根式不等式的解决方法

‘壹’ 根式不等式

现在只讨论二次根式。因为高次根式非常麻烦，尤其是不同次方的根式。
一般做法是这样的
如果共有两个根号，那么移项使得两边各有一个根号，且没有根号的项全在一边；两边分别平方，消掉一个根号。
如果还有根号，那么将所有的没有平方的项都移到一边去，两边平方，消掉第二个根号。
在以上的平方过程中需要时刻注意平方时不等号仍成立的条件，即|x|>|y|时，x^2>y^2；并且，还要注意恒等式的出现条件。

就以你的题目√(3x+1)>√(2x+1)-1为例。
第一步：显然定义域为x≥-1/3。

第二步，其一：需要看到当√(2x+1)-1<0即x<0时，该不等式恒成立。
第二步，其二：当√(2x+1)-1≥0即x≥0时，我们有必要两边平方：
√(3x+1)>√(2x+1)-1
3x+1>2x+1-2√(2x+1)+1
x-1>-2√(2x+1)
2√(2x+1)>-(x-1)
注意，我们在两边平方之后，将所有的不含根号的项挪到了一边，并且令根式一边的系数是正的。

第三步，其一：当-(x-1)<0即x>1时，该不等式恒成立。注意，这是在x≥0的条件下说的。
第三步，其二：当-(x-1)≥0即x≤1时，继续两边平方：
2√(2x+1)>-(x-1)
4(2x+1)>(x-1)^2
8x+4>x^2-2x+1
x^2-10x-3<0
5-2√7<x<5+2√7

注意到5-2√7≈-0.29，我们可以得到最终结论了：
1、-1/3≤x<0是解集；
2、x≥0且x>1，即x>1是解集；
3、0≤x≤1，且5-2√7<x<5+2√7，即0≤x≤1是解集。
综上，x≥-1/3就是该不等式的解集，也就是说它在定义域内是恒成立的。

此外还有一种办法，就是将不等号改写为等号，然后解根式方程。这样就可以省去讨论不等号改变方向、两边分别是正负的问题。解完方程后得到若干个根（需要验根），则不等式的解集必然在这些根的两两之间。例如得到根为1，2，3，则解集可能是1<x<2且x>3，或别的可能。分别取其中的值（如0.5，1.5，2.5，3.5）代入验证是否成立即可。
当方程无解时，说明这就是个恒成立的不等式。

当有不少于3个根号时，将根号全放在一边然后平方是不能解决问题的（交叉项又出现了3个根号），必须用分别放在两边的办法去做。
对于多个根式混合的一个想法：令其中一个（比方说）√(x-a)=t，解得x=t^2+a，然后代入另外一个去，这样就可以减少一个根号。当然，哪种办法更简单也得实际做了才知道。
当根号太多时，很可能不能解出来。

‘贰’ 常数加根式的不等式怎么解

1、先确定根号内的未知数取值范围贞不在根号内的项的未知数应取范围，
2、两边平方去掉根号(把非根号内的数移到不等式的另一边，
化为整式不等式来解决。
例:
√(3X+10)<X+3
则已知式可知:
3X+10≥0，
X+3>0，
解得:X>-3，
两边平方得:
3X+10<X^2+6X+9，
X^2+3X-1>0
(X+3/2)^2>13/4，
X>-3/2+√13/2或X<-3/2-√13/2，
综合得:X>(-3+√13)/2。

‘叁’ 带根号的不等式的解法

把带跟号的放一边，不带跟号的放另一边，然后2边平方就可以了~
很高兴能帮助到你！

‘肆’ 根式不等式如何解

基本思想是代为整式。
两边平方或用Cauchy-Schwarz不等式。

‘伍’ 根式不等式

解：（1）不等式变形为(x+1）（x+3）>0得x+1>0 或x+1<0
x+3>0 x+3<0
解为x>-1或x<-3
(2)移项得 根号x>3-根号5
两边都大于0所以两边平方得x>14-6(根号5)

‘陆’ 根式不等式的解法

先算出定义域3x-1>=0,则x>=3分之1
且原不等式可以写为 0<=根号下的3x-1<2
因为各项都大于等于0 所以同时平方
得 0<=3x-1<4 3分之1<=x<3分之5
再和定义域 取一个交集
得 3分之1<=x<3分之5

‘柒’ 根式不等式的求解

你参考看看

‘捌’ 这种两边都有未知数且都是分式还带有根号的不等式怎么解

解如下图所示

‘玖’ 根式不等式如何求解

根式不等式的求解与普通不等式的求解思路相通，只是一定要注意根号下的函数必须为正或零，相当于要加上这一不等式后再求conjunction的解（公共解）。

‘拾’ 带根号的不等式解法

1.首先要x+1≥0，有x≥-1。然后，由于0≤根号（x+1）＜2x，所以可以原不等式求平方得：x+1＜4x^2，解得：x＞(1+根号17)/8，或者x＜（1-根号17）/8。综合可得：-1≤x＜（1-根号17）/8，或者x＞(1+根号17)/8
2.同样首先要保证根号下大于等于零，所以有x≥-1。当-1≤x≤0时，满足不等式。当x＞0时，原不等式求平方得：x+1＜4x^2，解得：x＞(1+根号17)/8，或者x＜（1-根号17）/8，此时只取前者。综合可得：-1≤x≤0，或者x＞(1+根号17)/8

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