如何用数值模拟的方法计算近似解

1. 数值模拟计算结果与分析

在三层模型计算中，共划分节点1659 个，划分单元2316 个。图7-5a、b 为三层模型结构和约束状态图。其中选取模型下袭知底部为南，顶部为正北方向，图中的实体用深浅不同颜色来区分不同的材料性质。底部的箭头方向为施加的压应力方向。

图7-15 第三个模型不同加载阶段应力分布计算结果

图7-16 第三个模型位移矢量分布计算结果

由于塑性变形与加载时间有关，从不同阶段的 y 方向应力分布图中（图7-15）可以看出，在加载过程中应力分布在中部出现低值区，反映东西两侧应力、应变大于中部盆地发育区的特点，中部地块相对两侧向南挤出。

从模型位移矢量分布图中也可以明显看出这一特征，在模型顶部位移矢量图中（图7-16a）可以看到模型整体有向北运动的趋势，但在 EW向受到扰动，在 SN向断裂“蜂腰”处最为强烈。在模型侧面位移矢量图中（图 7-16b）可以看到位移随深度存在明显变化，越趋于上部，位移越弱。

2. 应力场数值模拟方法

近30年来，人们采用现场测试、实验室试验、理论分析与模型试验等多种方法，使岩土力学研究取得很大进展^{［162～166］}。如今随着计算机技术的快速发展，岩土力学的研究进入了一个新的阶段，其中数值计算方法已成为解决岩土力学问题的重要手段之一。

6.1.1 概述

许多工程分析问题，如固体力学中的位移场和应力场分布分析、电磁学中的电磁场分析、振动特性分析、传热学中的温度场分析以及流体力学中的流场分布等，都可以通过在给定边界条件下对其控制方程进行求解得到，但是利用解析方法只能求出一些方程性质比较简单且几何边界相当规则的极少数问题。对于大多数实际工程技术问题，由于物体的几何形状比较复杂或者问题的某些特性是非线性的，因而一般无解析解。为了解决此类问题，一般采用两种处理方法：一种是进行简化处理，将方程和边界条件简化为能够处理的问题，从而得到在简化情况下的解，但这种方法应用非常有限，且假设过多将会导致错误的解；另一种是在广泛接收现代数学和力学理论的基础上，借助于计算机和计算软件来获得工程上要求的数值解，这就是目前应用非常广泛的数值模拟方法。

目前在工程技术领域内常用的数值分析方法包括：有限单元法、边界元法、离散单元法以及有限差分法。最初常用的是有限差分法，它可以处理一些相当复杂的问题。但对于几何形状复杂的边界条件，其解的精度受到影响。20世纪60年代出现并得到广泛应用的有限单元法，使经典力学解析方法难以解决的工程力学问题都可以用有限元方法求解。它将连续的求解域离散为一组有限个单元的组合体，解析地模拟或逼近求解区域。由于单元能按各种不同的联结方式组合在一起，且单元本身又可有不同的几何形状，所以能适应几何形状复杂的求解域。但有限单元法需要的存贮容量常非常巨大，甚至大得无法计算。由于相邻界面上只能位移协调，对于奇异性问题（应力出现间断）的处理比较麻烦，这是有限单元法的不足之处。70年代末期，出现了另一种重要的数值方法为边界元法。边界元方法是把求解区域的边界剖分为若干个单元，将求解简化为求单元结点上的函数值，通过求解一组线性代数方程实现求解积分方程。上述两种数值方法的主要区别在于，边界元法是“边界”方法，而有限元法是“区域”方法，它们都是针对连续介质，只能获得某一荷载或边界条件下的稳定解。对于具有明显塑性应变软化特性和剪切膨胀特性的岩体，无法对其大变形过程中所表现出来的几何非线性和物理非线性进行模拟，这就使得人们去寻求适合模拟节理岩体运动变形特性的有效数值方法。

1971年Cundall，P.A^［167］提出了一种不连续介质数值分析模型——离散单元法。该方法优点在于适用于模拟节理系统或离散颗粒组合体在准静态或动态条件下的变形过程。离散单元法的基本原理不同于基于最小总势能变分原理的有限单元法，也不同于基于Betti互等定理的边界单元法，而是建立在牛顿第二运动定律基础上。最初的离散元法是基于刚性体的假设，由于没有考虑岩块自身的变形，在模拟高应力状态或软弱、破碎岩体时，不能反映岩块自身变形的特征，使计算结果与实际情况产生较大出入。Maini，T.，Cundall，P.A.^{［168～169］}等人针对刚体单元没有考虑岩块自身变形的缺点，利用差分方法提出了考虑岩石自身变形的改进的离散单元法，编制了通用的离散元程序UDEC（Universal Discrete Element Code），将离散元推广到模拟岩体破碎和变形情况，推动了离散元的进一步发展。我国学者也相继开展这方面的研究，王泳嘉教授^［170］等将离散单元法应用于采矿工程方面的研究。

6.1.2 FLAC数值模拟方法

（1）概述

数值模拟技术通过计算机程序在工程中得到广泛的应用。一直到20世纪80年代初期，国际上较大型的面向工程的通用程序有：ANSYS、NASTRAN、FLAC、UNDEC、ASKS以及ADINA等程序。它们功能越来越完善，不仅包含多种条件下的有限元分析程序，而且带有功能强大的前、后处理程序。

连续介质快速拉格朗日差分法（Fast Lagrangian Analysis of Continua，简写FLAC）是近年来逐步成熟完善起来的一种新型数值分析方法。把拉格朗日法移植到固体力学中，即将所研究的区域划分为网格，节点相当于流体质点，然后按照时步用拉格朗日方法来研究网格节点的运动，这就是固体力学变形研究中的拉格朗日数值研究方法。

FLAC与基本离散元法相似，但它克服了离散元法的缺陷，吸取了有限元法适用于各种材料模型及边界条件的非规则区域连续问题解的优点。FLAC所采用的动态松弛法求解，不需要形成耗机时量较大的整体刚度矩阵，占用计算机内存少，利于在微机的工程问题。同时，FLAC还应用了节点位移连续的条件，可以对连续介质进行大变形分析。

（2）数学模型

显式有限差分法的基本方程主要包括：平衡方程、几何方程、物理方程和边界条件。在FLAC^3D2.0中采用的拉格朗日描述方程，一般规定介质中一点由向量分量x_i，u_i，v_i，dv_i/dt（i=1，2，3）来表征，其分别代表位置、位移、速度和加速度分量。

