整除题的解决方法和技巧

A. 除法简便计算的技巧

长除法俗称“长除”，适用于整数除法、小数除法、多项式除法（即因式分解）等较重视计算过程和商数的除法，过程中兼用了乘法和减法。根据乘法表，两个整数可以用长除法（直式除法）笔算。 如果被除数有分数部分（或者说是小数点），计算时将小数点带下来就可以；如果除数有小数点，将除数与被除数的小数点同时移位，直到除数没有小数点。算盘也可以做除法运算。
被除数÷除数=商，例如：
被除数÷商=除数，例如：⇒
商除数=被除数，例如：
带有余数的情况：
被除数÷除数=商……余数（其中，余数小于除数）
↕
除数×商+余数=被除数。
考虑到除法与乘法互为逆运算，并且乘法的意义是求多个相同加数的和的简便运算，所以这种情况也可以解释为：被除数不断地减去除数，直至余数数值低于除数。例如：17÷5=3…2，即17减去3个5，余下2。如果利用带分数的形式，则可以写作（三又五分之二）。
运算性质
1. 被除数扩大（缩小）n倍，除数不变，商也相应的扩大（缩小）n倍。
2. 除数扩大（缩小）n倍，被除数不变，商相应的缩小（扩大）n倍。
3. 除法的性质：被除数连续除以两个除数，等于除以这两个除数之积。有时可以根据除法的性质来进行简便运算。
例如：300÷25÷4=300÷(25×4)=300÷100=3。
除法计算方法：除数一位看一位，一位不够看两位。除到哪位商哪位，哪位不够零占位。每次除后要比较，余数要比除数小。运算公式：1.被除数÷除数=商；2.被除数÷商=除数；3.商*除数+余数=被除数。

除法计算过程步骤

举例如下：

以492÷4=123为例。

竖式具体计算步骤如下图所示。

除法计算过程步骤

解题思路：从最高位百位4开始除起，4除以4商为1，而后再用第二位十位9除以4商为2余数为1，最后将最后个位数的2和之前的步骤得出的余数1合成一个数字12除以4商为3，因此最后得出492÷4的结果是商为123，余数为0。

B. 2018公务员考试行测答题技巧:整除法怎么解题

对于行测考试中历明稿的数学运算部分而言，做题时需要一定的技巧和方法，在这里华图教育专家给各位考生介绍一种快速解决数学题的方法之整除法，相信对大家一定会有帮助的。
一、应用环境：
当分数、百分数、比例和小数出现较多时，优先想到用整除。
二、方法运用：
例1、学校有足球和篮球的数量比为8:7，先买进若干个足球，这时足球与篮球的数量比变为3:2，接着又买进一些篮球，肢孝这时足球与篮球的数量比为7:6.已知买进的足球比买进的篮球多3个，原来有足球多少个?
A.48 B.42 C.36 D.30
答案A。
华图解析：所求量为“原来足球的个数”，根据“学校有足球和篮球的数量比为8:7”可以知道学校原来有槐举的足球数能被8整除，篮球数能被7整除，结合选项只能选择答案A。
例2、有红黄蓝三种球共160个,如果取红球的三分之一,黄球的四分之一,蓝球的五分之一还剩120个.如果取红球的四分之一,黄球的三分之一,蓝球的五分之一，则剩下116个;问：蓝球有多少个?
A.40 B.50 C.60 D.70
答案A。
华图解析：所求量为“篮球有多少个?”，根据“如果取红球的三分之一,黄球的四分之一,蓝球的五分之一还剩120个.如果取红球的四分之一,黄球的三分之一,蓝球的五分之一。”可以知道：篮球能被5整除，但是不能排除选项，而红球和黄球都能被12整除，那么总数160减去篮球的数目，就能被12整除，结合选项只能选择答案A。
例3、两个派出所某月内共受理案件160起，其中甲派出所受理的案件中有17%是刑事案
件，乙派出所受理的案件中有20%是刑事案件，问乙派出所在这个月中共受理多少
起非刑事案件?
A. 48 B. 60 C. 72 D. 96
答案A。
华图解析：所求量为“乙派出所在这个月中共受理多少起非刑事案件?”，与其相关的百分数为20%即乙的非刑事案件占80%，说明乙的刑事案件能被4整除，但是不能排除选项。那就需要考虑其他的条件，即“甲派出所受理的案件中有17%是刑事案
件”说明甲的总案件能被100整除，即最少为100，而且甲+乙=160，所以甲为100，乙为60，故乙的非刑事案件为60×80%=48，所以选择答案A。

