如何快速配方法化二次型

A. 配方法化标准二次型技巧

配方的方法：

1、若二次型中不含有平方项则先凑出平方项。

方法：令x1=y1+y2，x2=y1-y2，则x1x2 = y1^2-y2^2。

2、若二次型中含有平方项x1

方法：则将含x1的所有项放入一个平方项里, 多退少补，将二次型中所有的x1处理好，接着处x2、以此类推。

例子：x1^2-4x1x2+4x1x3

=x1^2-4x1(x2-x3)+4(x2-x3)^2-4(x2-x3)^2

=[x1-(x2-x3)]^2-4(x2-x3)^2

(1)如何快速配方法化二次型扩展阅读

对称双线性：

在低层的域的特征不是2的时候，二次形式等价于对称双线性形式。

二次形式总是生成对称双线性形式（通过极化恒等式），而反过来要求除以2。

注意对于任何向量u∈V，2Q(u) =B(u,u)。

所以如果2在R中是可逆的（在R是一个域的时候这同于有不是2的特征），则我们可以从对称双线性形式B恢复二次形式，通过Q(u) =B(u,u)/2。

当2是可逆的时候，这给出在V上的二次形式和V上的双线性形式之间的一一映射。如果B是任何对称双线性形式，则B(u,u)总是二次形式。所以在2是可逆的时候，这可以用作二次形式的定义。但是如果2不是可逆的，对称双线性形式和二次形式是不同的：某些二次形式不能写为形式B（u,u）。

B. 化二次型为标准型的三种方法

化二次型为标准型的三种方法如下：

一、配方法

如果二次型中含变量xi的平方项，则先将含xi的项集中，按xi配成完全平方，直至都配成平方项；如果二次型不含平方项，但某混合项系数aij不为0，可先通过xi=yi+yj，xj=yi-yj，xk=yk（k不是i或j）这一可逆变换使二次型中出现平方项后，按前一方法配方。

例，f=x1^2+x2^2+3x3^2+4x1x2+2x1x3+2x2x3=（x1^2+4x1x2+2x1x3）+x2^2+3x3^2+2x2x3=(x1+2x2+x3)^2-3x2^2+2x3^2-2x2x3=……=（x1+2x2+x3）^2-3(x2+1/3*x3)^2+7/3*x3^2。

三、正交变换法

先写出二次型f的tdbl，它是实对称矩阵，求出全部特征值λi（i=1，2，……，n）；再对每一特征值写出它所对应的单位特征向量（特征值相同的不同特征向量注意正交化）；把上述单位正交特征向量作为矩阵的列构造正交矩阵T，那么正交变换X=TY将会把二次型X'AX化为标准形f=λ1*y1^2+λ2*y2^2+……+λn*yn^2。

C. 高等数学 用配方法化二次型

配方法是一种把一个二次型转换为标准形的方法，标准形为 f(x1，x2，x3)=x12-x1x2+x2x3。

首先，我们需要把一个二次型转换为标准形，这需要进行两步：

• 将二次型化为一元二次方程的形式，例如把 f(x1，x2，x3)=ax12+bx1x2+cx2x3+dx1+ex2+fx3+g 化为 f(x1，x2，x3)=ax12+bx1x2+cx2x3+dx1+ex2+fx3+g=0。

• 再把一元二次方程转换为标准形，即 f(x1，x2，x3)=x12-x1x2+x2x3+dx1+ex2+fx3+g=0。

接下来，我们可以写出所作的可逆孝芦手线性变换，即用一系列线性变换把二次型转换为标准形。为了让变换保持可逆性，我们巧嫌需要保证所作的变换是正交变换，即满足正交条件。

常见的可逆线性变换包括平移、旋转、缩放等。例如，我们可以通过平移来把一个二次型平移到标准形的位置，通过旋转来把一个二次型哗岁的方向调整为标准形的方向，通过缩放来把一个二次型的尺寸调整为标准形的尺寸。