证明线面平行的技巧和方法

㈠ 怎么证明线面平行

简单分析一下，详情如图所示

㈡ 线面平行的判定方法有哪些

1、如果平面外一条直线与平面内一条直线平行，那么这条直线就与该平面平行。这是判定定理；

2、如果一条直线与一个平面没有公共点，那么这条直线与这个平面平行。这个方法也叫作定义法。

3、如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线与另外一个平面相平行；

4、如果平面外一条直线与平行于该平面的直线平行，那么这条直线就与这个平面平行；

5、如果平面外一条直线与这个平面的垂线相垂直，那么这条直线就平行于这个平面。

(2)证明线面平行的技巧和方法扩展阅读：

定理1

一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。

已知：a∥α，a∈β，α∩β=b。求证：a∥b

证明：假设a与b不平行，设它们的交点为P，即P在直线a，b上。

∵b∈α，∴a∩α=P

与a∥α矛盾

∴a∥b

此定理揭示了直线与平面平行中蕴含着直线与直线平行。通过直线与平面平行可得到直线与直线平行。这给出了一种作平行线的重要方法。

注意：直线与平面平行，不代表与这个平面所有的直线都平行，但直线与平面垂直，那么这条直线与这个平面内的所有直线都垂直。

定理2

一条直线与一个平面平行，则该直线垂直于此平面的垂线。

已知：a∥α，b⊥α。求证：a⊥b

证明：由于α的垂线有无数条，因此可将b平移至与a相交，设平移的直线为c，a∩c=M，c与α的垂足为N。

∵两条相交直线确定一个平面

∴设a和c构成的平面为β，且α∩β=l

∵N∈c，N∈α，c⊂β

∴N∈l，且由定理1可知a∥l

∵c⊥α，l⊂α

∴c⊥l

∴a⊥c

由于平移不改变直线的方向，因此a⊥b

㈢ 高中数学证明线面平行方法

线面平行，几何术语。定义为一条直线与一个平面无公共点(不相交)，称为直线与平面平行。平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。平面外一条直线与此平面的垂线垂直，则这条直线与此平面平行。下面给大家分享一些关于高中数学证明线面平行 方法 ，希望对大家有所帮助。

目录 一.线面平行判断方法 二.证明线面平行的方法 三.高中数学必考知识点 四.高中数学考试高效复习 一.线面平行判断方法

(1)利用定义：证明直线与平面无公共点;

(2)利用判定定理：从直线与直线平行得到直线与平面平行;

(3)利用面面平行的性质：两个平面平行，则一个平面内的直线必平行于另一个平面。

注：线面平行通常采用构造平行四边形来求证。

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二.证明线面平行的方法

一，面外一条线与面内一条线平行，或两面有交线强调面外与面内版

二，面外一直线上不同两点到面的权距离相等，强调面外

三，证明线面无交点

四，反证法(线与 面相 交，再推翻)

五，空间向量法，证明线一平行向量与面内一向量(x1x2-y1y2=0)

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三.高中数学必考知识点

必修一：

1、集合与函数的概念 (这部分知识抽象，较难理解)

2、基本的初等函数(指数函数、对数函数)

3、函数的性质及应用 (比较抽象，较难理解)

首先，在高中必考数学知识点归纳整理，集合的初步知识与其他知识点密切联系。

它们是学习、掌握和使用数学语言的基础，是高中数学学习的出发点。

所以同学在集合与函数的概念一定要学扎实。

同学们应该知道，函数在高中是最重要的基本概念之一，老师运用有关的概念和函数的性质，培养学生的思维能力。

必修二：

1、立体几何

(1)、证明：垂直(多考查面面垂直)、平行

(2)、求解：主要是夹角问题，包括线面角和面面角。

立体几何这部分对高一同学是难点，因为需要同学立体意识较强。

在学习立体几何证明：垂直(多考查面面垂直)、平行

在学习空间几何体、点、直线、平面之间的位置关系时，重点要帮助学生逐步形，逐步掌握解决立体几何的相关问题。

必修三：

1、算法初步：高考必考内容，5分(选择或填空)