C. 分数除法应用题小窍门有哪些

1、利用数量关系式解题

解答分数应用题，往往要抓住题中的“中心句”进行分析，从“中心句”中找出单位“1”和“相关联的两个量”，明确“相关联的两个量”之间的关系，根据分数乘法的意义写出关系式。如：在“延续生命”献爱心活动中，我校五年级学生捐款3500元，六年级捐的是五年级的
，六年级学生捐款多少元？这里把“五年级学生的捐款数”看作单位“1”，五年级和六年级是相关联的两个量，它们的关系是“五年级学生捐款数× =六年级学生捐款数”。从关系式中很容易知道这道题怎么列式计算了。

其实较复杂的题也是一个一个简单的应用题组合而成的，只要学生学会分析，难题也会迎刃而解。平时教师可以口头训练这样的关系式，让学生熟练掌握，这样就会有意想不到的收获，能达到事半功倍的效果。而应用题是灵活多变的，，学生在数学学习中如果一味围绕书上的公式、例题转，程式化、机械性地解题，对知识缺乏透彻的掌握，对题目的数量关系不做具体分析，是不可能把应用题学好的。但对具体题目还需作具体的分析，否则就容易出错。

2、借助线段图解题。

数学家华罗庚曾说：“人们对数学早就产生了干燥无味、神秘难懂的印象，成因之一便是脱离实际。”数形结合的思维方法，便是理论与实际的有机联系，是思维的起点，是儿童建构数学模型的基本方法。数形结合思想是充分利用“形”把复杂的数量关系和抽象的数学概念变得形象、直观，能丰富学生的表象，引发联想。在分数乘除应用题教学时经常通过画线段图或面积图弄清题意，分析数量关系，拓宽解题思路，能引导学生迅速找到解决问题的方法。

“线段图”直观、明了，能让学生很清楚地看出两种量的关系，谁多谁少一目了然，便于学生判断，能培养学生的判断能力。教师在教学生画图时要有耐心，学生刚接触线段图，有很多困难，先画什么，后画什么，要把哪条线段平均分成“几”份，容易混淆，教学时要让学生尝试，发现问题，教师引导纠错，使学生印象深刻。如：客货两车分别从A、B两地同时出发，相向而行，它们在离中点20千米处相遇，这时货车行了全程的。

D. 二项式定理整除和余数问题

二项式定理整除和余数问题如下：

组合的方法证明：

设有n个小球放到两个不同的盒子中，盒子可以为空。若对小球进行讨论，每个小球有两个选择，共有2^n种放法。

利用二项式定理证明整除问题或求余数：

1、利用二项式定理解决整除问题时，关键是要巧妙地构造二项式，其基本做法是：要证明一个式子能被另一个式子整除，只要证明这个式子按二项式定理展开后的各项均能被另一个式子整除即可。

