如何求值域的方法

❶ 求函数值域的常用方法

求函数值域的常用方法有：化归法、复合函数法、判别式法、图像法、分离常数法、反函数法、换元法、不等式法、单调性法。在函数中，因变量的变化而变化的取值范围叫做这个函数的值域。

求值域的方法
化归法：
把所要解决的问题，经过某种变化，使之归结为另一个问题*，再通过问题*的求解，把解得结果作用于原有问题，从而使原有问题得解，这种解决问题的方法，我们称之为化归法。

图像法：根据函数图像，观察最高点和最低点的纵坐标。
配方法：利用二次函数的配方法求值域，需注意自变量的取值范围。
单调性法：利用二次函数的顶点式或对称轴，再根据单调性来求值域。
反函数法：若函数存在反函数，可以通过求其反函数，确定其定义域就是原函数的值域。
换元法：包含代数换元、三角换元两种方法，换元后要特别注意新变量的范围。

❷ 值域如何求

（手机不好打符号，所以下文中“x的a次方”均用“x^a”表示，“x分之一”用“x^(-1)”表示”，“根号x”用“x^(1/2)”表示。）
（可能有些乱，不妨看的同时转化在纸旦指上写出来清楚些～。）
常见求值域的方法有：
1.配方法（常用于二次函数）。
即将二次函数整理成形如y=a(x-h)^2+b，若a>0则值域为[b,正无穷)，若a<0则值域为(负无穷,b]。
2.换元法。
将复杂的函数通过换元转化为熟悉函数的形式。如y=4^x+2^x+3，可以设t=2^x，所以原函数就可以转化为y=t^2+t+3，求其值域。
3.基本不等式法。
先对函数变形，使之具备“一正二定三等”的条件后，再用基本哗橡不等式求出值域。如形如函数y=ax+bx^(-1)。
4.利用函数的单调性。
5.分离常数模芦配法。
6.数形结合法。
例题：求函数y=(x^2-2x+5)^(1/2)+(x^2+2x+5)^(1/2)的值域
解题思路：原函数整理后可化为y=[(x-1)^2+(0-2)^2]^(1/2)+[(x+1)^2+(0-2)^2]^(1/2)。设P点坐标为(x,0)，A点坐标为(1,2)，B点坐标为(-1,2)，则函数y则可以理解为PA,PB两线段和即y=|PA|+|PB|，再结合图像坐标………
7.导数法。
先求导，然后求在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出值域和最值。

（有的地方就不展开了，还有不明白的可以追问w。）

❸ 值域的求解方法

1、图像法

根据函数图象，观察最高点和最低点的纵坐标。

2、配方法

利用二次函数的配方法求值域，需注意自变量的取值范围。

3、单调性法

利用二次函数的顶点式或对称轴，再根据单调性来求值域。

4、反函数法

若函数存在反函数，可以通过求其反函数，确定其定义域就是原函数的值域。

(3)如何求值域的方法扩展阅读

函数经典定义中，因变量的取值范围叫做这个函数的值域,在函数现代定义中是指定义域中所有元素在某个对应法则下对应的所有的象所组成的集合。即{y∣y=f(x),x∈D}

常见函数值域：

y=kx+b （k≠0）的值域为R

y=k/x 的值域为(-∞,0)∪(0,+∞)

y=√x的值域为x≥0

y=ax^2+bx+c 当a>0时，值域为 [4ac-b^2/4a,+∞) ；

当a<0时，值域为（-∞，4ac-b^2/4a]

y=a^x 的值域为 (0,+∞)

y=lgx的值域为R

❹ 求值域的4个步骤

（1）确定函数的定义域；

（2）分析解析式的特点；

（3）将端点值与极值比较，求出最大值与最小值；

（4）计算出函数的值域。

八、函数单调性法
先确定函数在其定义域（或定义域的某个子集上）的单调性，再求出函数值域的方法。考虑这一方法的是某些由指数形式的函数或对数形式的函数构成的一些简单的初等函数，可直接利用指数或对数的单调性求得答案；还有一些形如，看a,d是否同号，若同号用单调性求值域，若异号则用换元法求值域；还有的在利用重要不等式求值域失败的情况下，可采用单调性求值域。

九、数形结合法
其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式、直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。