其基本原理和基本公式简单叙述如下：

空间导数的有限差分近似

三维FLAC方法中采用了混合离散方法，区域被划分为常应变六面体单元的集合体；而在计算过程中，又将每个六面体分为常应变四面体，变量均在四面体上进行计算，六面体单元的应力、应变取值为其四面体的体积加权平均。

如图6.1所示，所研究区域任一四面体，节点编号为1～4，规定与节点n相对的面为第n面，设定其内任一点的速度分量为v_i，则由高斯散度定理得

煤岩动力灾害力电耦合

式中：V——四面体体积，m³；S——四面体外表面，m²；n_j——外表面单位法向向量分量。

图6.1 四面体

对于常应变单元，n_j在每个面上为常量，因此通过上式积分可得

煤岩动力灾害力电耦合

式中上标f表示f面的变量值，对于为线性分布的速率分量，速度分量的平均值为

煤岩动力灾害力电耦合

式中上标l表示节点l的变量值。将（6.3）式代入（6.2）式可得

煤岩动力灾害力电耦合

经过变换可得节点速率计算公式：

煤岩动力灾害力电耦合

1）平衡方程（运动方程）

显式有限差分法采用的平衡方程就是人们熟知的牛顿第二运动定律，即

煤岩动力灾害力电耦合

式中：F_i——节点合力在i方向分力，N；m_i——节点质量，kg；a_i——节点加速度在i方向分量，m/s²。

作用于各个节点的合力：外力（集中力、均布力、重力等）和内力（单元变形引起的应力在单元节点上的分量）。节点质量是根据节点相邻单元的面积（体积）和密度，按照面积（体积）加权求出。

FLAC^3D以节点为计算对象，将力和质量均集中在节点上，然后通过运动方程在时域内进行求解。节点运动方程可以表示为如下形式：

煤岩动力灾害力电耦合

式中：（t）———t时刻l节点在i方向的不平衡力分量，可以由虚功原理导出；m^l———l节点的集中质量，在分析静态问题时，采用虚拟质量；而在分析动态问题时，则采用实际的集中质量。

将（6.7）式左端用中心差分来近似，则可得

煤岩动力灾害力电耦合

2）变形协调方程——几何方程

作为连续介质力学，变形体之间必须满足变形协调方程（几何方程），否则变形体就会出现分离或嵌入。变形协调方程反映了位移与应变间的关系，对于某一时步的单元应变增量可由下式确定：

煤岩动力灾害力电耦合

求出应变增量后，即可由本构方程得到应力增量，各时步的应力增量叠加即可得到总应力，在大变形时，还需根据本时步单元的转角对本时步前的总应力进行旋转修正，然后即可由虚功原理求出下一时步的节点不平衡力，进入下一时步的计算。

3）物理方程——本构关系

物理方程反映应力与应变之间的关系，在程序中通常被称为材料模式或材料模型。在FLAC^3D2.0中提供了10种基本材料模型，它们是：①Null；②Elastic，isotropic；③Elastic，transversely isotropic；④Druck-Prager plasticity；⑤Mohr-Coulomb plasticity；⑥Ubiquitous joint plasticity；⑦Strain-hardening／softening Mohr-Coulomb plasticity；⑧bilinear strain-hardening/softening ubiquitous-joint plasticity；⑨Modified Cam-clay plasticity 和⑩elastic，orthotropic。

本文进行应力场数值模拟时采用的是Mohr-Coulomb应变硬化软化破坏准则，在FLAC^3D2.0中，Mohr-Coulomb 模型的破坏准则以主应力σ₁，σ₂，σ₃来描述，相应的应变为三个主应变ε₁，ε₂，ε₃。根据Hooke定律，应力、应变增量具有如下表达形式：

煤岩动力灾害力电耦合

式中α₁，α₂为材料常数，可以由体积模量K和剪切模量G确定：

煤岩动力灾害力电耦合

不失一般性，令σ₁≥σ₂≥σ₃，摩尔—库仑准则为

其中：

煤岩动力灾害力电耦合

式中C，φ分别为煤岩的粘聚力和内摩擦角。

FLAC^3D2.0的Mohr-Coulomb 破坏准则如图6.2所示。

图6.2 FLAC^3D的Mohr-Coulomb 破坏准则

本着作中就是选用上述的Strain-hardening／softening Mohr-Coulomb plasticity模型，对单轴压缩煤岩以及矿山地下煤岩独巷掘进时围岩的变形破坏过程进行模拟。

4）阻尼力

对于静态问题，FLAC^3D2.0在式（6.7）的不平衡力中加入了非黏性阻尼，以使系统的振动逐渐衰减直至达到平衡状态（即不平衡力接近零），此时节点运动方程变为：

煤岩动力灾害力电耦合

式中阻尼力（t）由下式确定：

煤岩动力灾害力电耦合

上式中α为阻尼系数，其默认值为0.8；而：

煤岩动力灾害力电耦合

5）初始条件与边界条件

边界条件包括面积力、集中载荷等应力边界条件和位移边界条件。此外也可加载体力和初始应力。在编写程序代码时，一般所有的应力和节点速度初始化为零，然后指定初始化应力。集中载荷则加载在面节点上，位移边界条件则以运动方程形式施加到相应的边界节点上。

边界条件分为应力边界条件和位移边界条件，应力边界条件为：

煤岩动力灾害力电耦合

式中：F_i———作用于节点i上的力；——作用于边界上的应力；n_j———边界上的法线沿j方向的矢量大小；Δs———边界的长度。

若是位移边界条件，应将边界条件以运动方程的形式施加到相应的边界节点上。

FLAC^3D2.0^［171］与FLAC^2D3.3也是由美国Itasca Consulting Group Inc开发的三维显式有限差分法程序，它可以模拟岩土或其他材料的三维力学行为。FLAC^3D2.0的计算循环过程如图6.3所示。

图6.3 FLAC^3D2.0的计算循环

6.1.3 FLAC数值模拟方法在采矿工程中的应用^{［172～179］}

采矿过程中围岩活动规律及巷道围岩稳定性问题涉及岩体力学特性、围岩压力、支护围岩相互作用关系及巷道与工作面时空关系等一系列复杂力学问题。随着我国经济建设的高速发展，岩土工程稳定性分析问题日益突出，除采矿工程外，在水利、交通（铁道和公路）、高层建筑的地基等行业也都存在着大量的岩土力学数值计算分析问题。能否用计算机数值模拟分析采矿岩层控制问题和岩土工程问题已成为一个大学岩层控制技术和岩土力学学科水平高低的标志之一。