2、用二项式定理处理整除问题时，通常把底数写成除数（或与除数密切相关的数）与某数的和或差的形式，再用二项式定理展开，只考虑后面（或者是前面）一、二项就可以了。

3、要注意余数的范围，枯搭为余数，b∈[0，r)，r是除数，利用二项式定理展开变形后，若剩余部分是负数要注意转换。

E. 除法算式的解题技巧

除法算式解决的问题主要是：
把一个数平均分成若干份，求每份是多少；
例：
初二同学分成8组栽树，一共栽了41棵。算一算，平均每组栽了几棵？
41÷8
=5+1/8棵
=5.125棵
（两个结果是一样的没有特殊要求，随便分数或小数形式表示都行）
求一个数是另一个数的多少倍；
例：
小红和弟弟折纸鹤，小红折了41个，弟弟折了8个，小红折的是弟弟的几倍？
41÷8=5.125倍
求一个数的几分之一是多少；
例：
小明跟小梅学做小红花，小梅做埋模了40朵，小明做的是小梅的8分之一，小明做了几朵？
40÷8=5朵
求两个数的比值是多少；
例：
电动车的速度是每小时41千米，自行车的速度是每小时8千米，
电动车速度与自行车速度的比值比是多少？
41：8=41/8=5+1/8
=5.125
电动车速度与自行车速度的比值哪桐是5又1/8，弯缓缓也是5.125。

F. 怎样利用数学归纳法证明整除问题

浅谈数学归纳法的应用
数学归纳法是证明与自然数有关的命题的一种方法，应用广泛．在最近几年的高考试卷中体现的特别明显，以下通过几道高考试题来谈一谈数学归纳法的应用。
一、用数学归纳法证明整除问题
用数学归纳法证明整除问题时，由到时，首先要从要证的式子中拼凑出假设成立的式子，然后证明剩余的式子也能被某式（数）整除，这是数学归纳法证明问题的一大技巧。
例1、是否存在正整数m，使得f（n）=（2n+7）•3n+9对任意自然数n都能被m整除?若存在，求出最大的m值，并证明你的结论;若不存在，请说明理由.
证明：解：由f（n）=（2n+7）•3n+9，得f（1）=36，
f（2）=3×36，
f（3）=10×36，
f（4）=34×36，由此猜想m=36.
下面用数学归纳空返法证明：
（1）当n=1时，显然成立.
（2）假设n=k时，
f（k）能被36整除，即f（k）=（2k+7）•3k+9能被36整除;当n=k+1时，［2（k+1）+7］•3k+1+9=3［（2k+7）•3k+9］+18（3k--1－1），
由于3k-1－1是2的倍数，故18（3k－1－1）能被36整除.这就是说，当n=k+1时，f（n）也能被36整除.
由（1）（2）可知对一切正整数n都有f（n）=（2n+7）•3n+9能被36整除，m的最大值为36.
二、用数学归纳法证明恒等式问题
对于证明恒等的问题，在由证等式也成立时，应及时把结论和推导过程对比，也就是我们通斗雹饥常所说的两边凑的方法，以减小计算的复杂程度，从而发现所要证明的式子，使问题的证明有目的性．
例2、是否存在常数
，使得等式
对一切自然数
成立？并证明你的结论．
解：假设存在
，使得题设的等式成立，肆橡则当时
也成立，代入得
解得
，于是对
，下面等式成立：
令
假设
时上式成立，即
那么
.........

G. 分数除法应用题小窍门

窍门1、“谁的 “：”格式，“谁”就是单位“1”。如：一袋大米吃了它的 ，吃了多少千克？那么“这袋大米的质量”就是单位“1”。

窍门2、“比谁多或少 ：”格式，“谁”就是单位“1”。如：苍海渔业队五月份捕鱼2400吨，六月份比五月份多捕 ，六月份捕鱼多少吨？那么“五月份捕鱼的吨数”就是单位“1”。

(7)整除题的解决方法和技巧扩展阅读：

应用题的分析方法：

1、图解分析法：这实际是一种模拟法，具有很强的直观性和针对性，数学教学中运用得非常普遍。如工程问题、行程问题、调配问题等，多采用画图进行分析，通过图解，帮助学生理解题意，从而根据题目内容，设出未知数，列出方程解之。（例略）

2、亲身体验法：如讲逆水行船与顺水行船问题。有很多学生都没有坐过船，对顺水行船、逆水行船、水流的速度，学生难以弄清。为了让学生明白，举骑自行车为例，学生有亲身体验，顺风骑车觉得很轻松，逆风骑车觉得很困难，这是风速的影响。