2、统计：

3、概率：高考必考内容。

在学习算法初步、统计等内容的时候，要注意顺序渐进，不可追求一步到位，特别要注意其思想的重要性。

必修四：

1、基本初等函数(三角函数：图像、性质、高中重难点)这个是高考中占分最多的题目。

2、平面向量：高考不单独命题，易和三角函数、圆锥曲线结合命题。

三角函数的学习，对高中同学将进一步了解符号与变元、集合与对应、数形结合等基本的数学思想在研究三角函数时所起的重要作用，在式子与图形的变化中，教师应引导学生通过分析、探索、划归、类比、平行移动、伸长和缩短等常用的基本方法的学习，使学生在学习数学和应用数学方面达到一个新的层次。

同学在高中必考数学知识点归纳整理，一定要把平面向量最基本的知识讲解一定要整理归纳好，平面向量提高学生应用数学知识解决实际问题的能力和实际操作的能力。所以同学们一定要重视起来。

必修五：

1、解三角形：(正、余弦定理、三角恒等变换)

2、数列：高考必考

3、不等式：(线性规划，听课时易理解，但做题较复杂，应掌握技巧。高考必考5分)不等式不单独命题，一般和函数结合求最值、解集。

数列作为一种特殊的函数，学生将通过对日常生活中大量实际问题的分析，建立等差数列和等比数列这两种数列模型，探索并掌握它们的一些基本数量关系。

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四.高中数学考试高效复习

一、全面复习夯实基础，掌握基本概念和公式

打好基础，首先必须重视数学基本概念、基本定理(公式、法则)的复习，在理解上下功夫，整体把握数学知识。这部分内容的复习要做到，不打开课本，能选择适当途径将它们一一回忆出来，它们之间的脉络框图，能在自己大脑中勾画出来。如函数可以利用框图的形式由粗到细进行回忆。

概念要抓住关键及注意点，公式及法则要理解它们的来源，要理解公式法则中每一个字母的含义，即它们分别表示什么，这样才能正确使用公式。

对于数学而言，概念和公式就是它的基础，只有你掌握了这些理论，才能加以灵活应用。

二、突出重点，各个击破

在复习的时候除了全面的抓基础，另外就是要针对难点问题，各个击破。其实从考试的要求中也可以看出来，考试对知识的考查分为了解、理解、掌握、灵活和综合运用这几个层次。一般通过全面复习你已经到了掌握的层面，接下来就是解决灵活和综合运用这两点。

针对这两点的题目相对较难，需要同学们在复习的时候要在这上面多下功夫。通过做一些试题，例如：一些金考卷、活页题选、一遍过专题等，来锻炼自己的应用能力，同是也是对自己的一种检测，检查自己是否掌握了这些内容。对于自己易错的知识点，如果是没有理解的话，要及时地向老师和同学请教。

(插入金考卷特快系列封面图)

三、除了理论知识，考试技巧也很重要!

(1)不要粗心大意犯最低级的错误

拿到考卷以后，先把名字及其他试卷要求信息写上，虽然这是最基本的常识，但每年都有不少同学会犯这个低级错误。给自己留出涂答题卡的时间，以免自己遗忘，最好是写完选择题直接涂卡。

(2)合理掌握时间，学会适当放弃

如果一道考题思考了大约有二十分钟仍然没有思路，可以先暂时放弃这道题目，不要在一道试题上花费太多的时间，导致会做的题反而没有时间去做，那就太可惜了。

当确实没有思路的时候要暂时放弃，如果放弃的是一道选择题，建议大家标记一下此题，防止因此题使答题卡顺序涂错，如果时间充足还可再做。但是，标记要慎重，以免被视为作弊，可以用铅笔标记，交试卷之前用橡皮察去。

