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三角函数的解题技巧和方法

发布时间:2024-11-14 22:21:21

⑴ 三角函数的解题思路方法一般是。。。

三角函数解题方法与技巧 (1)
角的变换
在三角函数的求值、化简与证明题中,表达式往往出现较多的相异角,此时可根据角与角之间的和差、倍半、互余、互补的关系,运用角的变换,沟通条件与结论中角的差异,使问题获解。常见角的变换方式有:;;;等等。
例1、已知,求证:。
分析:在条件中的角和 与求证结论中的角是有联系的,可以考虑配凑角。
解:,,

函数名称的变换
三角函数变换的目的在于“消除差异,化异为同”。而题目中经常出现不同名的三角函数,这就需要将异名的三角函数化为同名的三角函数。变换的依据是同角三角函数关系式或诱导公式。如把正(余)切、正(余)割化为正、余弦,或化为正切、余切、正割、余割等等。常见的就是切割化弦。
例2 、(2001年上海春季高题)已知 ,试用表示的值。
分析:将已知条件“切化弦”转化为的等式。
解:由已知;


常数的变换
在三角函数的、求值、证明中,有时需要将常数转化为三角函数,例如常数“1”的变换有:,,等等。
例3、(2004年全国高考题)求函数的最小正周期,最大值和最小值。
分析:由所给的式子可联想到。
解:


所以函数的最小正周期是,最大值为,最小值为。
公式的变形与逆用
在进行三角变换时,我们经常顺用公式,但有时也需要逆用公式,以达到化简的目的。通常顺用公式容易,逆用公式困难,因此要有逆用公式的意识。教材中仅给出每一个三角公式的基本形式,如果我们熟悉其它变通形式,常可以开拓解题思路。如由可以变通为与;由可变形为等等。
例4、求的值。
分析:先看角,都是,再看函数名,需要切割化弦,最后在化简过程中再看变换。
解:原式(切割化弦)

(逆用二倍角公式)
(常数变换)
(逆用差角公式)
(逆用二倍角公式)。
这里我们给出了四种三角函数的变换方法与技巧,在处理三角函数问题的过程中若能注意到这些变换的方法与技巧,将有利于我们对三角函数这一章内容的理解。
三角函数变换的方法与技巧(2)
在上一部分我们介绍了部分三角函数的娈换技巧与方法,下面我们再介绍四种变换的方法与技巧:
引入辅助角
可化为,这里辅助角所在的象限由的符号确定,角的值由确定。
例5、求的最大值与最小值。
分析:求三角函数的最值问题的方法:一是将三角函数化为同名函数,借助三角函数的有界性求出;二是若不能化为同名,则应考虑引入辅助角。
解:

其中,,
当时,;
当时,。
注:在求三角函数的最值时,经常引入辅助角,然后利用三角函数的有界性求解。
幂的变换
降幂是三角变换时常用的方法,对于次数较高的三角函数式,一般采用降幂处理的方法。常用的降幂公式有:,和
等等。降幂并非绝对,有时也需要升幂,如对于无理式常用升幂化为有理式。
例6、化简。
分析:从“幂”入手,利用降幂公式。
解:原式

消元法
如果所要证明或要求解的式子中不含已知条件中的某些变量,可以使用消元法消去此变量,然后再求解。
例7、求函数的最值。
解:原函数可变形为:,即

解得:,。
变换结构
在三角变换中,常常对条件、结论的结构施行调整,或重新分组,或移项,或变乘为除,或求差等等。在形式上有时须和差与积互化,分解因式,配方等。
例8、化简。
分析:本题从“形式”上看,应把分析式化为整式、故分子分母必有公因式,只需把分子分母化成积的形式。
解:

所以。
九、思路变化
对于一道题,思路不同,方法出随之不同。通过分析,比较,才能选出思路最为简例9、求函数 的最大值。
解:由于,则为点与点()连线的斜率。则斜率最为当连线与半单位圆相切时,如图所示:
此时, 。
捷的方法。

⑵ 三角函数解题思路和技巧

三角函数解题思路和技巧:

求三角函数值的问题,可依循三种途径:

1、先化简再求值,将式子化成能够利用题设已知条件的最简形式;

2、从已知条件出发,选择合适的三角公式进行变换,推出要求式的值;

