如何用向量方法证明中线

❶ 怎么用向量证明三角形中三条中线点

AD、BE、CF是△ABC的三条中线，用向量法求证：AD、BE、CF共点。
［证明］
令BE、CF相交于O，且BO＝mOE、CO＝nOF，其中m、n为非零实数。则：
向量BO＝m向量OE、向量CO＝n向量OF。
∴向量BC＝向量OC－向量OB＝向量BO－向量CO＝m向量OE－n向量OF，
向量FE＝向量OE－向量OF。
显然有：向量BC＝2向量FE，∴m向量OE－n向量OF＝2（向量OE－向量OF），
∴（m－2）向量OE＝（n－2）向量OF，而向量OE、向量OF不共线，∴m－2＝n－2＝0，
∴m＝n＝2、∴BO＝2OE、CO＝2OF。
令AD、BE相交于G，利用上述结论，则有：BG＝2GE，又BO＝2OE，且O、G都在线段BE上，
∴O、G重合，∴AD、BE、CF共点。

❷ 用向量法证明三角形的中线交于一点

证法1
先做图,做出过b,
c的两条中线,分别交ac于m,交ab于n,所以m,n是ac,ab的中点.连接mn
设向量bp=λ向量pm,向量cp=μ向量pn(λ,μ为不等于0的实数)
向量bc=向量pc-向量pb=向量bp-向量cp=λ向量pm-μ向量pn,
向量nm=向量pm-向量pn,而向量bc=2向量nm
所以,λ向量pm-μ向量pn=2向量pm-2向量pn
即(λ-2)向量pm-(μ-2)向量pn=o向量
因为向量pm与向量pn不共线,所以λ=2,μ=2
所以向量bp=2向量pm
由此证得两中线交点把bm分成2:1.同理可证另一条中线与bm的交点也有此性质,故三角形的三条中线交于一点，并平分每条比为1：2
得证.
证法2
作出一个三角形abc,设d,e,f分别是bc,ca,ab的中点,在平面上任取一点o,设向量oa=a,向量ob=b，向量oc=c
则向量od=1/2（b+c),向量of=1/2(a+b),向量oe=1/2(c+a).
再设p为ad上的三等分点，满足向量ap=2向量pd，
则向量op=1/3向量oa+2/3od=1/2a+2/3
*
1/2(a+b)=1/3(a+b+c)
同理可证，p也是be，cf的三等分点，因此三条中线交于点p。
三角形的3中线交于一点，并平分每条比为1：2

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❸ 如何用向量证明三角形三条中线交于一点

假设CF与BE交于G点

现在需要证明的是：G点位于AD上：

根据梅氏定理：(CE/EA)(AB/BF)(FG/GC)=1

即：1*2(FG/GC)=1

即：FG/GC=1/2

故：CG=2CF/3

CF=(CA+CB)/2

故：CG=(CA+CB)/3

故：GD=CD-CG=CB/2-CG

=CB/2-(CA+CB)/3

=-CA/3+CB/6

=(-1/6)(2CA-CB)

AG=CG-CA=(CA+CB)/3-CA

=-2CA/3+CB/3

=(-1/3)(2CA-CB)

即：AG=2GD

即：AG、GD共线

即：A、G、D三点共线

即原结论得证

三角形的垂心定理：在三角形ABC中,求证：它的三条高交于一点。

证明：如图：作BE⊥AC于点E,CF⊥AB于点F,且BE交CF于点H,连接AH并延长交BC于点D.现在我们只要证明AD⊥BC即可。

因为CF⊥AB,BE所以 四边形BFEC为圆内接四边形.四边形AFHE为圆内接四边形。

以∠FAH=∠FEH=∠FEB=∠FCB由∠FAH=∠FCB得四边形AFDC为圆内接四边形所以∠AFC=∠ADC=90°即AD⊥BC。

❹ 请用向量的方法证明任何三角形三条中线共点。

设三角形是ABC，三个中线为AD、BE、CF

那么，有向量AD＝1/2*（向量AC+向量AB）

向量BE=1/2*（向量BA+向量BC）

向量CF=1/2*（向量CA+向量CB）

由此，向量AD+向量BE+向量CF=0向量

即此，三向量可以构成一三角形，那么其共点。

(4)如何用向量方法证明中线扩展阅读：

当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ=0时，λa=0，方向任意。当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。

当 |λ| >1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ>0）或反方向（λ<0）上伸长为原来的|λ|倍。当|λ|<1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ>0）或反方向（λ<0）上缩短为原来的 |λ|倍。

❺ 老师 如何用向量证明三角形三条中线共点

AD、BE、CF是△ABC的三条中线,用向量法求证：AD、BE、CF共点.
〔证明〕
令BE、CF相交于O,且BO＝mOE、CO＝nOF,其中m、n为非零实数.则：
向量BO＝m向量OE、向量CO＝n向量OF.
∴向量BC＝向量OC－向量OB＝向量BO－向量CO＝m向量OE－n向量OF,
向量FE＝向量OE－向量OF.
显然有：向量BC＝2向量FE,∴m向量OE－n向量OF＝2（向量OE－向量OF）,
∴（m－2）向量OE＝（n－2）向量OF,而向量OE、向量OF不共线,∴m－2＝n－2＝0,
∴m＝n＝2,∴BO＝2OE、CO＝2OF.
令AD、BE相交于G,利用上述结论,则有：BG＝2GE,又BO＝2OE,且O、G都在线段BE上,
∴O、G重合,∴AD、BE、CF共点.

❻ 用向量方法证明三角形的中线交于同一点

下面提供您2种证法,请君自便,(向量表示符号弄不出,可能给您带来阅读等方面不便,在此深表歉意.)
证法1
先做图,做出过b,c的两条中线,分别交ac于m,交ab于n,所以m,n是ac,ab的中点.连接mn
设向量bp=λ向量pm,向量cp=μ向量pn(λ,μ为不等于0的实数)
向量bc=向量pc-向量pb=向量bp-向量cp=λ向量pm-μ向量pn,
向量nm=向量pm-向量pn,而向量bc=2向量nm
所以,λ向量pm-μ向量pn=2向量pm-2向量pn
即(λ-2)向量pm-(μ-2)向量pn=o向量
因为向量pm与向量pn不共线,所以λ=2,μ=2
所以向量bp=2向量pm
由此证得两中线交点把bm分成2:1.同理可证另一条中线与bm的交点也有此性质,故三角形的三条中线交于一点，并平分每条比为1：2
得证.
证法2
作出一个三角形abc,设d,e,f分别是bc,ca,ab的中点,在平面上任取一点o,设向量oa=a,向量ob=b，向量oc=c
则向量od=1/2（b+c),向量of=1/2(a+b),向量oe=1/2(c+a).
再设p为ad上的三等分点，满足向量ap=2向量pd，
则向量op=1/3向量oa+2/3od=1/2a+2/3*1/2(a+b)=1/3(a+b+c)
同理可证，p也是be，cf的三等分点，因此三条中线交于点p。
三角形的3中线交于一点，并平分每条比为1：2