如何讨论三次方程实根的方法

‘壹’ 如何计算三次方程求根公式是什么

一元三次方程求根公式的解法

一元三次方程的求根公式用通常的演绎思维是作不出来的，用类似解一元二次方程的求根公式的配方法只能将型如ax^3+bx^2+cx+d+0的标准型一元三次方程形式化为x^3+px+q=0的特殊型。
一元三次方程的求解公式的解法只能用归纳思维得到，即根据一元一次方程、一元二次方程及特殊的高次方程的求根公式的形式归纳出一元三次方程的求根公式的形式。归纳出来的形如 x^3+px+q=0的一元三次方程的求根公式的形式应该为x=A^(1/3)+B^(1/3)型，即为两个开立方之和。归纳出了一元三次方程求根公式的形式，下一步的工作就是求出开立方里面的内容，也就是用p和q表示A和B。方法如下：
（1）将x=A^(1/3)+B^(1/3)两边同时立方可以得到
（2）x^3=(A+B)+3(AB)^(1/3)(A^(1/3)+B^(1/3))
（3）由于x=A^(1/3)+B^(1/3)，所以（2）可化为
x^3=(A+B)+3(AB)^(1/3)x，移项可得
（4）x^3－3(AB)^(1/3)x－(A+B)＝0，和一元三次方程和特殊型x^3+px+q=0作比较，可知
（5）－3(AB）^（1/3）＝p,－(A+B)=q，化简得
（6）A+B＝－q，AB＝-（p/3）^3
（7）这样其实就将一元三次方程的求根公式化为了一元二次方程的求根公式问题，因为A和B可以看作是一元二次方程的两个根，而(6)则是关于形如ay^2+by+c=0的一元二次方程两个根的韦达定理，即
（8）y1＋y2＝－（b/a）,y1*y2=c/a
(9)对比（6）和（8），可令A＝y1，B＝y2，q＝b/a，-（p/3）^3＝c/a
(10)由于型为ay^2+by+c=0的一元二次方程求根公式为
y1＝－（b＋（b^2－4ac）^(1/2)）/(2a)
y2＝－（b－（b^2－4ac）^(1/2)）/(2a)
可化为
(11)y1＝－(b/2a)-((b/2a)^2-(c/a))^(1/2)
y2＝－(b/2a)+((b/2a)^2-(c/a))^(1/2)
将(9)中的A＝y1，B＝y2，q＝b/a，-（p/3）^3＝c/a代入（11）可得
(12)A＝－(q/2)-((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)
B＝－(q/2)+((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)
(13)将A，B代入x=A^(1/3)+B^(1/3)得
(14)x=（－(q/2)-((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)）^(1/3)+（－(q/2)+((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)）^(1/3)
式 (14)只是一元三方程的一个实根解，按韦达定理一元三次方程应该有三个根，不过按韦达定理一元三次方程只要求出了其中一个根，另两个根就容易求出了

‘贰’ 如何讨论三次方程实根的个数（用导数的方式）

令f(x) =ax^3+bx^2+cx+d(a>0)。

先用导数确定f(x)是否有极值，若无极值,则f(x)在R递增，原方程有且只有一个实根；

若有极值(必为一极大一极小)，则当f(x)的极大值小于0或f(x)的极小值大于0时，原方程有且只有一个实根，当f(x)的极大值等于0或f(x)的极小值等于0时，原方程有且只有两个不同的实根，当f(x)的极大值大于0且f(x)的极小值小于0时，原方程有且只有三个实根。

(2)如何讨论三次方程实根的方法扩展阅读：

不是所有的函数都有导数，一个函数也不一定在所有的点上都有导数。若某函数在某一点导数存在，则称其在这一点可导，否则称为不可导。然而，可导的函数一定连续；不连续的函数一定不可导。

对于可导的函数f(x)，x↦f'(x)也是一个函数，称作f(x)的导函数（简称导数）。寻找已知的函数在某点的导数或其导函数的过程称为求导。实质上，求导就是一个求极限的过程，导数的四则运算法则也来源于极限的四则运算法则。

反之，已知导函数也可以倒过来求原来的函数，即不定积分。微积分基本定理说明了求原函数与积分是等价的。求导和积分是一对互逆的操作，它们都是微积分学中最为基础的概念。

‘叁’ 如何讨论三次方程实根的个数（用导数的方式）讨论方程

一元三次方程通过求导得到一个一元二次方程.一般可解得两个值.这两个值就是原方程的极值.根据这极值的符号情况可判定原方程有几个根.如果两极值异号,则原方程将会三次穿过X轴,那就是原方程有三个根.如果两极值同号,则原方程将只有一次穿过X轴,那就是原方程只有一个根.

