如何用向量方法证明平行

① 高中生如何用向量证明线面平行

用向量证明线面平行方法一

下面垂直就是说直线是面的法向量。单位法向量当然平行这条直线，不过要排除与0向量的讨论。0向量与任何向量都平行。但0向量不垂直与面。

比如单位法向量是(x,y,z)直线的方向向量是m=(a,b,c)

那么m=a(x,y,z) 这不完全对。

比如单位法向量是(0,1,0)，难道m=0吗?

只能是a≠0是可以这样。

面面平行：可以证明两个平面的法向量平行。

不过不一定是单位法向量，单位法向量是模等于1的法向量，其实只需证明两平面的.法向量垂直就可以了。

当然你要证明分别平行于两平面的直线平行，

或平行一平面的直线与另一平面的法向量垂直也未尝不可。

用向量证明线面平行方法二

三维空间上一平面上一活动点钟(x,y, z) 而(m,n,p )是在原点与平面的垂线的交点, 我们得

[(x,y,z) - (m,n,p) ] * (m,n,p) = 0

m(x-m)+n(y-n)+p(z-p)=0

mx+ny+pz=m^2+n^2+p^2

所以 ax+by+cz=d 中的a=m, b= n, c=p , d=m^2+n^2+p^2= 原点与平面的垂直距离

x+y+z=1是一个面它垂直和相交(1,1,1) 这支向量

[1,8,-3]×[4,-5,9]≠[0,0,0]

所以两直线的方向向量不平行

即两直线不平行

但是书后的答案说两直线是平行的。。。

你确定题没有写错吗?

其实直线很简单

[x,y,z]=[4,-3,2]+ t[1,8,-3]

表示通过点[4,-3,2]，沿着方向[1,8,-3]延伸

而[1,8,-3]跟[4,-5,9]方向不一样，两直线不平行

用向量证明线面平行方法三

平行向量

平行向量(也叫共线向量)：方向相同或相反的非零向量a、b叫做平行向量，记作：a∥b，规定零向量和任何向量平行。

加法运算

AB+BC=AC，这种计算法则叫做向量加法的三角形法则。

已知两个从同一点O出发的两个向量OA、OB，以OA、OB为邻边作平行四边形OACB，则以O为起点的对角线OC就是向量OA、OB的和，这种计算法则叫做向量加法的平行四边形法则。

对于零向量和任意向量a，有：0+a=a+0=a。

|a+b|≤|a|+|b|。

向量的加法满足所有的加法运算定律。

减法运算

与a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，-(-a)=a，零向量的相反向量仍然是零向量。

(1)a+(-a)=(-a)+a=0(2)a-b=a+(-b)。以减向量的终点为起点,被减向量的终点为终点(三角形法则)

数乘运算

实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，|λa|=|λ||a|，当λ > 0时，λa的方向和a的方向相同，当λ < 0时，λa的方向和a的方向相反，当λ = 0时，λa = 0。

设λ、μ是实数，那么：(1)(λμ)a = λ(μa)(2)(λ + μ)a = λa + μa(3)λ(a ± b) = λa ± λb(4)(-λ)a =-(λa) = λ(-a)。

② 怎样用向量法证线面平行

定理1

平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。

已知：a∥b，a⊄α，b⊂α，求证：a∥α

如果曲面在某点没有切平面，那么在该点就没有法线。例如，圆锥的顶点以及底面的边线处都没有法线，但是圆锥的法线是几乎处处存在的。通常一个满足Lipschitz连续的曲面可以认为法线几乎处处存在。

参考资料来源：网络-线面平行

参考资料来源：网络-法向量