如何用建系的方法求二面角

1. 为什么老师不交解二面角建系法

因为这个方法太难了，好多同学听不懂。方法一：想象力好就用“做平面角”

二面角，最常用的方法当然是通过求平面角而得之。

只是，这个做二面角的平面角，也不是说说那么简单的吧。

如果两个面都没有水平或竖直那么好的位置，对于很多学生来说，也确实未必就能轻易得手的。

当然，如果能够熟悉三垂线定理的话，倒是可以给我们做平面角带来很多的方便。

尤其，于高一新生来说，平面角的作法，显得更为艰难。

传统

一作二证三求

02

方法二：位置不佳就用“分割法”

其实，对于高一新生来说，如果不能如愿做出二面角的平面角，还是可以采取一些折中的办法的。

比如，将二面角分割成多个易做平面角的二面角。

当然，过轴线找竖直或水平的平面就很重要了。否则就算勉强分割了，也会让分割就失去意义。

就象是这个题，根据直棱柱的特点，找到中间竖直的平面BDD1B1，就可以尝试分割了。

只是，对于高一新生来说，难点在于要计算两角和的三角函数值，没有学习必修4，恐怕也会有点艰难。

不过记住这种姿式，总归没有坏处。

2. 求二面角的方法 总结

1、定义法：过二面角棱上任一点，在两个面内分别作垂直于棱的直线，则两直线所构成的角即为所求二面角的平面角。

二、射影面积求二面角。平面ABC与平面a所成二面角为θ，它在平面a内的投影为DBC，则平面ABC与平面a所成二面角的余弦值为射影面积与原面积的比。

3、面积射影定理：二面角的余弦值等于某一个半平面在另一个半平面的射影的面积和该平面自己本身的面积的比值。即公式cosθ=S'/S（S'为射影面积，S为斜面面积）。运用这一方法的关键是从图中找出斜面多边形和它在有关平面上的射影，而且它们的面积容易求得。

3. 二面角的做法

二面角是高考常考的一类问题，几乎每年的理科卷都会涉及到二面角的求法。而有些同学在解决这块内容是往往无从下手，今天把常见方法进行整理，希望可以给你们带来帮助。

一、定义法

是指过二面角的棱上任一点在两个面内分别作垂直于棱的直线，则两直线所构成的角即为二面角的平面角，继而在平面中求出其平面角的一种方法。

二、三垂线法

是指利用三垂线定理，根据 “与射影垂直 ，则也与斜线垂直”的思想构造 出二面角的平面角 ，继而求出平面角的方法。

三、垂面法

是指用垂直于棱的平面去截二面角，则截面与二面角的两个面必有两条交线，这两条交线构成的角即为二面角的平面角，继而再求出其平面角的一种方法。

四、面积射影法

所谓面积射影法 ，就是根据图形及其在某一个平面上的射影面积之间的关系，利用射影的面积比上原来的面积等于二面角的余弦值，来计算二面角。此法常用于无棱的二面角。

五、法向量法

法向量法是通过求与二面角垂直的两个向量所成 的角，继而利用这个角与二面角的平面角相等或互补的关系，求出二面角的一种方法。（如何判断相等还是互补的问题，将在近期公布）

六、垂线法

是指先利用待定系数法确定垂足，再利用公式求出二面角的大小。

4. 如何利用建立坐标系算二面角的余弦值、点到面的距离、异面直线垂直

建立坐标系关键是想把位置关系(向量)用坐标表示,所以归根结底还是使用向量解决问题

1.二面角的余弦值（α,β的二面角）
面的"方向"可以由这个面的法向量完全确定,所以你先要建立坐标系把两个面的单位法向量表示成坐标.然后计算两个单位法向量的数量积,结果就是余弦值,即:
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cos<α,β>=n1*n2 （n1,n2分别是面α,面β的单位法向量）
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2.点面距离（点P到面α的距离）
先计算面α的单位法向量n,然后在面α任意选一个比较”好”的点Q，计算向量PQ和单位法向量的数量积，结果就是距离
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H=PQ*n （n是α的单位法向量，Q是α上任意的一点）
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3．异面直线垂直（证明AB⊥CD)
计算两直线的方向向量（和直线平行的向量)s1,s2
如过两方向向量的数量积为0，则直线垂直
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s1*s2=0 等效于 AB⊥CD
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5. 求二面角的方法步骤是怎样的

向量法：利用两个平面的法向量m，n的夹角来求，这是高考中最有效的办法不管有多难都可求出二面角的大小，也是最好的办法。不过求出后要根据二面角的实际大小来判断算出的结果与实际情况下的角是否相同利用空间向量求二面角的平面角步骤（设二面角平面角为θ）
1）建立空间直角坐标系；
2）设平面
的法向量为n(x1，y1，z1)，平面
法向量为m(x2，y2，z2)；
3）在
内找两条线l1，l2，让n×l1=0，n×l2=0求出n的坐标，m也是如此求出；
4）然后利用cosθ=n?m/|n|×|m|即可求出θ的值
说明：锐二面角时，法向量的夹角即该二面角的平面角钝二面角时，法向量的夹角的补角为二面角的平面角

