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不定积分求解时如何选择方法

发布时间:2024-09-01 03:29:15

⑴ 求不定积分的几种运算方法

一、积分公式法

直接利用积分公式求出不定积分。

二、换元积分法

换元积分法可分为第一类换元法与第二类换元法。

1、第一类换元法(即凑微分法)

通过凑微分,最后依托于某个积分公式。进而求得原不定积分。

2、注:第二类换元法的变换式必须可逆,并且在相应区间上是单调的。

第二类换元法经常用于消去被积函数中的根式。当被积函数是次数很高的二项式的时候,为了避免繁琐的展开式,有时也可以使用第二类换元法求解。常用的换元手段有两种:

(1) 根式代换法,

(2) 三角代换法。

在实际应用中,代换法最常见的是链式法则,而往往用此代替前面所说的换元。

三、分部积分法

设函数和u,v具有连续导数,则d(uv)=udv+v。移项得到udv=d(uv)-v,两边积分,得分部积分公式:∫udv=uv-∫v ⑴。

称公式⑴为分部积分公式。如果积分∫v易于求出,则左端积分式随之得到。

分部积分公式运用成败的关键是恰当地选择u,v。

即一个定积分式的值,就是原函数在上限的值与原函数在下限的值的差。

这个理论,揭示了积分与黎曼积分本质的联系。因此,牛顿-莱布尼兹公式也被称作微积分基本定理。

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