如利用公式 ,则使运算简化．
【解】原式


6．常值换元法
【例7】化简
【解】令 ,则：
原式





7．裂项法
【例8】化简
【解】原式各项分母有理化得
原式

【例9】化简

【方法导引】这个分数如果直接有理化分母将十分繁锁,但我们不难发现每一个分数的分子等于分母的两个因数之和,于是则有如下简
【解】原式



8．构造对偶式法
【例10】化简
【解】构造对偶式,于是没
 ,
则 , ,
原式

9．由里向外,逐层化简

【解】∵

而

∴原式
【解后评注】对多重根式的化简问题,应采用由里向外,由局部到整体,逐层化简的方法处理．
10．由右到左,逐项化简
【例11】化简

【方法导引】原式从右到左是层层递进的关系,因此从右向左进行化简．
【解】原式



 ．
【解后评注】平方差公式和整体思想是解答本题的关键,由平方差公式将多重根号逐层脱去,逐项化简,其环节紧凑,一环扣一环,如果不具有熟练的技能是难以达到化简之目的的．
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二次根式大小比较的常用方法
二次根式的化简具有极强的技巧性,而在不求近似值的情况下比较两个无理数（即二次根式）的大小同样具有很强的技巧性,对初中生来说是一个难点,但掌握一些常见的方法对它的学习有很大的帮助和促进作用．
1．根式变形法
【例1】比较 与 的大小
【解】将两个二次根式作变形得
 ,
∵ ,∴ 即
【解后评注】本解法依据是：当 , 时,① ,则 ；②若 ,则
2．平方法
【例2】比较 与 的大小
【解】 ,
∵ ,∴
【解后评注】本法的依据是：当 , 时,如果 ,则 ,如果 ,则 ．
3．分母有理化法
通过运用分母有理化,利用分子的大小来判断其倒数的大小．
【例3】比较 与 的大小
【解】∵

又∵
∴
4．分子有理化法
在比较两个无理数的差的大小时,我们通常要将其进行分子有理化,利用分母的大小来判断其倒数的大小．
【例4】比较 与 的大小
【解】∵

又∵
∴ ．而
5．等式的基本性质法
【例5】比较 与 的大小
【解法1】∵

又

∴
即
牎窘夂笃雷ⅰ勘窘夥ɡ昧讼旅媪礁鲂灾剩孩俣技由贤桓鍪螅绞拇笮”叵挡槐洌诜歉旱资退堑亩蚊莸拇笮”叵狄恢拢?
【解法2】将它们分别乘以这两个数的有理化因式的积,得


又∵ ∴
【解后评注】本解法的依据是：都乘以同一个正数后,两数的大小关系不变．
6．利用媒介值传递法
【例6】比较 与 的大小
【解】∵ ∴
又∵ ∴
∴
【解后评注】适当选择介于两个无理数之间的媒介法,利用数值的传递性进行比较．
7．作差比较法
在对两数进行大小比较时,经常运用如下性质：
① ；②
【例7】比较 与 的大小
【解】∵

∴
8．求商比较法
与求差比较法相对应的还有一种比较的方法,即作商比较法,它运用的是如下性质,当 , 时,则：
① ；②
【例8】比较 与 的大小．
【解】
∵
∴
∴
【解后评注】得上所述,含有根式的无理数大小的比较往往可采用多种方法,来求解．有时还需各种方法配合使用,其中根式变形法,平方法是最基本的,对于具体的问题要作具体分析,以求用最佳的方法解出正确的结果．

5. 二次根式的解题技巧

二次根式的加法和减法
1 同类二次根式
一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式。
2 合并同类二次根式
把几个同类二次根式合并为一个二次根式就叫做合并同类二次根式。
3二次根式加减时，可以先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的进行合并
Ⅵ.二次根式的混合运算
1确定运算顺序
2灵活运用运算定律
3正确使用乘法公式
4大多数分母有理化要及时
5在有些简便运算中也许可以约分，不要盲目有理化
VII.分母有理化
分母有理化有两种方法
I.分母是单项式
如:√a/√b=√a×√b/√b×√b=√ab/b
II.分母是多项式
要利用平方差公式
如1/√a＋√b=√a－√b/(√a＋√b)(√a－√b)=√a－√b/a－b
如图
II.分母是多项式
要利用平方差公式
如1/√a＋√b=√a－√b/(√a＋√b)(√a－√b)=√a－√b/a－b
二次根式计算不难，主要是要靠仔细，平时要多加练习哦。掌握了解题方法，再加上灵活运用，再难的题也会快速解出来！