(3)确定做题顺序

在做题顺序上可以采用选择、填空、计算、证明的顺序。完成选择填空后，做大题时，先通观整个试题，明确哪些分数是必得的，哪些是可能得到的，哪些是根本得不到的，再采取不同的对应方式，才能镇定自如，进退有据，最终从总体上获胜。

(4)注意步骤的完整性

解答题的分数很高，相应的对于考生知识点的考察也更全面一些，有些考题甚至包含了三、四个考察点，因此要求考生答题时相应的知识点应该在卷面上有所体现，步骤过简势必会影响分数。

(5)保持良好的心态

不要把自己弄的特别的紧张，就把他当作是一次很平常的考试去对待。数学只有静下心来才能把题答好。如果上来就紧张的不行，那自己本来会做的题，可能对于你来说也是一道难题。

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㈣ 证明线面平行的方法有哪些

线面平行，几何术语。定义为一条直线与一个平面无公共点（不相交），称为直线与平面平行。平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。平面外一条直线与此平面的垂线垂直，则这条直线与此平面平行。

线面平行判断方法

（1）利用定义：证明直线与平面无公共点；

（2）利用判定定理：从直线与直线平行得到直线与平面平行；

（3）利用面面平行的性质：两个平面平行，则一个平面内的直线必平行于另一个平面。

注：线面平行通常采用构造平行四边形来求证。

证明线面平行的方法

一，面外一条线与面内一条线平行，或两面有交线强调面外与面内版

二，面外一直线上不同两点到面的权距离相等，强调面外

三，证明线面无交点

四，反证法（线与面相交，再推翻）

五，空间向量法，证明线一平行向量与面内一向量（x1x2-y1y2=0）

㈤ 线面平行的判定方法有哪些

线面平行的判定方法如下图所示：

【直线与平面平行的判定】

定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行。

【判断直线与平面平行的方法】

（1）利用定义：证明直线与平面无公共点；

（2）利用判定定理：从直线与直线平行得到直线与平面平行；

（3）利用面面平行的性质：两个平面平行,则一个平面内的直线必平行于另一个平面。

线面、面面平行的判定与性质

基础巩固强化

1.(文)(2011·北京海淀期中)已知平面α∩β=l,m是α内不同于l的直线,那么下列命题中错误的是()

A.若m∥β,则m∥lB.若m∥l,则m∥β

C.若m⊥β,则m⊥lD.若m⊥l,则m⊥β

[答案]D

[解析]A符合直线与平面平行的性质定理;B符合直线与平面平行的判定定理;C符合直线与平面垂直的性质;对于D,只有α⊥β时,才能成立.

(理)(2011·泰安模拟)设m、n表示不同直线,α、β表示不同平面,则下列命题中正确的是()

A.若m∥α,m∥n,则n∥α

B.若m⊂α,n⊂β,m∥β,n∥α,则α∥β

C.若α∥β,m∥α,m∥n,则n∥β

D.若α∥β,m∥α,n∥m,n⊄β,则n∥β

[答案]D

[解析]A选项不正确,n还有可能在平面α内,B选项不正确,平面α还有可能与平面β相交,C选项不正确,n也有可能在平面β内,选项D正确.

2.(文)(2011·邯郸期末)设m,n为两条直线,α,β为两个平面,则下列四个命题中,正确的命题是()