十、导数法
利用导数求闭区间上函数的值域的一般步骤：(1)求导，令导数为0；(2)确定极值点，求极值；(3)比较端点与极值的大小，确定最大值与最小值即可确定值域。

总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。

❺ 函数值域的求法

函数值域的求法可以通过观察法、配方法、常数分离法、换元法、逆求法、基本不等式法、求导法、数形结合法和判别式法等方法来求。

一、配方法：将函数配方成顶点式的格式，再根据函数的定义域，求得函数的值域。

二、常数分离：这一般是对于分数形式的函数来说的，将分子上的函数尽量配成与分母相同的形式，进行常数分离，求得值域。

三、逆求法：对于y=某x的形式，可用逆求法，表示为x=某y，此时可看困枯颤y的限制范围，就是原式的值域了。

四、换元法：对于汪败函数的某一部分，较复杂或生疏，可用换元法，将函数转变成我们败闷熟悉的形式，从而求解。

五、单调性：可先求出函数的单调性(注意先求定义域)，根据单调性在定义域上求出函数的值域。

六、基本不等式：根据我们学过的基本不等式，可将函数转换成可运用基本不等式的形式，以此来求值域。

七、数形结合：可根据函数给出的式子，画出函数的图形，在图形上找出对应点求出值域。

八、求导法：求出函数的导数，观察函数的定义域，将端点值与极值比较，求出最大值与最小值，就可得到值域了。

❻ 求值域的五种方法

求值域的五种方法：

1.直接法：从自变量的范围出发，推出值域。

2.观察法：对于一些比较简单的函数，可以根据定义域与对应关系，直接得到函数的值域。

3.配方法：（或者说是最值法）求出最大值还有最小值，那么值域就出来了。

例题：y=x^2+2x+3x∈【-1，2】

先配方，得y=(x+1)^2+1

∴ymin=(-1+1)^2+2=2

ymax=(2+1)^2+2=11

4.拆分法：对于形如y=cx+d，ax+b的分式函数，可以将其拆分成一个常数与一个分式，再易观察出函数的值域。

5.单调性法：y≠ca.一些函数的单调性，很容易看出来。或者先证明出函数的单调性，再利用函数的单调性求函数的值域。

6.数形结合法，其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。

7.判别式法：运用方程思想，根据二次方程有实根求值域。

8.换元法：适用于有根号的函数

例题：y=x-√（1-2x)

设√（1-2x)=t(t≥0)

∴x=(1-t^2)/2

∴y=(1-t^2)/2-t

=-t^2/2-t+1/2

=-1/2(t+1)^2+1

∵t≥0，∴y∈（-∝，1/2）

9：图像法，直接画图看值域

这是一个分段函数，你画出图后就可以一眼看出值域。

10：反函数法。求反函数的定义域，就是原函数的值域。

例题：y=(3x-1)/(3x-2)</p><p>先求反函数y=(2x-1)/(3x-3)

明显定义域为x≠1

所以原函数的值域为y≠1

(6)如何求值域的方法扩展阅读：

值域，在函数经典定义中，因变量改变而改变的取值范围叫做这个函数的值域，在函数现代定义中是指定义域中所有元素在某个对应法则下对应的所有的象所组成的集合。如：f(x)=x，那么f(x)的取值范围就是函数f(x)的值域。

在实数分析中，函数的值域是实数，而在复数域中，值域是复数。

定义域、对应法则、值域是函数构造的三个基本“元件”。平时数学中，实行“定义域优先”的原则，无可置疑。然而事物均具有二重性，在强化定义域问题的同时，往往就削弱或淡化了，对值域问题的探究，造成了一手“硬”一手“软”，使学生对函数的掌握时好时坏，事实上，定义域与值域二者的位置是相当的，绝不能厚此薄彼，何况它们二者随时处于互相转化之中（典型的例子是互为反函数的定义域与值域的相互转化）。如果函数的值域是无限集的话，那么求函数值域不总是容易的，反靠不等式的运算性质有时并不能奏效，还必须联系函数的奇偶性、单调性、有界性、周期性来考虑函数的取值情况。才能获得正确答案，从这个角度来讲，求值域的问题有时比求定义域问题难。实践证明，如果加强了对值域求法的研究和讨论，有利于对定义域内函数的理解，从而深化对函数本质的认识。