6. 初中数学二次根式概念归纳

初中数学二次根式知识点还是比较难学的，想要学好二次根式，学习方法很重要。以下是我分享给大家的初中数学二次根式概念，希望可以帮到你!
初中数学二次根式概念
二次根式的应用主要体现在两个方面：

1.利用从特殊到一般，在由一般到特殊的重要思想方法，解决一些规律探索性问题;

2.利用二次根式解决长度、高度计算问题，根据已知量，求出一些长度或高度，或设计省料的方案，以及图形的拼接、分割问题。这个过程需要用到二次根式的计算，其实就是化简求值。

常见考法

(1)设计一些规律探索问题提高学生的想象力和创造力;(2)联系生活实际设计一些方案探究题。

误区提醒

(1)不能通过观察，归纳、猜想寻找出共同的规律，并运用这种规律解决问题;

(2)不会应用数学的知识解决实际生活中的问题。

【典型例题】小丽想用一块面积为400cm2的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为300cm2的长方形纸片，使它的长、宽比为3：2，不知道能否裁出来，正在发愁你能帮他解决吗?

二次根式的运算主要是研究二次根式的乘除和加减.

(1)二次根式的加减：

需要先把二次根式化简，然后把被开方数相同的二次根式(即同类二次根式)的系数相加减，被开方数不变。

注意：对于二次根式的加减，关键是合并同类二次根式，通常是先化成最简二次根式，再把同类二次根式合并.但在化简二次根式时，二次根式的被开方数应不含分母，不含能开得尽的因数.

(2)二次根式的乘法：

(3)二次根式的除法：

注意：乘、除法的运算法则要灵活运用，在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的左边，同时还要考虑字母的取值范围，最后把运算结果化成最简二次根式.

(4)二次根式的混合运算：

先乘方(或开方)，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的;能利用运算律或乘法公式进行运算的，可适当改变运算顺序进行简便运算.

注意：进行根式运算时，要正确运用运算法则和乘法公式，分析题目特点，掌握方法与技巧，以便使运算过程简便.二次根式运算结果应尽可能化简.另外，根式的分数必须写成假分数或真分数，不能写成带分数.
初中数学二次根式说课稿
一、说教材

本节课选自人教版九年级数学上册第二十一章二次根式第一节的内容。“二次根式”是《课程标准》“数与代数”的重要内容。本章是在第13章实数(13.1平方根;13.2立方根;13.3实数)的基础上，进一步研究二次根式的概念、性质、和运算。本章内容与已学内容“实数”“整式”“勾股定理”联系紧密，同时也为以后将要学习的“锐角三角函数”、“一元二次方程”和“二次函数”等内容打下重要基础。

二、说学情

学生已经学习了平方根(算术平方根)等有关知识，有了一定的知识基础和认识能力。本课时及后面的知识的学习，对学生思维的严谨性、分类讨论及类比的数学思想等都有了更高的要求，如果学生在此不能很好地理解和正确地认知，将对后续的学习产生很大的影响，所以要求学生积极探究与思考，及时加以训练巩固，克服学习困难，真正“学会”。

三、说教学目标

根据大纲的要求和教材结构内容分析，结合九年级学生的实际水平，考虑到学生已有的认知结构心理特征，本节课可确定如下教学目标：

1.知识与技能：掌握二次根式的概念，二次根式的取值范围和被开方数的取值范围

2.过程与方法：根据条件处理问题的能力及分类讨论问题的能力

3.情感态度价值观：严谨的科学精神

四、说教学重点和难点

教学重点：二次根式中被开方数的取值范围

教学难点：二次根式的取值范围

五、说教法

教学活动的本质是一种合作，一种交流。学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者。依据学生的年龄特点和已有的知识基础，本节课注重加强知识间的纵向联系，拓展学生探索的空间，体现由具体到抽象的认识过程。为了为后续学习打下坚实的基础，例如在“锐角三角函数”一章中，会遇到很多实际问题，在解决实际问题的过程中，要遇到对二次根式进行条件约束等问题，本课适当加强练习，让学生养成联系和发展的观点学习数学的习惯。