A.若m⊂α,n⊂α,且m∥β,n∥β,则α∥β

B.若m∥α,m∥n,则n∥α

C.若m∥α,n∥α,则m∥n

㈥ 怎样证明线与面平行有什么方法

线A与面S平行，需要注意两点，1-线不在面上，2-线与面无交点。
证明思路有多种，如下：
1-证明面上有一条线B与A平行，此时线A与面S平行。
原理：构造平面AB，两平面相交，相交于直线B，若证明A、B平行，且A上至少有一点不在面S上，则A平行于S。
2-证明面S的法向量SN与线A的方向向量垂直AD。
原理：如果SN与AD垂直，则说明面上一定有直线与A平行，此时只要证明A不在S上即可，同A。
3-证明A所在的一个平面，与S平面平行。
原理：两个平面平行，则面上的所有直线，均与另外一个平面平行。
4-证明通过A的两个平面，与S平面相交，有两条直线B，C，证明B，C平行。
原理：可以使用反证法，假设B、C不平行，那么必然与A相交，那么线A、B、C构成一个平面，则与通过A的两个平面的假设不成立，因此B、C平行，且均平行于A。工证明思路1.
5-证明直线A到面S上，各点距离相等。
原理：只要证明直线上两个点，到面S上的距离相等即可。两个点构成的直线A以及两个点在平面上的垂点构成的直线A‘平行，后续证明方法同1。

应该还有很多思路，最关键是注意利用已知条件，以及严格记清楚线面平行的定义和性质。证明的时候，各个分步骤方法多样。比如思路5，证明距离相等的办法有体积法，三角函数法，全等三角形法，圆的性质，等等。

㈦ 线线平行的证明方法

线线平行的证明方法如下：

1.垂直于同一平面的两条直线平行。

2.平行于同一直线的两条直线平行。

3.一个平面与另外两个平行平面相交,那么 2 条交线也平行。

4.两条直线的方向向量共线,则两条直线平行。

5.线面平行的性质定理：一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与 此平面的交线与该直线平行。

证明线线平行的方法/步骤：

1、同位角相等。两直线平行。画出一条直线穿过已有的两条直线，如果这条直线与已有的两条直线形成的同位角大小相等，那么这两条直线就是平行的。

2、内错角相等。两直线平行。首先在纸上画出两条线。接下来画一条直线穿过这两条直线。此时如果形成的内错角相等，可以得知两条直线平行。

3、同旁内角互补，两直线平行。要证明两条直线平行，画出一条直线穿过已有的两条直线，如果形成的两个同旁内角相加等于180度，那么这两条直线就是平行线。

4、平行于同一直线的两条直线平行。假如直线a平行于直线b，而直线b又平行于直线c，那么直线a平行于直线c。

5、正方形，长方形，平行四边形这些特殊图形的对边分别平行。例如正方形的两条对边就是分别平行的。

㈧ 证明平行的技巧有哪些

高中证明平行的方法

高中立体几何的证明主要是平行关系与垂直关系的证明。方法如下(难以建立坐标系时再考虑)：

Ⅰ.平行关系：

线线平行：1.在同一平面内无公共点的两条直线平行。2.公理4(平行公理)。3.线面平行的性质。4.面面平行的性质。5.垂直于同一平面的两条直线平行。

线面平行：1.直线与平面无公共点。2.平面外的一条直线与平面内的一条直线平行。3.两平面平行，一个平面内的任一直线与另一平面平行。

面面平行：1.两个平面无公共点。2.一个平面内的两条相交直线分别与另一平面平行。

Ⅱ.垂直关系：

线线垂直：1.直线所成角为90°。2.一条直线与一个平面垂直，那么这条直线与平面内的任一直线垂直。

线面垂直：1.一条直线与一个平面内的任一直线垂直。2.一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直。3.面面垂直的'性质。4.两条平行直线中的一条垂直与一个平面，那么另一直线也与此平面垂直。5.一条直线垂直与两个平行平面中的一个，那么这条直线也与另一平面垂直。