6. 空间直角坐标系怎么求二面角

二面角求解方法有两种几何法和向量法。

一、几何法：

1、作出二面角的平面角

2、证明该角为平面角

3、归纳到三角形求角

二、向量法：

1、先建立直角坐标系，求出各点坐标。

2、求出平面的两个向量，再求出法向量。

3、最后求出夹角θ的余弦。

(6)如何用建系的方法求二面角扩展阅读：

作二面角的平面角的常用方法有以下几种：

1、定义法 ：在棱上取一点A，然后在两个平面内分别作过棱上A点的垂线。有时也可以在两个平面内分别作棱的垂线，再过其中的一个垂足作另一条垂线的平行线。

2、垂面法 ：作与棱垂直的平面，则垂面与二面角两个面的交线所成的角就是二面角的平面角

3、面积射影定理：二面角的余弦值等于某一个半平面在另一个半平面的射影的面积和该平面自己本身的面积的比值。即公式cosθ=S'/S（S'为射影面积，S为斜面面积）。运用这一方法的关键是从图中找出斜面多边形和它在有关平面上的射影，而且它们的面积容易求得。

7. 求二面角的方法

在立体几何运算中，很多人都会觉得太过复杂，难以达到最简单的求解方法，最后总是出现错误，而且现在高考中几何立体运算也是必考的重点，尤其是二面角，那么求二面角的方法是什么呢?

1、垂面法——和棱垂直的平面，并且垂面和二面角相交的线所组成的角，也就是二面角和平面角。

2、定义法——在棱上任意取一点，并且在两个平面中都做出棱上A点的垂线，有的时候这条垂线可以在两个不同的平面内做垂线，再在其中一个垂足和垂线之间的平行线，也可以求出二面角。

3、向量法——把两个半平面的法向量求出，主要是通过夹角公式的方法求得。所求的二面角也就是这个夹角或者是补角。

4、异面直线距离法——将二面角假设为C-AB-D，那么其中的AC和BD就是异面之线AC⊥AB，而AB也就是异面直线中AC和BD的公垂线，根据AB,CD,AC,BD的值，就可以计算出二面角。

求二面角的方法有很多，比如异面之线距离法，向量法，定义法和垂面法都是非常好的求二面角的方法，要灵活的运用这些方法，简便的计算出最终的结果，才是最关键的。

8. 二面角的求法

二面角的求法如下：

1、定义法（分别向交线作垂线，求两线的夹角）

2、三垂线法：过某一半平面内一点向另一半平面和交线作垂线，作出射影由tan角求解，其中COS二面角=射影面积/原面积。

3、垂面法：找出交线的垂面，并作出垂面与半平面的交线，求夹角。

二面角的定义：平面内的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做半平面，从一条直线出发的两个半平面所组成的图形，叫做二面角（这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面)。

大小范围：

0≤θ≦π（二面角不小于0°，不大于180°）

既然是空间立体图形，那么可以将180°～360°的另一边看成0°～180°。

9. 高中数学求二面角的方法

到了高三都不用传统方法求二面角了
直接建系,找两个面的法向量,COS〈N1,N2〉
OVER
法向量指向二面角内部（即二面所夹之处）为指向
法向量指向二面角外部（即二面所夹以外处）为背离
两法向量都为指向或都为背离时,二面角和这两个平面的法向量的夹角应该是互补的
两法向量一个指向,另一个背离时,二面角和这两个平面的法向量的夹角应该是相等的

10. 数学，怎么求二面角的大小

作二面角的平面角的常用方法有六种：
1.定义法
2.垂面法
3.射影定理
4.三垂线定理
5.向量法
6.转化法
二面角一般都是在两个平面的相交线上，取恰当的点，经常是端点和中点。过这个点分别在两平面做相交线的垂线，然后把两条垂线放到一个三角形中考虑。有时也经常做两条垂线的平行线，使他们在一个更理想的三角形中。
由公式s射影=s斜面cosθ，作出二面角的平面角直接求出。运用这一方法的关键是从图中找出斜面多边形和它在有关平面上的射影，而且它们的面积容易求得 。
另外也可以建系用向量法，这是在找不出作和辅助线也找不到二面角的情况下就使用的。把两平面的法向量n1,n2的坐标求出来。然后根据n1·n2=｜n1｜｜n2｜cosα，θ=α为两平面的夹角。这里需要注意的是如果两个法向量都是垂直平面，指向两平面内，所求两平面的夹角θ=π-α。