3、将已知条件与求值式同时化简再求值。

一、直接法

顾名思义,就是直接进行正确的运算和公式变形,结合已知条件,得到正确的答案。三角函数中大量的题型都是根据该方法求值解答的,需要对三角函数的基本公式要牢牢掌握。

二、换元法

换元法就是用一个量替代另一个量,发现题设中(隐含)条件,进行带式替换,从而将三角函数求值转变成代数式求值。

三、比例法

对三角等式变形,找出与之有关的函数值,利用比例性质,对三角函数值进行计算。

(2)三角函数的解题技巧和方法扩展阅读:

三角函数的常见技巧性公式:

1、sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB

2、sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA

3、cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB

4、cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB

5、tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)

6、tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)

⑶ 高中三角函数解题有什么技巧

第一,死记硬背,把所有三角函数公式背熟,不管是积化和差还是和差化积,以及常用三角函数比如30°,45°,60°,90°,15°,75°的各种三角函数值背熟;


第二,熟练画出三角函数图像,知道三角函数的周期规律;


第三,做题总结,有信心。相信按着某一个方向三角函数的换算一定会成功,只是多写几步;


第四,融会贯通。没有难的三角函数,只有懒的学生。

⑷ 三角函数的题目怎么解比较快、准

1、首先要背熟公式,意思不理解没关系,重要的是背熟。等到随问都能随背的时候,你已经忘不掉了;
2、一个个的搞明白公式的含义,在熟读的基础上,一旦理解了就再也忘不掉了;
3、好好看书里的例题,分析透彻了做几道简单的题,有助于理解和灵活运用;
4、建议从题库中找两三个难一些的例题,好好研究下解法,能开阔思路;
5、试着做一两道难题,但求找到解题方法,不用算出最后结果,做实际训练;
6、不建议搞题海战术。给你个方法作为参考:就是大量“看”题库,只“解”不“答”。每道题只要一想清楚解法和思路就下一道,不耽误时间,很有效的。

⑸ 三角函数解题技巧和方法

1按照计算的一般顺序进行
首先,弄清题意,看看有没有简单方法、得数保留几位小数等特别要求;

其次,观察题目特点,看看几步运算,有无简便算法;
再次,确定运算顺序。在此基础上利用有关法则、定律进行计算;
最后,要仔细检查,看有无错抄、漏抄、算错现象。

2解题模型

第一步,观察已知与未知是否为同一个角,若相同,则利用同角的基本关系求解,若不同则进行第二步。
第二步,观察已知与未知是否为同倍角,若相同,则求两角的和差为特殊值,利用已知角表示未知角化为同角问题,进行第一步,若不同则进行第三步。
第三步,因为已知与未知不是同倍角。所以可将低倍角平分再降次升高角的倍数,或者展开高倍角降低角的倍数,角同倍数后进行第二步。
3函数思想

⑹ 解三角函数方程组有哪些方法和技巧

  1. 根据多年的实践,总结规律繁化简;概括知识难变易,高中数学巧记忆。言简意赅易上口,结合课本胜一筹。始生之物形必丑,抛砖引得白玉出。

  2. 一、《集合与函数》内容子交并补集,还有幂指对函数。性质奇偶与增减,观察图象最明显。复合函数式出现,性质乘法法则辨,若要详细证明它,还须将那定义抓。指数与对数函数,两者互为反函数。底数非1的正数,1两边增减变故。函数定义域好求。分母不能等于0,偶次方根须非负,零和负数无对数;正切函数角不直,余切函数角不平;其余函数实数集,多种情况求交集。两个互为反函数,单调性质都相同;图象互为轴对称,Y=X是对称轴;求解非常有规律,反解换元定义域;反函数的定义域,原来函数的值域。幂函数性质易记,指数化既约分数;函数性质看指数,奇母奇子奇函数,奇母偶子偶函数,偶母非奇偶函数;图象第一象限内,函数增减看正负。