面面垂直：1.面面所成二面角为直二面角。2.一个平面过另一平面的垂线，那么这两个平面垂直。

2

方法1：

两组对边分别平行 方法2： 对角线互相平分 方法3： 一组对边平行且相等 楼上的： 试问

两组对边相等

3

证明两直线平行1.垂直于同一直线的各直线平行。2.同位角相等，内错角相等或同旁内角互补的两直线平行。3.平行四边形的对边平行。4.三角形的中位线平行于第三边。5.梯形的中位线平行于两底。6.平行于同一直线的两直线平行。7.一条直线截三角形的两边(或延长线)所得的线段对应成比例，则这条直线平行于第三边。证明两条直线互相垂直1.等腰三角形的顶角平分线或底边的中线垂直于底边。2.三角形中一边的中线若等于这边一半，则这一边所对的角是直角。3.在一个三角形中，若有两个角互余，则第三个角是直角。4.邻补角的平分线互相垂直。5.一条直线垂直于平行线中的一条，则必垂直于另一条。6.两条直线相交成直角则两直线垂直。7.利用到一线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上。8.利用勾股定理的逆定理。9.利用菱形的对角线互相垂直。*10.在圆中平分弦(或弧)的直径垂直于弦。*11.利用半圆上的圆周角是直角。

在空间中一定是平行四边形吗?

4

证明两直线平行1.垂直于同一直线的各直线平行。2.同位角相等，内错角相等或同旁内角互补的两直线平行。3.平行四边形的对边平行。4.三角形的中位线平行于第三边。5.梯形的中位线平行于两底。6.平行于同一直线的两直线平行。7.一条直线截三角形的两边(或延长线)所得的线段对应成比例，则这条直线平行于第三边。证明两条直线互相垂直1.等腰三角形的顶角平分线或底边的中线垂直于底边。2.三角形中一边的中线若等于这边一半，则这一边所对的角是直角。3.在一个三角形中，若有两个角互余，则第三个角是直角。4.邻补角的平分线互相垂直。5.一条直线垂直于平行线中的一条，则必垂直于另一条。6.两条直线相交成直角则两直线垂直。7.利用到一线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上。8.利用勾股定理的逆定理。9.利用菱形的对角线互相垂直。*10.在圆中平分弦(或弧)的直径垂直于弦。

正六面体的平行透视方法

在正六面体上下、前后、两侧三个面中，只要有一个面与画面平行，同时有一面与地面平行的正方面体透视就叫“平行透视”。(它只有一个消失点)

正六面体的平行透视最少看见一个面，最多看见三个面。正六面体作图的线段有水平线、垂直线和消失线，三组边线的透视方向是：四条边线与画面平行、有四条边线与画面垂直，有四条边线向主点消失。如下图：

17人教版证明平行垂直的方法

一、平面的基本性质：;基本性质1：(作用：利用点在面内判定线在面内)如;基本性质2：(作用：①确定平面;②证明点、线共面;推论1经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面;推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面;推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面;基本性质3：(作用：①判定两个平面是否相交;②点;二、几何语言;A?a：点A在直线a上(或直线a经过点A

一、平面的基本性质：

基本性质1：(作用：利用点在面内判定线在面内)如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内。简言之，直线在平面内或平面经过直线。

基本性质2：(作用：①确定平面;②证明点、线共面)经过不再同一条直线上的三点，有且只有一个平面。简言之，不共线的三点确定一个平面。

推论1 经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面。

推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面。

推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面。

基本性质3：(作用：①判定两个平面是否相交;②点共线;③线共点)如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共直线。

二、几何语言

Aa：点A在直线a上(或直线a经过点A);A?a：点A不在直线a上(或直线a不经过点A) A?平面?：点A在平面?内(或平面?经过点A);A?平面?：点A不在平面?内(或平面?不经过点A)

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㈨ 线面平行怎么证明

线面平行证明方法如下：

1、利用定义：证明直线与平面无公共点。

2、利用判定定理：从直线与直线平行得到直线与平面平行。

3、利用面面平行的性质：两个平面平行，则一个平面内的直线必平行于另一个平面。

一条直线与一个平面无公共点（不相交），称为直线与平面平行。直线性质定理：一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。

4、空间向量法：即证明直线的向量与平面的法向量垂直，就可以说明该直线与平面平行。

3、数学是一种工具学科，是学习其他学科的基础，同时还是提高人的判断能力、分析能力、理解能力的学科。

4、数学不仅是一门科学，而且是一种普遍适用的技术。它是科学的大门和钥匙，学数学是令自己变得理性的一个很重要的措施，数学本身也有自身的乐趣。