与ANSYS、ADINA相比，FLAC 和UDEC的最大特点是计算分析岩土工程中的物理不稳定问题，因而特别适用于岩土工程中几何和物理高度非线性问题的稳定性分析，如采场的采动影响规律，软岩巷道的大变形问题，采动后的地表沉陷，露天矿的边坡稳定，水坝的稳定性等问题。

从力学计算方法上讲其主要特点

1）可以直接计算非线性本构关系；

2）物理上的不稳定问题不会引起数值计算的不稳定；

3）开放式程序设计（FISH），用户可以根据需要自己设计程序；

4）既可以分析连续体问题（FLAC），也可以分析非连续体问题（UDEC）；

5）可以模拟分析很大的工程问题；

6）高度非线性问题不增加计算时间。

在采矿工程中，许多学者利用FLAC软件对采矿过程中围岩活动规律及巷道围岩稳定性问题涉及到岩体力学特性、围岩压力、支护围岩相互作用关系及巷道与工作面的时空关系等一系列复杂的力学问题进行了一系列的研究，取得了显着的效果。梅松华等以施工期监测结果为基础，在正交设计原理的基础上，选定反演参数与水平，采用二维显式差分法FLAC进行弹塑性位移反分析。朱建明等在分析FLAC有限差分程序的基础上，提出了变弹性模量方法模拟时间因素对巷道围岩稳定性影响的衰减曲线，为揭示巷道围岩变形机理和有效指导围岩支护提供了有效的分析方法。来兴平等探讨了岩石力学非线性计算软件FLAC^2D3.3在地下巷道离层破坏数值计算中的应用。康红普对回采巷道锚杆支护影响因素进行了FLAC分析，认为FLAC^2D3.3在分析几何非线性和大变形问题方面性能优越。

在煤岩动力灾害预测中，这些方法的优点

1）可以提前知道煤与瓦斯突出、冲击矿压等煤岩动力灾害防治的重点区域；

2）可以得到大范围内的空间信息；

3）可以提前预测预报煤岩动力灾害的危险性；

4）可以确定在采掘过程中，应力的分布状况和集中程度。

在煤岩动力灾害预测中，这些方法也具有以下缺点

1）对实际问题均进行了简化处理；

2）对于煤岩体的力学特性，如弹性模量、泊松比等力学参数，也进行了简化，没有考虑其局部非均质性和各向异性；

3）只能作为一种近似方法使用。

3. 数值模拟主要过程和步骤

1、首先要建立反映问题（工程问题、物理问题等）本质的数学模型。

具体说就是要建立反映问题各量之间的微分方程及相应的定解条件。这是数值模拟的出发点。没有正确完善的数学模型，数值模拟就无从谈起。牛顿型流体流动的数学模型就是着名的纳维—斯托克斯方程（简称方程）及其相应的定解条件。

2、寻求高效率、高准确度的计算方法

由于人们的努力，目前已发展了许多数值计算方法。计算方法不仅包括微分方程的离散化方法及求解方法，还包括贴体坐标的建立，边界条件的处理等。这些过去被人们忽略或回避的问题，现在受到越来越多的重视和研究。

3、开始编制程序和进行计算

实践表明这一部分工作是整个工作的主体，占绝大部分时间。由于求解的问题比较复杂，比如方程就是一个非线性的十分复杂的方程，它的数值求解方法在理论上不够完善，所以需要通过实验来加以验证。正是在这个意义上讲，数值模拟又叫数值试验。应该指出这部分工作决不是轻而易举的。

(3)如何用数值模拟的方法计算近似解扩展阅读：

数值模拟的发展史：

1955年Peaceman与Rachford研发的交替隐式解法(ADI)是数值模拟技术的重大突破。该解法非常稳定,而且速度快，所以迅速在包括石油,核物理，热传导等领域得到广泛应用。1958年Douglas,Jim和Blair,P.M第一次进行了考虑毛管压力效果的水驱模拟。

60年代数值模拟技术的发展主要在数值解法，第一个有效的数值模拟解法器是1968年Stone推出的SIP(Strong Implicit Procere)。该解法可以很好地用来模拟非均质油藏和形状不规则油藏。

Stone在70年代发表了三相相对渗透率模型，由油水和油气两相相对渗透率计算油、气、水三相流动时的相对渗透率，该技术现在还广为应用。70年代另一项主要成就是Peaceman提出的从网格压力来确定井底流压的校正方法。

参考资料来源：网络—数值模拟

4. 计算力学的数值模拟

力学现象的数学模拟，常常归结为求解常微分方程、偏微分方程、积分方程、或代数方程。求解这些方程的方法有两类：一类是求分析解，即以公式表示的解；另一类是求数值解，即以成批数字表示的解。很多力学问题相当复杂，特别是复杂的偏微分方程组，一般难以得出它们的分析解，而用数值方法求解则运算步骤繁复，耗用人力很多，因此在电子计算机出现以前，非不得已不用。20世纪50年代以来，出现了配有现代程序设计语言的通用数字计算机。计算机的快速运算和大存贮量，使解复杂的力学问题成为可能。三十多年来，随着计算机的改进，数值方法得到广泛的应用和很大的发展；主要是考虑算得更快、更准、省钱，并为原先不能算的问题构造算法。数值方法很多，求解偏微分方程数值解，以有限差分方法和有限元法使用最广；此外，还有变分方法、直线法、特征线法和谱方法，等等。这些方法的实质绝大多数是将偏微分方程问题化成代数问题，然后再用计算机求未知函大孝数数的数值解。 有简单、灵活和通用性强等特点。用差分方法求数值解时，须先将自变量的定义域“离散化”，即只企图算自变量定义域中有限个点的未知函数的近似值。如果自变量只有一个，则可把要计算的区间离散成个线段。如果自变量有两个，而计算区域是图1[二变量区域的离散化]所示的矩形，则最简单的离散方式是把区域分成乘个小矩形。小矩形的长 和宽分别叫作方向和方向的步长。微分方程中出现的偏导数(，)， 在微积分中是差商的极限，在有限差分方法中则代以差商。如图1[二变量区域的离散化]中点的有的情形可代以差商(()-())/2，有的情形可代以(()-())/，如果有二阶偏导滚首数，常常可代以二阶差商(()-2()+())/2，其中()、()和()分别表示相应点的值。 如以适当的差商来代替微分方程每一个导数，就得到对应于
原微分方程的差分方程怎样选差商至关重要。此外，偏微分方程总还要附加边界或初始条件，这些条件也要用差分形式表示。这样，对于每个网格点的未知函数慎罩值作出未知量的代数方程组。如果网格分得较密，即步长和都比较小，或与 的数值都比较大，则所得代数方程组的未知量的数目将很大，但借助计算机，还是可以很快求出解来。由于步长无法取为零，因此用差分方法只能求得原微分方程的近似解。但只要选择合理的差商和步长，计算结果仍能令人满意，有时还能得到精度很高的解。有限元法
这种方法是把计算区域剖分成大小不等的三角形（或其他形状的）单元，然后在各单元上用适当的插值函数来代替未知函数。根据变分原理，可将偏微分方程化成代数方程来求解。这种方法具有很广泛的适应性，特别适于求解具有复杂边界形状和物理条件的问题，而且很容易在计算机上实现。1970年以来已研究出一些适用于广泛的线性问题的有限元通用程序，对工程设计起很大作用。按照有限元法剖分的思想，把汽车外壳剖分成大小不等的许多三角形单元，而对弯曲边界只须裁弯取直即可。在应力变化剧烈和要求精确计算的地方，须把单元取得小些；在变化不剧烈的地方则可取得大些。用这种方法不仅可以适应复杂的区域，还可以尽量减少总的单元数目，从而减少未知量的数目。如果在有限差分方法中用矩形网格，则较难处理如此复杂的区域。