六、说学法

新课程标准指出：学生是学习的主体。要让学生成为真正的主人，需要在数学教学的过程中，让老师引导学生自主思考、合作探究、共同总结，从而体现学生学习的主体地位。本节课主要采用自主学习，合作探究，引领提升的方式，启发式、讲练结合的方法展开教学。先提出问题，让学生探讨、分析问题，师生共同归纳，得出概念;再对概念的内涵进行分析，得出几个重要结论，并运用这些重要结论进行二次根式的计算和化简的学习。通过对本节课的学习，使学生们的发散性思维得以启发,学生们的观察、分析、发现问题的能力得以锻炼，学生辩证唯物主义观点得以培养。
学好初中数学的建议
一、掌握预习学习方法，培养数学自学能力

预习就是在课前学习课本新知识的学习方法，要学好初中数学，首先要学会预习数学新知识，因为预习是听好课，掌握好课堂知识的先决条件，是数学学习中必不可少的环节.预习可以用“一划、二批、三试、四分”的预习方法.“一划”就是圈划知识要点，基本概念.“二批”就是把预习时的体会、见解以及自己暂时不能理解的内容，批注在书的空白地方;“三试”就是尝试性地做一些简单的练习，检验自己预习的效果.“四分”就是把自己预习的这节知识要点列出来，分出哪些是通过预习已掌握了的，哪些知识是自己预习不能理解掌握了的，需要在课堂学习中进一步学习.

二、掌握课堂学习方法，提高课堂学习效果

课堂学习是学习过程中最基本，最重要的环节，要坚持做到“五到”即耳到、眼到、口到、心到、手到;

手到：就是以简单扼要的方法记下听课的要点，思维方法，以备复习、消化、再思考，但要以听课为主，记录为辅;

耳到：专心听讲，听老师如何讲课，如何分析、如何归纳总结.另外，还要听同学们的解答，看是否对自己有所启发，特别要注意听自己预习未看懂的问题;

口到：主动与老师、同学们进行合作、探究，敢于提出问题，并发表自己的看法，不要人云亦云;

眼到：就是一看老师讲课的表情，手势所表达的意思，看老师的演示实验、板书内容，二看老师要求看的课本内容，把书上知识与老师课堂讲的知识联系起来;

心到：就是课堂上要认真思考，注意理解课堂的新知识，课堂上的思考要主动积极.关键是理解并能融汇贯通，灵活使用.对于老师讲的新概念，应抓住关键字眼，变换角度去理解.

三、掌握练习方法，提高解答数学题的能力

数学的解答能力，主要通过实际的练习来提高.数学练习应注意以下几点：

1.端正态度，充分认识到数学练习的重要性.实际练习不仅可以提高解答速度，掌握解答技能技巧，而且，许多的新问题常在练习中出现.

2.要有自信心与意志力.数学练习常有繁杂的计算，深奥的证明，自己应有充足的信心，顽强的意志，耐心细致的习惯.

3.要养成先思考，后解答，再检查的良好习惯，遇到一个题，不能盲目地进行练习，无效计算，应先深入领会题意，认真思考，抓住关键，再作解答.解答后，还应进行检查.

4.细观察、活运用、寻规律、成技巧.

四、掌握复习方法，提高数学综合能力.

复习是记忆之母，对所学的知识要不断地复习，复习巩固应注意掌握以下方法.

1.合理安排复习时间，“趁热打铁”，当天学习的功课当天必须复习，无论当天作业有多少，多难，都要巩固复习.

2.采用综合复习方法，即通过找出知识的左右关系和纵横之间的内在联系，从整体上提高，综合复习具体可分“三步走”：首先是统观全局，浏览全部内容，通过唤起回忆，初步形成知识体系印象，其次是加深理解，对所学内容进行综合分析，最后是整理巩固，形成完整的知识体系.

3.突破薄弱环节的复习方法.要多在薄弱环节上下功夫，加强巩固好课本知识，只有突破薄弱环节，才利于从整体上提高数学综合能力.

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5. 初二人教版下册二次根式数学教案

7. 二次根式计算与化解的技巧是什么急用

一般地，形如√ā（a≥0）的式子叫做二次根式。
1）二次根式√ā的化简
a（a≥0）
√ā=|a|={
-a（a＜0）
2）积的平方根与商的平方根
√ab=√a·√b（a≥0，b≥0）
√a/b=√a
/√b（a≥0，b≥0）
3）最简二次根式
条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式。
1
运算法则
√a·√b=√ab（a≥0，b≥0）
√a/b=√a
/√b（a≥0，b≥0）
2
共轭因式
如果两个含有根式的代数式的积不再含有根式，那么这两个代数式叫做共轭因式，也称互为有理化根式。
1
同类二次根式
一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式。
2
合并同类二次根式
把几个同类二次根式合并为一个二次根式就叫做合并同类二次根式。