‘肆’ 三次方程求根方法

标准型的一元三次方程aX^3+bX^2+cX+d=0（a，b，c，d∈R，且a≠0），其解法有：1、意大利学者卡尔丹于1545年发表的卡尔丹公式法；2、中国学者范盛金于1989年发表的盛金公式法。

两种公式法都可以解标准型的一元三次方程。用卡尔丹公式解题方便，相比之下，盛金公式虽然形式简单，但是整体较为冗长，不方便记忆，但是实际解题更为直观。

盛金公式法：

标准型方程中卡尔丹公式的一个实根

‘伍’ 3次方程怎么判断有两个实数根谢谢

很简单，假如有ax³+bx²+cx+d=0，我们就设f(x)=ax³+bx²+cx+d，先求出三次函数的导函数f'(x)，然后找到f'(x)的两个零点(如果f'(x)只有一个零点或没有零点，那三次方程有且只有一个实数根，因为那样的话函数单调)x1和x2，再看f(x1)和f(x2)，也就是两个极值。如果两个极值中有一个是0，三次方程就有两个实数根。

‘陆’ 如何讨论三次方程实根的个数（用导数的方

令f(x) =ax^3+bx^2+cx+d(a>0).
先用导数确定f(x)是否有极值,若无极值,则f(x)在R递增,原方程有且只有一个实根；
若有极值(必为一极大一极小),则当f(x)的极大

‘柒’ 怎么利用极值判断三次函数有几个实根

• f(x)=ax^3+bx^2+cx+d

  f'(x)=3ax²+2bx+c

  Δ=4b²-12ac≤0时→b²≤3ac时 f'(x)≥0(a>0)f'(x)≤0(a<0)→f(x)为单调函数→

  三次函数有且仅有一个零点（三次方程有且仅有一个实根）。

  b²≥3ac时 极值点x₁=[-b-√(b²-3ac)]/3a极值点x₂=[-b+√(b²-3ac)]/3a]

  f(x₁)·f(x₂)<0时，三次函数有三个零点；

  f(x₁)·f(x₂)=0时，三次函数有二个零点；

  f(x₁)·f(x₂)>0时，三次函数有一个零点。

  

‘捌’ 如何判断三次方程有无实数根

按照基本的公式进行即可

首先对于一般的一元三次方程ax³+bx²+cx+d=0

令y=x+b/3a，代入之后

都可化为x³+px+q=0

显然后面的x2，x3式子里对应的ω是复数

而判别式为Δ=(q/2)²+(p/3)³

当Δ>0时，有一个实根和两个复根

而Δ小于等于0时，有三个实根

‘玖’ 三次方程求根公式

具体算法如下：

1、ax^3+bx^2+cx+d的标准型。

2、化成x^3+(b/a)x^2+(c/a)x+(d/a)=0。

3、可以写成x^3+a1*x^2+a2*x+a3=0。

4、其中a1=b/a,a2=c/a,a3=d/a。

5、令y=x-a1/3。

6、则y^3+px+q=0。

7、其中p=-(a1^2/3)+a2，q=(2a1^3/27)-(a1*a2)/3+a3。

(9)如何讨论三次方程实根的方法扩展阅读：

三次方程的其他解法：

1、因式分解法

因式分解法不是对所有的三次方程都适用，只对一些三次方程适用．对于大多数的三次方程，只有先求出它的根，才能作因式分解．当然，因式分解的解法很简便，直接把三次方程降次．例如：解方程x3-x=0

对左边作因式分解，得x(x+1)(x-1)=0，得方程的三个根：x1=0,x2=1,x3=-1。

2、另一种换元法

对于一般形式的三次方程，先用上文中提到的配方和换元，将方程化为x3+px+q=0的特殊型．令x=z-p/3z代入并化简，得：z-p/27z+q=0。再令z=w代入，得：w+p/27w+q=0．这实际上是关于w的二次方程．解出w,再顺次解出z,x。

3、盛金公式解法

三次方程应用广泛。用根号解一元三次方程，虽然有着名的卡尔丹公式，并有相应的判别法，但使用卡尔丹公式解题比较复杂，缺乏直观性。范盛金推导出一套直接用a、b、c、d表达的较简明形式的一元三次方程的一般式新求根公式，并建立了新判别法．