5. 数值模拟流程

不同的软件进行数值模拟时所需的参数、计算方法、剖分格式等不尽相同，数值模拟的过程也不同，但大致相同，本文以TOUGHREACT为例介绍CO₂地质储存数值模拟的流程。

（一）研究范围的确定

一般情况下，独立的天然水文地质系统是计算区最好的选择，它具有自然边界，便于较准确地利用其真实的边界条件，避免人为边界在资料提供上的困难和误差。但是在实际工作中，常常不能完全利用自然边界，这就需要充分利用勘察和长期观测资料等建立人为边界。在确定计算区域时，除了保证范围足够大以外，还应使假定的边界条件尽可能接近真实状态。

计算范围的划定应充分考虑研究目的、区域地质构造、储层岩性、储层岩石矿物组成及地下水化学成分等多方面因素。数值模拟时间根据研究目的不同稿谨具有不同的时间尺度。就CO₂地质储存数值模拟而言，如果不考虑地球化学作用，封存系统在1000年数量级的模拟时间内基本上已达到平衡或稳定。在划定边界时还应考虑CO₂在储层中的扩散距离，与研究区地质模型的孔隙度，渗透率等参数关系密切。为了保证所选模型范围边界在模拟期内不影响模拟结果，尽量通过具有相同地质条件的天然CO₂气田（藏）进行类比，确定大体的计算范围的边界。如果考虑地球化学反应，由于CO₂注入引发的水－岩－气反应对围岩岩性改变较显着，制约着CO₂注人的速度和径向运移的距离等。

（二）明确研究目的

在进行数值模拟以前首先要明确利用数值模拟技术要解决什么样的问题。对于CO₂地质储存工程而言，进行数值模拟的目的主要是在CO₂地质储存工程实施前，通过数值模拟技术对工程的选址、方案设计进行优化，工程实施期技术指导、运冲森行期监测及后期CO₂泄漏的风险评估等进行预测，以指导项目科学、合理地实施，将CO₂泄漏风险降至最低。

研究目的决定着前期资料的收集类型、地质建模的侧重点、地质模型离散的精密度以及初始、边界条件的处理方式等过程。

（三）资料的收集整理

1）通过遥感、综合地质调查、物探、钻探和各类样品测试分析等手段获取场地深部地层岩性、地质构造、水文地质、水文地球化学、岩石矿物资料和数据；

2）搜集和分析CO₂地质储存场地地质岩性、区域构造格架、活动断层与地震活动情况等；

3）采用钻井岩心、测井和地震反射方法，调查CO₂地质储存场地目标储层和盖层的空间分布形态，埋深、厚度和规模等；

4）使用X射线衍射、扫描电镜等方法研究分析封存场地岩石矿物组成、孔隙结构特征及其物理化学性质；

5）通过采取浅部、深部含水层水样进行水质全分析，获得储盖层地层水及浅部含水层初始水化学成分。

不同的数值模拟软件其数学模型的数值解法不同，空间离散方式也不尽相同，所需的模型参数也有一定的差异，表9-1即为TOUGHREACT数值模拟所需要的主要参数。

表9-1 CO₂地质储存模拟过程中需要的主要参数（以TOUGHREACT为例）

图9-3 网格剖分

网格剖分对计算的精度及计算的效率有很重要的影响。精度越高对模拟结果刻画的越精细，但是数据的计算量越大，对计算机的要求也越高。建议在进行地质模型剖分时先采用较粗的网格剖分，如果这种剖分方式下模拟结果合理然后再进行精细化剖分，用于对模拟结果更加详细的刻画。

2.参数和初始条件

初始条件是指在初始时刻（t=0）时研究区内求解数学模型主要状态变量的初始值。选择的应用软件不同所需的状态变量数量、种类不同。如TOUGHREACT所需的初始主要状态变量包括压力、温度和组分浓度的空间分布。地质参数包括孔隙度、渗透率、密度、压力、温度、毛细压力等参数值。这些数值一部分采用室内实验测得，另一部分采用参考文献的经验值；地层水的化学成分的初始值采用实际地层水的化学分析，主要是8大离子的浓度、盐度和pH 等。如果研究区深部地层中的水样难以获得，如盖层，则采用静态平衡的方法，利用具有与储层相同盐度的咸水与含有原生矿物的地层岩石在原地层环境下进行化学反应，获取平衡状态下的地层水化学成分的初始值；通过岩矿分析、电子扫描、Ⅹ衍射等手段，获得组成CO₂地质储层盖层的原生矿物成分体积含量初始值，并根据原生矿物的组成合理判断次生矿物。

从原则上讲，初始时刻是可以任意取定的，只要该时刻所需的参数和状态变量值已知即可。因此我们不应该把初始条件理解为研究系统的初始状态。具体如何取，应该视问题的需要、资料来源、计算方便与否等因素而定。

3.边界条件

边界条件是某一实际问题数学模型具有定解的必要条件之一。地下水流问题和溶质运移问题边界条件的定义不尽相同，但一般概化为以下三种。

（1）一类边界条件（Dirichlet条件）

解决水流问题时，此类边界条件为在边界上所有点的水头是给定的；对于溶质运移问题，一类边界条件是指研究区边界上的溶质浓度分布已知。解决CO₂—水两相流动问题时，此类边界条件为在边界上所有点的压力是给定的。

