二次根式解题方法和技巧

⑴ 二次根式的解题技巧

一般地，形如√ā（a≥0）的代数式叫做二次根式。当a＞0时，√a表示a的算数平方根,√0=0
[编辑本段]ii.二次根式√ā的简单性质和几何意义
1）a≥0
;
√ā≥0
[
双重非负性
]
2）（√ā）^2=a
（a≥0）[任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式]
3)
√(a^2+b^2)表示平面间两点之间的距离，即勾股定理推论。
[编辑本段]iii.二次根式的性质和最简二次根式
1）二次根式√ā的化简
a(a≥0）
√ā=|a|={
-a(a＜0)
2）积的平方根与商的平方根
√ab=√a·√b（a≥0，b≥0）
√a/b=√a
/√b（a≥0，b>0）
3）最简二次根式
条件：
（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；
（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式。
如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有√2、√3、√a（a≥0）、√x+y
等；
含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有√4、√9、√a^2、√（x+y）^2、√x^2+2xy+y^2等
[编辑本段]iv.二次根式的乘法和除法
1
运算法则
√a·√b=√ab（a≥0，b≥0）
√a/b=√a
/√b（a≥0，b>0）
二数二次根之积，等于二数之积的二次根。
2
共轭因式
如果两个含有根式的代数式的积不再含有根式，那么这两个代数式叫做共轭因式，也称互为有理化根式。
[编辑本段]v.二次根式的加法和减法
1
同类二次根式
一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式。
2
合并同类二次根式
把几个同类二次根式合并为一个二次根式就叫做合并同类二次根式。
3二次根式加减时，可以先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的进行合并
[编辑本段]ⅵ.二次根式的混合运算
1确定运算顺序
2灵活运用运算定律
3正确使用乘法公式
4大多数分母有理化要及时
5在有些简便运算中也许可以约分，不要盲目有理化
[编辑本段]vii.分母有理化
分母有理化有两种方法
i.分母是单项式
如:√a/√b=√a×√b/√b×√b=√ab/b
ii.分母是多项式
要利用平方差公式
如1/√a＋√b=√a－√b/(√a＋√b)(√a－√b)=√a－√b/a－b

⑵ 二次根式计算与化解的技巧是什么急用

一般地，形如√ā（a≥0）的式子叫做二次根式。
1）二次根式√ā的化简
a（a≥0）
√ā=|a|={
-a（a＜0）
2）积的平方根与商的平方根
√ab=√a·√b（a≥0，b≥0）
√a/b=√a
/√b（a≥0，b≥0）
3）最简二次根式
条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式。
1
运算法则
√a·√b=√ab（a≥0，b≥0）
√a/b=√a
/√b（a≥0，b≥0）
2
共轭因式
如果两个含有根式的代数式的积不再含有根式，那么这两个代数式叫做共轭因式，也称互为有理化根式。
1
同类二次根式
一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式。
2
合并同类二次根式
把几个同类二次根式合并为一个二次根式就叫做合并同类二次根式。

⑶ 初中数学二次根式的常用化简技巧

二次根式化简，对于很多初学的同学来说，确实有些难度，不知如何下手，特别对于一些稍微复杂的一点的二次根式的化简题，就更加无从动笔了。

很多家长，也是因为毕业多年，二次根式也忘记的差不多。当年初中数学基础不差的家长，现在也只需要稍微多看几遍，之前学过的解题方法，就捡回来了。

那么，在二次根式的化简过程中，除了掌握基本的运算法则之外，还有哪些常用的化简技巧，可以快速准确解题呢?