  3. 二、《三角函数》三角函数是函数,象限符号坐标注。函数图象单位圆,周期奇偶增减现。同角关系很重要,化简证明都需要。正六边形顶点处,从上到下弦切割;中心记上数字1,连结顶点三角形;向下三角平方和,倒数关系是对角,顶点任意一函数,等于后面两根除。诱导公式就是好,负化正后大化小,变成税角好查表,化简证明少不了。二的一半整数倍,奇数化余偶不变,将其后者视锐角,符号原来函数判。两角和的余弦值,化为单角好求值,余弦积减正弦积,换角变形众公式。和差化积须同名,互余角度变名称。计算证明角先行,注意结构函数名,保持基本量不变,繁难向着简易变。逆反原则作指导,升幂降次和差积。条件等式的证明,方程思想指路明。万能公式不一般,化为有理式居先。公式顺用和逆用,变形运用加巧用;1加余弦想余弦,1减余弦想正弦,幂升一次角减半,升幂降次它为范;三角函数反函数,实质就是求角度,先求三角函数值,再判角取值范围;利用直角三角形,形象直观好换名,简单三角的方程,化为最简求解集;

  4. 三、《不等式》解不等式的途径,利用函数的性质。对指无理不等式,化为有理不等式。高次向着低次代,步步转化要等价。数形之间互转化,帮助解答作用大。证不等式的方法,实数性质威力大。求差与0比大小,作商和1争高下。直接困难分析好,思路清晰综合法。非负常用基本式,正面难则反证法。还有重要不等式,以及数学归纳法。图形函数来帮助,画图建模构造法。

  5. 四、《数列》等差等比两数列,通项公式N项和。两个有限求极限,四则运算顺序换。数列问题多变幻,方程化归整体算。数列求和比较难,错位相消巧转换,取长补短高斯法,裂项求和公式算。归纳思想非常好,编个程序好思考:一算二看三联想,猜测证明不可少。还有数学归纳法,证明步骤程序化:首先验证再假定,从K向着K加1,推论过程须详尽,归纳原理来肯定。

  6. 五、《复数》虚数单位i一出,数集扩大到复数。一个复数一对数,横纵坐标实虚部。对应复平面上点,原点与它连成箭。箭杆与X轴正向,所成便是辐角度。箭杆的长即是模,常将数形来结合。代数几何三角式,相互转化试一试。代数运算的实质,有i多项式运算。i的正整数次慕,四个数值周期现。一些重要的结论,熟记巧用得结果。虚实互化本领大,复数相等来转化。高中数学知识口诀方利用程思想解,注意整体代换术。几何运算图上看,加法平行四边形,减法三角法则判;乘法除法的运算,逆向顺向做旋转,伸缩全年模长短。三角形式的运算,须将辐角和模辨。利用棣莫弗公式,乘方开方极方便。辐角运算很奇特,和差是由积商得。四条性质离不得,相等和模与共轭,两个不会为实数,比较大小要不得。复数实数很密切,须注意本质区别。

  7. 六、《排列、组合、二项式定理》加法乘法两原理,贯穿始终的法则。与序无关是组合,要求有序是排列。两个公式两性质,两种思想和方法。归纳出排列组合,应用问题须转化。排列组合在一起,先选后排是常理。特殊元素和位置,首先注意多考虑。不重不漏多思考,捆绑插空是技巧。排列组合恒等式,定义证明建模试。关于二项式定理,中国杨辉三角形。两条性质两公式,函数赋值变换式。

  8. 七、《立体几何》点线面三位一体,柱锥台球为代表。距离都从点出发,角度皆为线线成。垂直平行是重点,证明须弄清概念。线线线面和面面、三对之间循环现。方程思想整体求,化归意识动割补。计算之前须证明,画好移出的图形。立体几何辅助线,常用垂线和平面。射影概念很重要,对于解题最关键。异面直线二面角,体积射影公式活。公理性质三垂线,解决问题一大片。

  9. 八、《平面解析几何》有向线段直线圆,椭圆双曲抛物线,参数方程极坐标,数形结合称典范。笛卡尔的观点对,点和有序实数对,两者—一来对应,开创几何新途径。两种思想相辉映,化归思想打前阵;都说待定系数法,实为方程组思想。三种类型集大成,画出曲线求方程,给了方程作曲线,曲线位置关系判。四件工具是法宝,坐标思想参数好;平面几何不能丢,旋转变换复数求。解析几何是几何,得意忘形学不活。图形直观数入微,数学本是数形学。

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