（2）二类边界条件（Neumann条件）

当已知某一边界的单位面积流入或流出的流量时，可视作解决流动问题的二类边界；相对溶质运移来讲，此类边界又称给定弥散通量边界，即边界上的弥散通量随时间变化规律已知。

（3）三类边界（Cauchy条件）

当研究区一部分满足一类Dirichlet条件，而另一部分满足二类Neumann条件时，这类问题称为混合边界问题，称为三类边界。对溶质运移而言，此类边界为边界上溶质通量随时间变化规律已知。

在CO₂地质储存数值模拟过程中，由于储层地层多在800m以下，地质模型的顶部和底部根据实际需要可以处理为不透边界；为了避免边界对模拟结果的影响，研究区的范围一般比实际CO₂所能运移到的范围大得多，因此，在处理四周边界时一般设置为无穷一类边界或不透边界。在确定边界条件时，应根据水文地质条件以及现有的资料来综合考虑。

4.源汇项处理

在多孔介质中流动和溶质运移的问题中，对流、水动力弥散和溶质源或／和汇，是决定含水层中任一内点上溶质质量时变率的两大因素。源汇项问题在水质与水量计算中以及正确处理对流－弥散方程和渗流基本微分方程中占有重要地位。作为源汇项的方式很多，如越流补给、含水层弹性释放补给以及抽（注）井的补给等。

对于深部咸水层CO₂地质储存系统而言，系统的顶部一般为具有低渗、低孔的泥岩、页岩等致密性岩层，越流补给较难发生。整个CO₂地质储库系统的源汇项主要指对流（如侧向边界）和抽（注）井。

（八）模型的校正与验证

模型识别是建立地下流体数值模型最重要的环节之一，正确理解和进行拟合对于提高数值模型的仿真性是至关重要的。在有实测结果的情况下如示范工程，可将模拟结果与实测结果进行比较，对相关参数进行适当合理的调整，使模拟结果在给定的误差范围内与实测结果吻合。若误差较大，应该重新检验概念模型的可靠性，甚至重新建立概念模型。在识别校正以后，应采用校正好的模型继续计算，并与未用来识别校正的实际数据比较，验证模型的准确性和可靠性。若存在较大误差，需重复前面的过程。在没有实测结果的情况下，数值模型的可靠性可通过类比相关资料或根据个人经验和理论判断。

（九）模拟预测

模型预测是实施数值模拟技术的主要目的。对于CO₂地质储存工程而言，由于CO₂地质储存技术的提出为时尚短，针对CO₂在深部咸水层中的运移、扩散、与地层水和围岩产生的化学反应，以及由于CO₂灌注引起的储盖层物理、化学性质变化研究均处于研究和发展阶段。因此，在工程实施过程中急需具有技术指导性的工具产生，避免造成投资的浪费和CO₂泄漏等风险的出现。

利用经过识别校正与验证过的数值模型对CO₂地质储存过程进行模拟预测，有针对性地对模拟数据进行后期处理，如统计分析、比较等手段对结果进行解译，以此达到场地的优选，目标储层灌注能力、储存潜力的评估，CO：扩散运移途径和速度、不同捕集方式封存量及它们之间的时空转化等过程的详细刻画与模拟仿真等目的。同时可以预测CO₂在已有、重新激活或新生成的裂隙中逃逸的可能性及时间、CO₂泄漏风险评估以及评价CO₂泄漏对浅层地下水的水质、水量及对地表环境的影响等。

上述结果的分析只是数值模拟技术所能解决问题的冰山一角。对于数值模拟结果的处理要根据所研究的目的进行有针对性的提取和解译。通过对处理后的数据进行总结分析，发现问题从而解决问题，并掌握内在规律，为CO₂地质储存工程的前期设计、工程实施、中期监测管理提供理论支持和科学的技术指导，并可以提前开展风险预测，尽早制定预案防范CO₂地质储存工程实施及运行过程中可能出现的隐患。

6. 数值模拟

数值模拟（数值法）是对数学模型的一种近似解法，它仅能求出计算域内有限点某个时刻水头的近似值，这个值在实际应用中可以满足精度要求。数值法可以解决许多复杂水文地质条件下的渗流计算问题，应用十分广泛。如用于大中型水源地、地下水的补径排条件复杂、渗流区形状不规则、含水介质为非均质各向异性等条件下，确定水头分布和流量计算。

（一）渗流区域离散化（以二维流为例）

采用数值模拟技术研究地下水的运动，首先将要研究的水文地质模型内的含水层离散化。所谓离散化，就是将要研究的渗流区非均质各向异性含水层，颂滑衡按照一定的方式剖分（分割）成许多相互联系的小均衡区，在每个小均衡区内是均质各向同性的。在每个小的均衡区内，其含水层参数视为常数；其中心水头值或有条件下的平均水头值视为小均衡区内水头代表值。剖分通常采用两种形式（矩形、多边形）进行。

1.矩形均衡域

它是用两组正交的平行线把均衡区分为许多小的矩形均衡域，如图7-3所示。在剖分时约定：①定水头或已知水头边界（一类边界）应从小均衡域的中心通过；②隔水边界（二类边界）与小均衡域的边界重合。这种剖分方法类似于直角坐标系，用适当的编号标定小区域及节（结）点（小均衡域的中心点）。常用的术语有：

图7-3 渗流区被剖分成矩形小均衡域

（据李俊亭等，1987）

1）点、行、列，点（节点）为小区域的中心点，网格的横向称行，竖向称列。

2）步长，分为空间步长（Δx，Δy，Δz）（图7-3）和时间步长（Δt）。

3）小区域及节点编号统一记为（i，j），表示小区域及节点位于第i行第j列。

2.多边形均衡域

由于多边形均衡域与复杂边界的几何形状比较接近，因此使用较多。它是先按三角形剖分渗流域，再以三角形为基础构成多边形均衡域，见图7-4。常用的术语及注意事项：

1）点元、面元、线元，三角形的边称线元，三角形的顶点称点元（节点或结点），三角形的面积称面元；

2）要求剖分时三角形的单个内角取30°～90°；

3）渗流区剖后的面积与原面积要吻合，既不要重复也不要开裂。

（二）基本均衡离散方程（以规则网格的有限差分方法为例）

将图7-3中的（i，j）的均衡区与相邻均衡域的水量交换关系表示在图7-5上。

图7-4 渗流区域三角形

图7-5（i，j）均衡区的流量关系示意

（据李俊亭等，1987）

1）均衡时段为Δt_n+1：

Δt_n+1=t_n+1-t_n0

表示点（i，j）上t_n时刻的水头。

2）若（i，j）均衡区内不存在垂向水量交替，则依据水均衡原理有：

地下水动力学

在x轴方向上不同均衡时段分别为：

地下水动力学

式中：

地下水动力学

3）考虑到式（7-14）与式（7-15）的不同，会产生不同的计算结果。计算方案（差分格式）将写出如下通式：

地下水动力学

式中野做：0≤θ≤1。θ常取3种情况：①当θ=0时称有限差分法的显示差分格式；②当θ=1/2时称有限差分法的对称（中心）差分格式；③θ=1称有限差分法的隐式差分格式。