技巧三：利用分母有理化进行化简，这也是常用的方法之一。

分母有理化，也就是分母套用平方差公式即可确定，分子和分母同时乘以一个什么样的二次根式。

这类题型而且特别多，各种变式题型也不少，同学们自己在平时做练习题的时候，要多思考，多总结。从简单的基础题型开始，逐步提升难度，慢慢的做一些拓展培优题型。举一反三，熟能生巧，考试成绩自然提高。

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⑷ 二次根式化简技巧口诀

二次根式化简技巧口诀如下：
1、首先，最简二次根式中，不管是分子分母以及根号下的数字，都必须是整数，不是整数的要先转换成整数，包括但不限于根号下不能有分数、分母不能为根式等。
2、根号内带有几又几分之几的，需要先将分数转化成假分数，再分别对里面的分子和分母进行简化计算。
3、一个可以被分解成多个因子的数值，若是有平方算式，需要先分解出来，在进行简化。
4、根号内带有字母的，分别把数值和字母开根号，注意，字母开根号如果刚好是平算算术，一定要加上绝对值符号。因为根号开出来一定是正数或0。
5、还是分数，上下存在算术公式的，比如加减乘除之类的，先把分母化为整数再来计算。
6、最后，关于根号内带有字母的算式，需要注意一点，开根号后，得到绝对值，需要分成两种情况计算，否则就错了。

⑸ 谁能告诉我二次根式计算的方法啊

二次根式的化简与计算的策略与方法

二次根式是初中数学教学的难点内容，读者在掌握二次根式有关的概念与性质后，进行二次根式的化简与运算时，一般遵循以下做法：

①先将式中的二次根式适当化简

②二次根式的乘法可以参照多项式乘法进行，运算中要运用公式 （ ， ）

③对于二次根式的除法，通常是先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算．

④二次根式的加减法与多项式的加减法类似，即在化简的基础上去括号与合并同类项．

⑤运算结果一般要化成最简二次根式．

化简二次根式的常用技巧与方法

二次根式的化简是二次根式教学的一个重要内容，对于二次根式的化简，除了掌握基本概念和运算法则外，还要掌握一些特殊的方法和技巧，会收到事半功倍的效果，下面通过具体的实例进行分类解析．

1．公式法

【例1】计算① ； ②

【解】①原式

②原式

【解后评注】以上解法运用了“完全平方公式”和“平方差公式”，从而使计算较为简便．

2．观察特征法

【例2】计算：

【方法导引】若直接运用根式的性质去计算，须要进行两次分母有理化，计算相当麻烦，观察原式中的分子与分母，可以发现，分母中的各项都乘以 ，即得分子，于是可以简解如下：

【解】原式 ．

【例3】 把下列各式的分母有理化．

（1） ；（2） （ ）

【方法导引】①式分母中有两个因式，将它有理化要乘以两个有理化因式那样分子将有三个因式相等，计算将很繁，观察分母中的两个因式如果相加即得分子，这就启示我们可以用如下解法：

【解】①原式



【方法导引】②式可以直接有理化分母，再化简．但是，不难发现②式分子中 的系数若为“1”，那么原式的值就等于“1”了！因此，②可以解答如下：

【解】②原式





3．运用配方法

【例4】化简

【解】原式



【解后评注】注意这时是算术根，开方后必须是非负数，显然不能等于“ ”

4．平方法

【例5】化简

【解】∵





∴ ．

【解后评注】对于这类共轭根式 与 的有关问题，一般用平方法都可以进行化简

5．恒等变形公式法

【例6】化简

【方法导引】若直接展开，计算较繁，如利用公式 ，则使运算简化．

【解】原式





6．常值换元法

【例7】化简

【解】令 ，则：

原式











7．裂项法

【例8】化简

【解】原式各项分母有理化得

原式



【例9】化简



【方法导引】这个分数如果直接有理化分母将十分繁锁，但我们不难发现每一个分数的分子等于分母的两个因数之和，于是则有如下简解：

【解】原式







8．构造对偶式法

【例10】化简

【解】构造对偶式，于是没

，

则 ， ，

原式



9．由里向外，逐层化简



【解】∵



而



∴原式

【解后评注】对多重根式的化简问题，应采用由里向外，由局部到整体，逐层化简的方法处理．

10．由右到左，逐项化简

【例11】化简



【方法导引】原式从右到左是层层递进的关系，因此从右向左进行化简．

【解】原式







．

【解后评注】平方差公式和整体思想是解答本题的关键，由平方差公式将多重根号逐层脱去，逐项化简，其环节紧凑，一环扣一环，如果不具有熟练的技能是难以达到化简之目的的．

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二次根式大小比较的常用方法

二次根式的化简具有极强的技巧性，而在不求近似值的情况下比较两个无理数（即二次根式）的大小同样具有很强的技巧性，对初中生来说是一个难点，但掌握一些常见的方法对它的学习有很大的帮助和促进作用．