同时讲清：顺水行船的速度，等于船在静水中的速度加上水流的速度；逆水行船的速度，等于船在静水中的速度减去水流的速度。

H. 整除问题奥数技巧

技巧：
数字2整除
一个整数的个位是0、2、4、6、8，则这个数汪野能被2整困橘喊除
数字3、9整除
一个整数的各位数字之和能被3或9整除，则这个数能被3或9整除
数字4、25整除
一个整数的末两位数能被4或25整除，则这个数能被4或25整除

数字8、125整除
一个整数的末三位能被8或125整除，则这个数可以被8或125整除

数字11整除

如果一个整数的奇位上数字之和与偶数位上数字之和的差可以被11整除，同这个数能被11整除

I. 2016年安徽大学生村官笔试行测高分技巧：巧用整除

据了解，不少考生在行测考场上放弃数量部分，主要觉得题目难，计算量也大。所以，中公教育专家认为，采取一些解题技巧就能够快速而准确地解决相关的问题，其中整除思想是一个运用比较广改虚泛的方法。也就是利用数的一些整除特性来快速解决一些比较复杂的题目，能够节省很多时间，所以这部分知识需要好好理解。
一、应用环境
1、文字描述出现“每”、“平均”、“倍数”等字眼可以考虑整除思想。
例如题干条件为“把若干桃子平均分给 5只猴子，正好分完”，那这时候我们就应该从平均中读出这堆桃子总数可以被5整除。
2、数据出现“分数”、“百分数”、“比例”、“小数”这些形式时考虑整除思想。
例如题干条件为“第二堆大米占所有大米的七分之一”，只此一句话我们就可以推断总共的大米袋扒蔽数一定能被7整除。大家需要注意不管是比例、分数、百分数还是小数，他们之间是可以相互转化的，所以原理也是一样的，但是注意一定要化成最简比例。
3、题干中出现一些相对难算的式子
例如13×99+135×999+1357×9999，很明显结果能被9整除。
二、常用小数字的整除判定
1、局部看
(1)一个数的末一位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除;
例：422末一位能被2整除，不能被5整除，所以422能被2整除，不能被5整除。
(2)一个数的末两位能被4或25整除，这个数就能被4或25整除;
例：560末两位能被4整除，不嗯呢更被25整除，所以560能被4整除，不能被25整除。
(3)一个数的末三位能被8或125整除，这个数就能被8或125整除;
例：1200末三位能被8整除，不能被125整除，所以1200能被8整除，不能被125整除。
2、整体看
(1)3，9
一个数各位数数字和能被3或9整除，这个数就能被3或9整除。
此外，判定一个数能否被3或9整除，可以用到“弃3”或“弃9”法，即遇到和能被3或9整除的几个数字可以弃掉。
例：判断37921能否被3整除，3、9弃掉，7+2=9，所以7和2也要弃掉，就剩下1，不能被3整除，所以37921不能被3整除。
(2)7，11，13
①7：把个位数字截去，再从余下的数中减去个位数的2倍，差是7的倍数，则原数能被7整除。
例：152，15-2×2=11，不能被7整除。
②11：奇数位上数字和与偶数位上数字和之差能被11整除。
例：937，9+7-3=13，不能被11整除。
③13：逐次去掉最后一个数字并加上末尾数字的4倍能被13整除。
例：364，36+4×4=52，能被13整除。
3、其他合数
将该合数进行因数分解，能同时被分解后的互质因数整除，则能被该合数整除。
例：判定168能否被24整除，把24分解为质因数乘积的形式，24=3×8,168能同时被3和8整除，所以168能被24整除。
三、实战演练
例：某粮库里有三堆袋装大米，已知第一堆有303袋大米，第二堆有全部大米袋数的五分之一，第三堆有全部大米袋数的七分之若干。问粮库里共有多少袋大米?
A、2585 B、3535 C、3825 D、4115
答案：B。
中公解析：这道题如果用其他的方法可能很难快速得出答案春歼州，显然用整除思想就很快解决问题，因为总的大米袋数一定可以被5和7整数，所以说，只有B选项符合。