有限差分方程实际上是基本微分方程的近似表达式，其近似程度可用泰勒级数进行分析。通过微分方程的差分表达式，可以看出在利用差分格式代替微分式时，是存在误差的，即用有限差分方程组模拟地下让薯水流系统会产生误差。

（三）对于边界条件和垂向水量交换的处理

不论是已知水头的一类边界或已知流量的二类边界，计算点落在边界上，该点就不需要列入均衡方程。垂向水量交换的处理也是如此，若点与抽水井重合，该点已列入均衡离散方程时，抽水量就直接参与该点所在均衡区的水均衡。

（四）均衡离散方程的解算

显然，在含水层参数和边界条件都给定的条件下，只要知道某时刻流场中所有点的水头值，就可计算出下个时间步长的所有点的水头。即在已知初始条件的基础上，可以计算不同时刻各点水头值、不同时刻的流场。对于这类问题的求解方法，从广泛使用微机处理的角度来看，超松弛迭代为许多研究者所采用。

（五）应用

综上所述，在已知初始条件、边界条件、垂向水量交换以及给定含水层参数的情况下，可计算渗流区内不同时刻、不同节点的水头值。当前，不论是在地下水资源评价的水量计算中，还是在矿山开采地下水的疏干计算或在因大面积地下水位下降引起的地质灾害防治中，数值法都得到了广泛应用。

目前有许多地下水数值法计算软件，适应性强、有较高的仿真性，广为采用，例如，MOP-FLOW（孔隙水三维有限差分法数值计算软件），GWMS-3D（二维或三维地下水流和污染物质运移数值模拟软件）等。

（六）实例

通过实例的学习，使同学们对用数值法求解过程有所了解。这个过程包括：①水文地质条件概化，建立概念模型；②根据水文地质概念模型，建立数值模型；③剖分计算区，整理计算资料；④校正数值模型；⑤验证数值模型；⑥运用模型进行预报。

实例位于太行山东麓冲洪积扇的交界处。含水层为第四纪松散层，上部为细砂和粉砂层，下部为砂卵砾石、粗砂砾石加土层、含粘土砾石层等。上部含水层地下水已被疏干，当前开采层埋深为40～80m，水位埋深多在10m以下，漏斗中心区已达30m。边沿部分地区水位埋深为2～10m。

1.水文地质概念模型

①含水层底板为隔水粘土层；②含水层主要为非均质各向同性的潜水含水层；③计算区的边界三面为已知水头的一类边界，另一面为不同程度的弱透水层，计算区面积近600km²；④区内有开采井；⑤地下水流为非稳定平面流，水流符合达西流。

2.数值模型

1）微分方程：

地下水动力学

2）初始条件：H（x，y，0）=H₀（x，y）

3）一类边界条件：H（x，y，t）｜_Γ1=H₁（x，y，t）

4）二类边界条件：

地下水动力学

式中：W为汇源项，由降水入渗量和井的开采量代数和求出；n为内法线；其他符号同前。

3.剖分计算区并整理计算资料

将计算区剖分为506个小区、230个节点，其中第一类边界点40个，二类14个，取旱季为模型校正时段，给出10个分区参数并经过试验给出参数初值。

4.校正数值模型

校正结果表明，微分方程和边界条件吻合。

5.验证数值模型

取雨季水位资料，分7个时段进行水位验证。根据验证资料绘制高低水位拟合图以及其他所需拟合图件，证明拟合程度良好，符合规范要求。

6.模型使用

利用验证过的符合实际的模拟模型，根据设计水位预计开采量，或根据设计的开采量预计不同时段的水位降低，尤其是漏斗中心的水位降低。

7. fluent 数值模拟计算问题

意思是在有一些网格内，湍流粘性比被限制在10000内，就是说超过了设定值，一般这种情况，两种解决思路，一是改善网格，一是调整湍流参数，具体情况具体分析啊。

一般是网格问题，或者边界条件也要再检查检查。

不是的话，这里有人写了很好的解决思路，你可以参考一下，这一般用来解决很麻烦的模拟

这是一个常见的问题，很多人已经问过很多遍了，下面我就描述一下我解决问题的方法：
首先，出现这个警告的最基本的原因是由于边界条件的设置错误，所以如果你确认问题的设定没有问题，就接着下裤兄面的分析吧。
问题的根源在于求解器在计算两方程模型的湍动能k和耗散率e或者omega时发生错误，因而在计算湍流粘度的时候也会出错。理想状况下，当求解收敛时，警告会逐渐消失。但是一般状况下，结果不会向我们想象的亩纯高那样乐观，原因就是我们的算例很大，收敛比较困难，并且随着湍流参数的计算错误，状况会进一步恶化，那么我们该如何补救呢？
传统的办法就是选择耦合式求解器并启用，通常会解决问题。但我个人的观点是如何你的算例是属于不可压缩，耦合式求解器并无法有效地解决问题。但我们还有一个更为稳妥的办法，那就是选择FAS，增加库朗数，使粗化级别为4.几乎所有问题都会收敛的。
当然，如果非要使用分离式求解器，我们可做如下选择：
如果我只想得到流场的湍流参数的近似值的话，可以先关闭动量方程，只求解k,e或者k,omega知道得到一个稳定的湍流场，这时再开启所有方程进行迭代求解。这个办法很有效，但有一个问题，如果网格很庞大，比如上百万个，那么光是得到收敛的湍流场就需要一两天的时间迅尺，那么我们又该怎么办呢？
这时候，我可以准备一个相应的粗网格，边界条件都一样，首先在粗网格上得到收敛解，这可能只需要一两个小时，然后选择file->interpolate,将得到的数据写进相应的区域。之后关闭动量计算，只计算湍流量，计算几步之后开启所有的求解器继续迭代，你将会得到所有的收敛解。