1．根式变形法

【例1】比较 与 的大小

【解】将两个二次根式作变形得

，

∵ ，∴ 即

【解后评注】本解法依据是：当 ， 时，① ，则 ；②若 ，则

2．平方法

【例2】比较 与 的大小

【解】 ，

∵ ，∴

【解后评注】本法的依据是：当 ， 时，如果 ，则 ，如果 ，则 ．

3．分母有理化法

通过运用分母有理化，利用分子的大小来判断其倒数的大小．

【例3】比较 与 的大小

【解】∵



又∵

∴

4．分子有理化法

在比较两个无理数的差的大小时，我们通常要将其进行分子有理化，利用分母的大小来判断其倒数的大小．

【例4】比较 与 的大小

【解】∵



又∵

∴ ．而

5．等式的基本性质法

【例5】比较 与 的大小

【解法1】∵



又



∴

即

【解后评注】本解法利用了下面两个性质：①都加上同一个数后，两数的大小关系不变．②非负底数和它们的二次幂的大小关系一致．

【解法2】将它们分别乘以这两个数的有理化因式的积，得





又∵ ∴

【解后评注】本解法的依据是：都乘以同一个正数后，两数的大小关系不变．

6．利用媒介值传递法

【例6】比较 与 的大小

【解】∵ ∴

又∵ ∴

∴

【解后评注】适当选择介于两个无理数之间的媒介法，利用数值的传递性进行比较．

7．作差比较法

在对两数进行大小比较时，经常运用如下性质：

① ；②

【例7】比较 与 的大小

【解】∵



∴

8．求商比较法

与求差比较法相对应的还有一种比较的方法，即作商比较法，它运用的是如下性质，当 ， 时，则：

① ；②

【例8】比较 与 的大小．

【解】

∵

∴

∴

【解后评注】得上所述，含有根式的无理数大小的比较往往可采用多种方法，来求解．有时还需各种方法配合使用，其中根式变形法，平方法是最基本的，对于具体的问题要作具体分析，以求用最佳的方法解出正确的结果．

⑹ 二次根式的解题技巧

二次根式的加法和减法
1 同类二次根式
一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式。
2 合并同类二次根式
把几个同类二次根式合并为一个二次根式就叫做合并同类二次根式。
3二次根式加减时，可以先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的进行合并
Ⅵ.二次根式的混合运算
1确定运算顺序
2灵活运用运算定律
3正确使用乘法公式
4大多数分母有理化要及时
5在有些简便运算中也许可以约分，不要盲目有理化
VII.分母有理化
分母有理化有两种方法
I.分母是单项式
如:√a/√b=√a×√b/√b×√b=√ab/b
II.分母是多项式
要利用平方差公式
如1/√a＋√b=√a－√b/(√a＋√b)(√a－√b)=√a－√b/a－b
如图
II.分母是多项式
要利用平方差公式
如1/√a＋√b=√a－√b/(√a＋√b)(√a－√b)=√a－√b/a－b
二次根式计算不难，主要是要靠仔细，平时要多加练习哦。掌握了解题方法，再加上灵活运用，再难的题也会快速解出来！

⑺ 二次根式的化简方法讲解 这些技巧建议收藏起来

1、乘法公式法，一般都是运用到平方差公式，这个过程中，可以化二次根式为整数。

关键是通过观察数字特征，找出可以套用乘法公式的部分，简化计算步骤和难度。

2、拆项因式分解法。也就是分子或者分母，通过拆项的方法，因式分解，方便分子分母约分。那么二次根式的因式分解方法，类似于整式的因式分解。

3、倒数法。也就是先算二次根式的倒数，解除结果后，再倒回来的一个计算方法。这个方法，应用特别广发。一般特征是，原式的分子可以化成单项式的形式，分母是一个多项式，若先算倒数而且方便约分，就适用这个方法。