最后，这都是我的个人理解，如有误，请指教。

8. 数值模拟的方法有哪些，各自有什么优缺点，谢谢！

对有条件进行实验的材料，尽量采用实验方法，辅以数值模拟检验。而在工
程应用中，很多情况下无法进行实验，如采矿问题等，数值模拟内部程序有相应的计算方法，能模拟较复杂过程。
直观性与求解速度：实验直观性强，数值模拟直观性不如实验方法好，较抽象，但可以
快速得到结果。实验操作复杂。
成本：实验成本高，数值模拟成本低廉，只需在计算机上进行模拟和数据处理。
施加载荷：数值模拟可以任意施加各种方向的载荷，可以施加实验方法达不到的条件。
因此数值模拟方法在监测、设备开发、优化、效果预测方面体现了重要价值。
数据采集：实验只能采集到特定点的的应力应变等数据，不能得到整个材料各点的应力
应变值，而数值模拟方法可以对各个区域、各个测点进行应力分析和位移分析，对实验进行补充。
数据处理：应将实验方法和数值模拟方法结合起来使用，分别对结果进行分析后，充分
考虑两种方法各自的优缺点，互相比较印证，结合理论分析，有针对性地进行数据和结果的修正，才能得到一个比较全面、客观的结论。
结果可靠性：数值模拟方法在模拟分析过程中，往往要对边界条件和材料属性进行简化，
或多或少对分析结果产生影响，而且结构离散化的形式不同，得到的结果和精度也不同，随机性比较大，可信度降低。而在实验中不可避免的客观、主观因素也会产生误差，但是比数值模拟的误差少得多，可靠性更高。
两种方法互相检验：合理的数值模拟方法对实验研究和理论分析具有指导作用，可以弥
补实验工作的不足。实验与数值模拟结果比较，用来判断数值模拟方法的可行性。

9. 数值模拟方法

如前所述，基于镜质组化学反应动力学的煤热演化史数值模拟方法经历了简单函数关系模式、受热时间－经验法模式、反应活化能－温度函数模式和平行反应化学动力学模式四个发展阶段（秦勇等，1995）。其中，目前在化石能源地质界最为常用的是TTI法、LOM法和Tissot法，近年建立起来的EASY%R_o方法也已成为数值模拟的重要发展方向。

（一）时间－温度指数（TTI）法

这种方法的基本思想由Lopatin（1971）首先提出，后经Waples（1980）根据31个盆地402个样品的实测资料加以完善，建立起了其数值模拟的方法体系，故又称为Lopatin-Waples法。TTI法遵循化学反应动力学的基本法则来衡量温度和时间两个因素对煤化作用的贡献，即煤化作用速度随受热温度的增高而增大，温度每增加10℃煤化反应速度增加一倍。

由此，可将TTI数学模式用连续函数加以表示：

山西南部煤化作用及其古地热系统：兼论煤化作用的控气地质机理

T=T_s＋G·D

式中：T——煤层受热的古地温温度，℃；

T_s—－古地表温度，℃；

G——古地温梯度，℃/m;

D—煤层埋藏深度，m。

上述连续函数模式不便于常规运算，故在实际工作中通常采用分段积分方式，根据如下方程进行计算：

TTI＝∑γⁿ·△t

式中：γ——温度效应因子，考虑到温度每增高10℃煤级量值增加一倍的关系，取r=2;

n——温度指数冲仿，其大小取决于温度（表5-1）；

△t——煤层在某一温度段的受热时间，Ma。

表5-1TTI数学模式中温度指数（n）与煤层受热温度段的对应关系

注：温度每增（减）10℃，温度指数增（减）1。

TTI值本身可以作为煤级或有机质成熟度指标，Waples（1980）也提供了TTI值与镜质组最大油浸反射率的关系（表5-2）。此外，Wood（1988）通过回归拟合，将二者之间关系采用下式表示：

lg%R_o＝—0.006（lgTTI）³+0.042（lgTTI）²+0.162（lgTTI）—0.397

表5-2时间温度指数（TTI）与镜质组反射率（R_o）的相关关系

应予指出，TTI法尽管几十年来被化石能源地质界所广泛采用，但仍存在某些明显的不足有待于改进，国内外学者为此做过一定努力。例如，温度每碧猜增加10℃煤化速率加快一倍的假设有其局限性，只能在活化能10～25kcal/mol（相当于20～160℃的温度范围，1kcal=4186.8J，下同）区间是可靠的（Magoon,1983）。再如，沉积有机质热降解的反应活化能是受热温度的函数，随成熟度的增加而逐步加大，不同类型有机质达到相同成熟度所需的活化能也有差异，而TTI模式将整个煤化过程中的反应活化能作为常量，显然与实际情况有出入。

（二）悔判型有机成熟度水平（LOM）法

该方法由Hood（1975）建立，后经Bostick等（1979）完善而成为一种国内外广泛采用的数值模拟方法，故又被称为Hood-Bostick方法。

Hood等考虑到总体反应活化能随受热温度而增高的变化趋势（18～33kcal/mo1），采用镜质组油浸反射率标定有机质成熟度水平（LOM）（图5-1）。在模式中采用了有效受热时间的概念，即温度不低于最高受热温度15℃范围内的受热时间，建立起有机质成熟度、温度及有效受热时间之间的相互关系（图5-2）。

图5-1有机质成熟度水平（LOM）与其它有机质成熟度指标的关系（引自周中毅，1990）

Ⅰ—褐煤；Ⅱ₁—亚烟煤；Ⅱ₂—高挥发性烟煤；Ⅱ₃—中挥发性烟煤；Ⅱ₄—低挥发性烟煤；Ⅲ₁—半无烟煤；Ⅲ₂—无烟煤

1Btu=1055.06J

在实际工作中，LOM法采用图解方法求取有机质成熟度或镜质组反射率（图5-2）。国内外应用效果表明，利用这种方法推算出的盆地古地温温度是比较可靠的，与由综合研究所得出的结果以及盆地实际情况较为吻合（Vote,1981；周中毅等，1983,1984,1985）。

10. 数值模拟的计算机方法

有限差分方法(FDM)是计算机数值模拟最早采用的方法，至今仍被广泛运用。该方法将 求解域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解域。有限差分法以Taylor级 数展开等方法，把控制方程中的导数用网格节点上的函数值的差商代替进行离散，从而 建立以网格节点上的值为未知数的代数方程组。该方法是一种直接将微分问题变为代数 问题的近似数值解法，数学概念直观，表达简单，是发展较早且比较成熟的数值方法。 对于有限差分格式，从格式的精度来划分，有一阶格式、二阶格式和高阶格式。从差分 的空间形式来考虑，可分为中心格式和逆风格式。考虑时间因子的影响，差分格式还可 以分为显格式、隐格式、显隐交替格式等。目前常见的差分格式，主要是上述几种形式 的组合，不同的组合构成不同的差分格式。差分方法主要适用于有结构网格，网格的步 长一般根据实际地形的情况和柯朗稳定条件来决定。

构造差分的方法有多种形式，目前主要采用的是泰勒级数展开方法。其基本的差分表达 式主要有三种形式：一阶向前差分、一阶向后差分、一阶中心差分和二阶中心差分等， 其中前两种格式为一阶计算精度，后两种格式为二阶计算精度。通过对时间和空间这几 种不同差分格式的组合，可以组合成不同的差分计算格式。

有限元方法的基础是变分原理和加权余量法，其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，将微分 方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式 ，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。采用不同的权函数和插值函数形式，便构成不同的有限元方法。有限元方法最早应用于结构力学，后来随着计算机的发展慢慢用于流体力学的数值模拟。在有限元方法中，把计算域离散剖分为有限个互不重叠且相互连接的单元，在每个单元内选择基函数，用单元基函数的线形组合来逼近单元中的真解，整个计算域上总体的基函数可以看为由每个单元基函数组成的，则整个计算域内的解可以看作是由所有单元上的近似解构成。在河道数值模拟中，常见的有限元计算方法是由变分法和加权余量法发展而来的里兹法和伽辽金法、最小二乘法等。根据所采用的权函数和插值函数的不同，有限元方法也分为多种计算格式。从权函数的选择来说，有配置法、矩量法、最小二乘法和伽辽金法，从计算单元网格的形状来划分，有三角形网格、四边形网格和多边形 网格，从插值函数的精度来划分，又分为线性插值函数和高次插值函数等。不同的组合 同样构成不同的有限元计算格式。对于权函数，伽辽金(Galerkin)法是将权函数取为逼近函数中的基函数 ；最小二乘法是令权函数等于余量本身，而内积的极小值则为对代求系数的平方误差最小；在配置法中，先在计算域 内选取N个配置点 。令近似解在选定的N个配置点上严格满足微分方程，即在配置点上令方程余量为0。插值函数一般由不同次幂的多项式组成，但也有采用三角函数或指数函数组成的乘积表示，但最常用的多项式插值函数。有限元插值函数分为两大类，一类只要求插值多项式本身在插值点取已知值，称为拉格朗日(Lagrange)多项式插值；另一种不仅要求插值多项式本身，还要求它的导数值在插值点取已知值，称为哈密特(Hermite)多项式插值。单元坐标有笛卡尔直角坐标系和无因次自然坐标，有对称和不对称等。常采用的无因次坐标是一种局部坐标系，它的定义取决于单元的几何形状，一维看作长度比，二维看作面积比，三维看作体积比。在二维有限元中，三角形单元应用的最早，近来四边形等参元的应用也越来越广。对于二维三角形和四边形电源单元，常采用的插值函数为有Lagrange插值直角坐标系中的线性插值函数及二阶或更高阶插值函数、面积坐标系中的线性插值函数、二阶或更高阶插值函数等。

对于有限元方法，其基本思路和解题步骤可归纳为
(1)建立积分方程，根据变分原理或方程余量与权函数正交化原理，建立与微分方程初边值问题等价的积分表达式，这是有限元法的出发点。
(2)区域单元剖分，根据求解区域的形状及实际问题的物理特点，将区域剖分为若干相互连接、不重叠的单元。区域单元划分是采用有限元方法的前期准备工作，这部分工作量比较大，除了给计算单元和节点进行编号和确定相互之间的关系之外，还要表示节点的位置坐标，同时还需要列出自然边界和本质边界的节点序号和相应的边界值。
(3)确定单元基函数，根据单元中节点数目及对近似解精度的要求，选择满足一定插值条 件的插值函数作为单元基函数。有限元方法中的基函数是在单元中选取的，由于各单元 具有规则的几何形状，在选取基函数时可遵循一定的法则。
(4)单元分析：将各个单元中的求解函数用单元基函数的线性组合表达式进行逼近；再将 近似函数代入积分方程，并对单元区域进行积分，可获得含有待定系数(即单元中各节点 的参数值)的代数方程组，称为单元有限元方程。
(5)总体合成：在得出单元有限元方程之后，将区域中所有单元有限元方程按一定法则进 行累加，形成总体有限元方程。
(6)边界条件的处理：一般边界条件有三种形式，分为本质边界条件(狄里克雷边界条件 )、自然边界条件(黎曼边界条件)、混合边界条件(柯西边界条件)。对于自然边界条件， 一般在积分表达式中可自动得到满足。对于本质边界条件和混合边界条件，需按一定法 则对总体有限元方程进行修正满足。
(7)解有限元方程：根据边界条件修正的总体有限元方程组，是含所有待定未知量的封闭 方程组，采用适当的数值计算方法求解，可求得各节点的函数值。

有限体积法（Finite Volume Method）又称为控制体积法。其基本思路是：将计算区域划分为一系列不重复的控制体积，并使每个网格点周围有一个控制体积；将待解的微分方程对每一个控制体积积分，便得出一组离散方程。其中的未知数是网格点上的因变量的数值。为了求出控制体积的积分，必须假定值在网格点之间的变化规律，即假设值的分段的分布的分布剖面。从积分区域的选取方法看来，有限体积法属于加权剩余法中的子区域法；从未知解的近似方法看来，有限体积法属于采用局部近似的离散方法。简言之，子区域法属于有限体积发的基本方法。

有限体积法的基本思路易于理解，并能得出直接的物理解释。离散方程的物理意义，就 是因变量在有限大小的控制体积中的守恒原理，如同微分方程表示因变量在无限小的控 制体积中的守恒原理一样。 限体积法得出的离散方程，要求因变量的积分守恒对任意一组控制体积都得到满足，对整个计算区域，自然也得到满足。这是有限体积法吸引人的优点。有一些离散方法，例如有限差分法，仅当网格极其细密时，离散方程才满足积分守恒；而有限体积法即使在粗网格情况下，也显示出准确的积分守恒。就离散方法而言，有限体积法可视作有限单元法和有限差分法的中间物。有限单元法必须假定值在网格点之间的变化规律（既插值函数），并将其作为近似解。有限差分法只考虑网格点上的数值而不考虑值在网格点之间如何变化。有限体积法只寻求的结点值，这与有限差分法相类似；但有限体积法在寻求控制体积的积分时，必须假定值在网格点之间的分布，这又与有限单元法相类似。在有限体积法中，插值函数只用于计算控制 体积的积分，得出离散方程之后，便可忘掉插值函数；如果需要的话，可以对微分方程 中不同的项采取不同的插值函数。